円$C$上に異なる$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$をとり，点$\mathrm{P}$における$C$の接線$\ell$と点$\mathrm{Q}$における$C$の接線$m$が交わっているとする．$\ell$と$m$の交点を$\mathrm{R}$とし，$\mathrm{R}$とは異なる$m$上の点$\mathrm{S}$を$\mathrm{QR}=\mathrm{QS}$を満たすように定める．また，$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{S}$を通る直線と円$C$との交点で$\mathrm{P}$とは異なる点を$\mathrm{T}$とする．さらに，$\mathrm{Q}$を中心に$\mathrm{T}$を${180}^\circ$回転した点を$\mathrm{T}^\prime$とする．

(1)$4$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{T}^\prime$，$\mathrm{R}$が同一円周上にあることを示せ．
(2)$\mathrm{QP}=\sqrt{10}$，$\mathrm{PR}=\sqrt{5}$，$\mathrm{RT}^\prime=1$，$\mathrm{T}^\prime \mathrm{Q}=\sqrt{2}$のとき，$\angle \mathrm{QPR}$の大きさを求めよ．さらに，四角形$\mathrm{PQT}^\prime \mathrm{R}$の面積を求めよ．

$\mathrm{M}$社はブドウを栽培し，それを原料にしたワインを醸造して世界中に販売している，としよう．一般には，企業の業績には，社内のさまざまな活動だけでなく，社外の要因も大きくかかわっている．しかしながら，ここでは，問題が複雑にならないように，一部の活動に限定して，$\mathrm{M}$社の醸造計画を考えてみよう．

栽培および醸造において，量と質には，醸造量が増えれば増えるほどワインの品質が低下する，という関係があると仮定する．この関係は，
\[ q=a-bx \]
という単純な式で表されるとする．ここで，$x$はワインの醸造量（リットル），$q$はワインの品質の高さを表す$\mathrm{M}$社が独自に定めた指標とし，$a$と$b$は正の実数とする．また，変数$x$のとり得る値の範囲は，$x$と$q$がともに正の値となる範囲とする．
醸造されるワインはすべて同一の品質で，同一の価格で販売されるものとし，その価格を$p$（円／リットル）で表す．市場において，品質の高いワインは希少性が増すため，その価格は非常に高いものになる．この関係は，
\[ p=cq^2 \]
で表されると仮定する．ただし，$c$は正の実数とする．また，醸造されたワインは，上記で定まる価格で，すべて残らずに販売されてしまうものとする．
$\mathrm{M}$社は，以上の諸条件を前提にして，その年の栽培および醸造を行う．すなわち，醸造量を$x$と決め，それに応じて適切な栽培および醸造を行うことにより，品質の指標が$q$となるワインを作り，その全量（すなわち$x$）を品質の指標$q$に応じた価格$p$で販売し，売上高$y=px$（円）を得る．

(1)売上高は，
\[ x=\frac{[$69$]}{[$70$]} \cdot \frac{a}{b} \ \text{（リットル）} \]
のとき，最大値
\[ \frac{[$71$]}{[$72$][$73$]} \cdot \frac{ca \!\!\! \raisebox{3mm}[5mm][1mm]{\mkakko{$74$}}}{b} \ \text{（円）} \]
をとる．
(2)次に，ワインを醸造するに際し，技術上の制約や販売上の都合などの理由で，醸造量の下限が設けられているとしよう．この下限を正の実数$m$（リットル）で表す．$x$の取り得る値の範囲には，$x$が$m$以上という条件が追加されることになる．このときの売上高の最大値を$\overline{y}$で表し，それを与える醸造量を$\overline{x}$で表す．$\overline{x}$は$m$の関数であるので，これを$\overline{x}=f(m)$で表す．関数$f(m)$の定義域を$\displaystyle 0<m<\frac{a}{b}$として，この関数のグラフを描きなさい．
同様に，$\overline{y}$も$m$の関数であるので，これを$\overline{y}=g(m)$で表す．関数$g(m)$の定義域を$\displaystyle 0<m<\frac{a}{b}$として，この関数のグラフを描きなさい．

実数$\theta$は$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$を満たすとする．$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$を原点とする座標空間の$3$点
\[ \mathrm{A}(\cos^2 \theta,\ \sin \theta,\ 1+\sin^2 \theta),\quad \mathrm{B}(\sin \theta,\ 0,\ -\sin \theta),\quad \mathrm{C}(1,\ \cos 2\theta-\cos^2 \theta,\ 1) \]
に対し，それぞれ$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおく．

(1)$\overrightarrow{b}$は零ベクトルではないとする．$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が同一平面上にあるならば，

$\displaystyle \theta=\frac{[$27$][$28$]}{[$29$]} \pi$である．

次に$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{6}$とし，以下このときの$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を考える．また，$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の定める平面を$\alpha$とする．
(2)点$\mathrm{P}$は$\alpha$上の点で，$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|$が最小になるものとする．このとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{b}=[$30$],\quad \overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{c}=[$31$] \]
が成り立つ．また，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表すと
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{[$32$][$33$]}{[$34$]} \overrightarrow{b}+\frac{[$35$][$36$]}{[$37$][$38$]} \overrightarrow{c} \]
となる．ただし，$\overrightarrow{u},\ \overrightarrow{v}$はベクトル$\overrightarrow{u}$と$\overrightarrow{v}$の内積を表す．

(3)三角形$\mathrm{OBC}$の面積は$\displaystyle \frac{1}{8} \sqrt{\frac{[$39$][$40$]}{[$41$]}}$であり，$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|=\displaystyle \sqrt{\frac{[$42$]}{[$43$][$44$]}}$なので，四面体$\mathrm{OABC}$の体積は$\displaystyle \frac{[$45$]}{[$46$]}$となる．

次の空欄$[ア]$～$[コ]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)$2$つの自然数$p,\ q$が$p^2+pq+q^2=19$を満たすとき，$p+q=[ア]$である．
(2)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，$\sin^2 \theta+\cos \theta-1$の最大値は$[イ]$であり，最小値は$[ウ]$である．
(3)$\displaystyle S=\frac{1}{1+\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{9}}+\frac{1}{\sqrt{9}+\sqrt{13}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{45}+\sqrt{49}}$とすると，$S$の値は$[エ]$である．
(4)方程式$\log_{\sqrt{2}}(2-x)+\log_2 (x+1)=1$の解をすべて求めると，$x=[オ]$である．
(5)等式$\displaystyle f(x)=x^2+3 \int_0^1 f(t) \, dt$を満たす関数は，$f(x)=[カ]$である．
(6)座標空間における$4$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 3)$，$\mathrm{D}(x,\ 4,\ 5)$が同一平面上にあるとき，$x=[キ]$である．
(7)$3$次方程式$x^3-x^2+ax+b=0$の解の$1$つが$1+i$のとき，$a=[ク]$，$b=[ケ]$である．ただし，$a,\ b$は実数とし，$i$は虚数単位とする．
(8)三角形$\mathrm{ABC}$の辺の長さが$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{CA}=6$のとき，三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$[コ]$である．

曲線$C:y=x^3$上に，次のようにして点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$，$\cdots$，$\mathrm{P}_n$，$\cdots$をとる．

(i) $\mathrm{P}_1$は$C$上の与えられた点とする．
(ii) $\mathrm{P}_n$を通り，$\mathrm{P}_n$とは異なる点で$C$と接する直線が$1$つだけ存在するとき，その直線を$\ell_n$とし，$\ell_n$と$C$との接点を$\mathrm{P}_{n+1}$とする．もしこのような直線$\ell_n$が存在しない場合には$\mathrm{P}_{n+1}$は$\mathrm{P}_n$と同一の点とする．

点$\mathrm{P}_n$の$x$座標を$x_n$とするとき，次の問に答えよ．


(1)直線$\ell_n$が存在する場合$\displaystyle x_{n+1}=\frac{[ト]}{[ナ]}x_n$である．

(2)$\mathrm{P}_1$を原点とするとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n=[ニ]$である．
(3)$\mathrm{P}_1$を点$(2,\ 8)$とするとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n=[ヌ]$である．

$2$点$\mathrm{A}(x,\ y)$，$\mathrm{B}(X,\ Y)$が原点$\mathrm{O}$を通る同一直線上にある．$\mathrm{OA} \cdot \mathrm{OB}=4$を満たし，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$は原点$\mathrm{O}$に対し反対側にある．次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{A}(x,\ y)$を$X$と$Y$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{A}$が直線$y=-2x-2$上を動くとき，

(i) 点$\mathrm{B}$の軌跡，
(ii) $\displaystyle\frac{\mathrm{OB}}{\mathrm{AB}}$が最大となる点$\mathrm{A}$および点$\mathrm{B}$の座標

を求めよ．

$1$辺の長さが$1$の正方形を底面とする四角柱$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$を考える．$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を，それぞれ辺$\mathrm{AE}$，辺$\mathrm{BF}$，辺$\mathrm{CG}$上に，$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$が同一平面上にあるようにとる．四角形$\mathrm{OPQR}$の面積を$S$とおく．また，$\angle \mathrm{AOP}$を$\alpha$，$\angle \mathrm{COR}$を$\beta$とおく．

(1)$S$を$\tan \alpha$と$\tan \beta$を用いて表せ．

(2)$\displaystyle \alpha+\beta=\frac{\pi}{4},\ S=\frac{7}{6}$であるとき，$\tan \alpha+\tan \beta$の値を求めよ．さらに，$\alpha \leqq \beta$のとき，$\tan \alpha$の値を求めよ．
（図は省略）

座標平面上に，円$C:(x-1)^2+(y-1)^2=1$と点$\mathrm{Q}(1,\ 2)$がある．点$\mathrm{P}_1$の座標を$(3,\ 0)$とし，$x$軸上の点$\mathrm{P}_2,\ \mathrm{P}_3,\ \cdots$を以下の条件によって決め，$\mathrm{P}_n$の座標を$(p_n,\ 0)$とする．

点$\mathrm{P}_n$から円$C$に接線を引き，その$y$座標が正である接点を$\mathrm{T}_n$とする．このとき，$3$点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{T}_n$，$\mathrm{P}_{n+1}$は同一直線上にある．（$n=1,\ 2,\ \cdots$）

このとき，以下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{T}_1$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}_2$の座標を求めよ．
(3)点$\mathrm{T}_n$の座標を$p_n$の式で表せ．
(4)点$\mathrm{P}_n$の座標を$n$の式で表せ．

$xy$平面上に楕円
\[ C_1:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{9}=1 \quad (a>\sqrt{13}) \]
および双曲線
\[ C_2:\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{b^2}=1 \quad (b>0) \]
があり，$C_1$と$C_2$は同一の焦点をもつとする．また$C_1$と$C_2$の交点
\[ \mathrm{P} \left( 2 \sqrt{1+\frac{t^2}{b^2}},\ t \right) \quad (t>0) \]
における$C_1$，$C_2$の接線をそれぞれ$\ell_1$，$\ell_2$とする．

(1)$a$と$b$の間に成り立つ関係式を求め，点$\mathrm{P}$の座標を$a$を用いて表せ．
(2)$\ell_1$と$\ell_2$が直交することを示せ．
(3)$a$が$a>\sqrt{13}$を満たしながら動くときの点$\mathrm{P}$の軌跡を図示せよ．

座標平面上に点$\mathrm{A}(\pi,\ 1)$がある．また，関数$y=\cos x$のグラフ上に点$\mathrm{P}$をとり，$\mathrm{A}$と$\mathrm{P}$との中点を$\mathrm{Q}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{P}$の座標を$(t,\ \cos t)$とするとき，$\mathrm{Q}$の座標を$t$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{Q}$の座標を$(x,\ y)$とするとき，$y$を$x$の関数として表せ．また，$y$の最大値と最小値を求めよ．
(3)$(2)$で求めた関数を$f(x)$とする．$2$つの関数$y=\cos x$と$y=f(x)$のグラフを同一の座標平面上に描け．ただし，どちらも$0 \leqq x \leqq 2\pi$の範囲で描け．
(4)$(2)$で求めた関数を$f(x)$とする．$2$つの関数$y=\cos x$と$y=f(x)$のグラフの交点について，その$y$座標の取り得る値をすべて求めよ．ただし，$x$の範囲はすべての実数とする．