「同一」について
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国立 金沢大学 2016年 第2問平面上の$2$つの曲線
\[ C_1:x^2+(y-5)^2=16,\quad C_2:y=\frac{1}{4}x^2 \]
を考える．次の問いに答えよ．
(1)$C_1$と$C_2$の共有点の座標を求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$を同一平面上に図示せよ．
(3)$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．
\[ C_1:x^2+(y-5)^2=16,\quad C_2:y=\frac{1}{4}x^2 \]
を考える．次の問いに答えよ．
(1)$C_1$と$C_2$の共有点の座標を求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$を同一平面上に図示せよ．
(3)$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．
国立 名古屋大学 2016年 第2問$2$つの円$C:(x-1)^2+y^2=1$と$D:(x+2)^2+y^2=7^2$を考える．また原点を$\mathrm{O}(0,\ 0)$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)円$C$上に，$y$座標が正であるような点$\mathrm{P}$をとり，$x$軸の正の部分と線分$\mathrm{OP}$のなす角を$\theta$とする．このとき，点$\mathrm{P}$の座標と線分$\mathrm{OP}$の長さを$\theta$を用いて表せ．
(2)$(1)$でとった点$\mathrm{P}$を固定したまま，点$\mathrm{Q}$が円$D$上を動くとき，$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積が最大になるときの$\mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{P}$が円$C$上を動き，点$\mathrm{Q}$が円$D$上を動くとき，$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積の最大値を求めよ．
ただし$(2)$，$(3)$においては，$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$が同一直線上にあるときは，$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積は$0$であるとする．
(1)円$C$上に，$y$座標が正であるような点$\mathrm{P}$をとり，$x$軸の正の部分と線分$\mathrm{OP}$のなす角を$\theta$とする．このとき，点$\mathrm{P}$の座標と線分$\mathrm{OP}$の長さを$\theta$を用いて表せ．
(2)$(1)$でとった点$\mathrm{P}$を固定したまま，点$\mathrm{Q}$が円$D$上を動くとき，$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積が最大になるときの$\mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{P}$が円$C$上を動き，点$\mathrm{Q}$が円$D$上を動くとき，$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積の最大値を求めよ．
ただし$(2)$，$(3)$においては，$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$が同一直線上にあるときは，$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積は$0$であるとする．
国立 岡山大学 2016年 第2問座標空間内に，原点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$を中心とする半径$1$の球面$S$と$2$点$\mathrm{A}(0,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{B}(0,\ 0,\ -1)$がある．$\mathrm{O}$と異なる点$\mathrm{P}(s,\ t,\ 0)$に対し，直線$\mathrm{AP}$と球面$S$の交点で$\mathrm{A}$と異なる点を$\mathrm{Q}$とする．さらに直線$\mathrm{BQ}$と$xy$平面の交点を$\mathrm{R}(u,\ v,\ 0)$とする．このとき以下の問いに答えよ．
(1)ふたつの線分$\mathrm{OP}$と$\mathrm{OR}$の長さの積を求めよ．
(2)$s,\ t$をそれぞれ$u,\ v$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{P}$が$xy$平面内の直線$ax+by=1 (a^2+b^2 \neq 0)$上を動くとき，対応する点$\mathrm{R}$は$xy$平面内の同一円周上にあることを証明せよ．
(1)ふたつの線分$\mathrm{OP}$と$\mathrm{OR}$の長さの積を求めよ．
(2)$s,\ t$をそれぞれ$u,\ v$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{P}$が$xy$平面内の直線$ax+by=1 (a^2+b^2 \neq 0)$上を動くとき，対応する点$\mathrm{R}$は$xy$平面内の同一円周上にあることを証明せよ．
国立 岡山大学 2016年 第4問座標空間内に，原点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$を中心とする半径$1$の球面$S$と$2$点$\mathrm{A}(0,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{B}(0,\ 0,\ -1)$がある．$\mathrm{O}$と異なる点$\mathrm{P}(s,\ t,\ 0)$に対し，直線$\mathrm{AP}$と球面$S$の交点で$\mathrm{A}$と異なる点を$\mathrm{Q}$とする．さらに直線$\mathrm{BQ}$と$xy$平面の交点を$\mathrm{R}(u,\ v,\ 0)$とする．このとき以下の問いに答えよ．
(1)ふたつの線分$\mathrm{OP}$と$\mathrm{OR}$の長さの積を求めよ．
(2)$s$を$u,\ v$を用いて表せ．
(3)$\ell$は$xy$平面内の直線で，原点$\mathrm{O}$を通らないものとする．直線$\ell$上を点$\mathrm{P}$が動くとき，対応する点$\mathrm{R}$は$xy$平面内の同一円周上にあることを証明せよ．
(1)ふたつの線分$\mathrm{OP}$と$\mathrm{OR}$の長さの積を求めよ．
(2)$s$を$u,\ v$を用いて表せ．
(3)$\ell$は$xy$平面内の直線で，原点$\mathrm{O}$を通らないものとする．直線$\ell$上を点$\mathrm{P}$が動くとき，対応する点$\mathrm{R}$は$xy$平面内の同一円周上にあることを証明せよ．
国立 筑波大学 2016年 第3問四面体$\mathrm{OABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．このとき等式
\[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}=1 \]
が成り立つとする．$t$は実数の定数で，$0<t<1$を満たすとする．線分$\mathrm{OA}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{P}$とし，線分$\mathrm{BC}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．また，線分$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{M}$とする．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$と$t$を用いて表せ．
(2)線分$\mathrm{OM}$と線分$\mathrm{BM}$の長さが等しいとき，線分$\mathrm{OB}$の長さを求めよ．
(3)$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が点$\mathrm{M}$を中心とする同一球面上にあるとする．このとき，$\triangle \mathrm{OAB}$と$\triangle \mathrm{OCB}$は合同であることを示せ．
\[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}=1 \]
が成り立つとする．$t$は実数の定数で，$0<t<1$を満たすとする．線分$\mathrm{OA}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{P}$とし，線分$\mathrm{BC}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．また，線分$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{M}$とする．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$と$t$を用いて表せ．
(2)線分$\mathrm{OM}$と線分$\mathrm{BM}$の長さが等しいとき，線分$\mathrm{OB}$の長さを求めよ．
(3)$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が点$\mathrm{M}$を中心とする同一球面上にあるとする．このとき，$\triangle \mathrm{OAB}$と$\triangle \mathrm{OCB}$は合同であることを示せ．
国立 埼玉大学 2016年 第2問$a,\ b,\ c$および$d$は実数で，$a>0$，$b<0$，$d \neq 0$とする．また
\[ f(x)=ax+b,\quad g(x)=x^2+cx+d \]
とおく．$xyz$空間内に$3$点$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$があり，点$\mathrm{O}$は原点を表す．点$\mathrm{P}_0(-4,\ 0,\ 4 \sqrt{3})$は定点で，$\mathrm{P}_1$と$\mathrm{P}_2$はそれぞれ実数$t$の値に応じて定まる点$\mathrm{P}_1(-t,\ f(t),\ 2 \sqrt{3})$，$\mathrm{P}_2(t,\ g(t),\ 0)$である．この$3$点$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$が次の$3$条件をみたしているとき，定数$a,\ b,\ c,\ d$の値をすべて求めなさい．
(i) $t=0$のとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}_1$と$\overrightarrow{\mathrm{OP}}_2$のなす角は$\displaystyle \frac{\pi}{3}$である．
(ii) ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}_1$の長さの最小値は$\sqrt{14}$である．
(iii) 点$\mathrm{O}$，$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$は，$t=1$および$t=-3$のとき，それぞれ同一平面上にある．
\[ f(x)=ax+b,\quad g(x)=x^2+cx+d \]
とおく．$xyz$空間内に$3$点$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$があり，点$\mathrm{O}$は原点を表す．点$\mathrm{P}_0(-4,\ 0,\ 4 \sqrt{3})$は定点で，$\mathrm{P}_1$と$\mathrm{P}_2$はそれぞれ実数$t$の値に応じて定まる点$\mathrm{P}_1(-t,\ f(t),\ 2 \sqrt{3})$，$\mathrm{P}_2(t,\ g(t),\ 0)$である．この$3$点$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$が次の$3$条件をみたしているとき，定数$a,\ b,\ c,\ d$の値をすべて求めなさい．
(i) $t=0$のとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}_1$と$\overrightarrow{\mathrm{OP}}_2$のなす角は$\displaystyle \frac{\pi}{3}$である．
(ii) ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}_1$の長さの最小値は$\sqrt{14}$である．
(iii) 点$\mathrm{O}$，$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$は，$t=1$および$t=-3$のとき，それぞれ同一平面上にある．
国立 東京学芸大学 2016年 第2問空間において，同一平面上にない$4$点を$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とする．線分$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$を$2$辺とする平行四辺形を$\mathrm{OADB}$，線分$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OC}$を$2$辺とする平行四辺形を$\mathrm{OAEC}$，線分$\mathrm{OB}$，$\mathrm{OC}$を$2$辺とする平行四辺形を$\mathrm{OBFC}$とする．下の問いに答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{ODE}$を含む平面と直線$\mathrm{AF}$の交点を$\mathrm{G}$とするとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=1$，$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=x$とする．点$\mathrm{O}$を中心とし，点$\mathrm{G}$を含む球面と$\triangle \mathrm{ABE}$を含む平面の交わりで得られる円の半径の最小値とそのときの$x$の値を求めよ．
(1)$\triangle \mathrm{ODE}$を含む平面と直線$\mathrm{AF}$の交点を$\mathrm{G}$とするとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=1$，$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=x$とする．点$\mathrm{O}$を中心とし，点$\mathrm{G}$を含む球面と$\triangle \mathrm{ABE}$を含む平面の交わりで得られる円の半径の最小値とそのときの$x$の値を求めよ．
私立 津田塾大学 2016年 第3問空間内の異なる$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$は同一平面上にないとし，$\mathrm{OA} \perp \mathrm{AB}$，$\mathrm{OA} \perp \mathrm{AC}$，$\mathrm{OB} \perp \mathrm{BC}$とする．また，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とする．
(1)$|\overrightarrow{a}|^2=\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$|\overrightarrow{a}|^2=\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$，$|\overrightarrow{b}|^2=\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$であることを示せ．
(2)$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{OB}$へ下ろした垂線を$\mathrm{AB}^\prime$，$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{OC}$へ下ろした垂線を$\mathrm{AC}^\prime$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OB}^\prime}=k \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}^\prime}=l \overrightarrow{c}$とする．$|\overrightarrow{a}|^2=k|\overrightarrow{b}|^2=l|\overrightarrow{c}|^2$であることを示せ．
(3)$\angle \mathrm{B}^\prime \mathrm{AC}^\prime=\theta$とするとき，$\cos \theta$を$k,\ l$を用いて表せ．
(1)$|\overrightarrow{a}|^2=\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$|\overrightarrow{a}|^2=\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$，$|\overrightarrow{b}|^2=\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$であることを示せ．
(2)$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{OB}$へ下ろした垂線を$\mathrm{AB}^\prime$，$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{OC}$へ下ろした垂線を$\mathrm{AC}^\prime$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OB}^\prime}=k \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}^\prime}=l \overrightarrow{c}$とする．$|\overrightarrow{a}|^2=k|\overrightarrow{b}|^2=l|\overrightarrow{c}|^2$であることを示せ．
(3)$\angle \mathrm{B}^\prime \mathrm{AC}^\prime=\theta$とするとき，$\cos \theta$を$k,\ l$を用いて表せ．
私立 明治大学 2016年 第2問同一平面上において，点$\mathrm{O}$を中心とする半径$10$の円周上に$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$がある．線分$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{CO}$は交点を持ち，この交点を$\mathrm{P}$とする．$\mathrm{CP}=14$であり，$\mathrm{AP}:\mathrm{BP}=2:3$である．以下の問に答えなさい．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{CA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{CB}}=\overrightarrow{b}$とすると，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CP}}=\frac{[チ] \overrightarrow{a}+[ツ] \overrightarrow{b}}{[テ]}$である．
また，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}}=\frac{[ト] \overrightarrow{a}-[ナ] \overrightarrow{b}}{[ニ]}$と表すことができる．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$についての計算から，内積$\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\frac{[ヌ][ネ][ノ]}{[ハ]}$となる．
さらに，$\mathrm{CA}=[ヒ] \sqrt{[フ][ヘ]}$，$\mathrm{CB}=[ホ] \sqrt{[マ]}$である．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$\displaystyle \frac{[ミ][ム][メ] \sqrt{[モ]}}{[ヤ]}$である．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{CA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{CB}}=\overrightarrow{b}$とすると，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CP}}=\frac{[チ] \overrightarrow{a}+[ツ] \overrightarrow{b}}{[テ]}$である．
また，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}}=\frac{[ト] \overrightarrow{a}-[ナ] \overrightarrow{b}}{[ニ]}$と表すことができる．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$についての計算から，内積$\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\frac{[ヌ][ネ][ノ]}{[ハ]}$となる．
さらに，$\mathrm{CA}=[ヒ] \sqrt{[フ][ヘ]}$，$\mathrm{CB}=[ホ] \sqrt{[マ]}$である．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$\displaystyle \frac{[ミ][ム][メ] \sqrt{[モ]}}{[ヤ]}$である．
私立 岡山理科大学 2016年 第4問$\triangle \mathrm{ABC}$において，内心を$\mathrm{I}$，外心を$\mathrm{O}$，内接円の半径を$r$，外接円の半径を$R$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$\angle \mathrm{BAC}=\alpha$とするとき，$\angle \mathrm{BIC}$を$\alpha$の式で表せ．
(2)直線$\mathrm{AI}$と$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円との$\mathrm{A}$でない交点を$\mathrm{D}$とするとき，$3$点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{I}$は$\mathrm{D}$を中心とする同一円周上にあることを証明せよ．
(3)$2$点$\mathrm{I}$，$\mathrm{O}$の距離を$d$とする．$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$のとき，等式$(R+d)(R-d)=2rR$および不等式$R \geqq 2r$を証明せよ．
(4)$\mathrm{AB} \neq \mathrm{AC}$のとき，不等式$R>2r$を証明せよ．
(1)$\angle \mathrm{BAC}=\alpha$とするとき，$\angle \mathrm{BIC}$を$\alpha$の式で表せ．
(2)直線$\mathrm{AI}$と$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円との$\mathrm{A}$でない交点を$\mathrm{D}$とするとき，$3$点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{I}$は$\mathrm{D}$を中心とする同一円周上にあることを証明せよ．
(3)$2$点$\mathrm{I}$，$\mathrm{O}$の距離を$d$とする．$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$のとき，等式$(R+d)(R-d)=2rR$および不等式$R \geqq 2r$を証明せよ．
(4)$\mathrm{AB} \neq \mathrm{AC}$のとき，不等式$R>2r$を証明せよ．