「合計」について
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私立 安田女子大学 2013年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \frac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}$の分母を有理化して簡単にせよ．
(2)$x^3+x^2y-x^2z-xy^2-y^3+y^2z$を因数分解せよ．
(3)$1$冊$180$円のノートと$1$本$80$円の鉛筆をいくつか買い，代金の合計を$900$円以下にしたい．買い方は何通りあるか求めよ．ただし，ノートは$2$冊以上，鉛筆は$1$本以上買うものとする．
(4)半径$2$の円に内接する正六角形$P$と外接する正六角形$Q$がある．$P$と$Q$の面積比を求めよ．
(1)$\displaystyle \frac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}$の分母を有理化して簡単にせよ．
(2)$x^3+x^2y-x^2z-xy^2-y^3+y^2z$を因数分解せよ．
(3)$1$冊$180$円のノートと$1$本$80$円の鉛筆をいくつか買い，代金の合計を$900$円以下にしたい．買い方は何通りあるか求めよ．ただし，ノートは$2$冊以上，鉛筆は$1$本以上買うものとする．
(4)半径$2$の円に内接する正六角形$P$と外接する正六角形$Q$がある．$P$と$Q$の面積比を求めよ．
私立 安田女子大学 2013年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \frac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}$の分母を有理化して簡単にせよ．
(2)$x^3+x^2y-x^2z-xy^2-y^3+y^2z$を因数分解せよ．
(3)$1$冊$180$円のノートと$1$本$80$円の鉛筆をいくつか買い，代金の合計を$900$円以下にしたい．買い方は何通りあるか求めよ．ただし，ノートは$2$冊以上，鉛筆は$1$本以上買うものとする．
(4)$k$を実数とする$2$次方程式$x^2+x+k=0$の解が$\sin \theta$，$\cos \theta$で表されるとき，$k,\ \theta$の値を求めよ．ただし，$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
(5)$3 \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(1,\ 0)$，$\overrightarrow{a}-2 \overrightarrow{b}=(0,\ 1)$であるとき，$(3,\ -1)$を$\overrightarrow{a}$および$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(1)$\displaystyle \frac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}$の分母を有理化して簡単にせよ．
(2)$x^3+x^2y-x^2z-xy^2-y^3+y^2z$を因数分解せよ．
(3)$1$冊$180$円のノートと$1$本$80$円の鉛筆をいくつか買い，代金の合計を$900$円以下にしたい．買い方は何通りあるか求めよ．ただし，ノートは$2$冊以上，鉛筆は$1$本以上買うものとする．
(4)$k$を実数とする$2$次方程式$x^2+x+k=0$の解が$\sin \theta$，$\cos \theta$で表されるとき，$k,\ \theta$の値を求めよ．ただし，$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
(5)$3 \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(1,\ 0)$，$\overrightarrow{a}-2 \overrightarrow{b}=(0,\ 1)$であるとき，$(3,\ -1)$を$\overrightarrow{a}$および$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
私立 吉備国際大学 2013年 第3問赤玉と白玉が合計$16$個入っている袋がある．この袋から同時に$2$個の玉を取り出す試行を行う．
(1)$2$個とも赤である確率が$\displaystyle \frac{11}{20}$のとき，赤玉の個数を求めよ．
(2)赤玉が$(1)$で求めた個数のとき，$2$個とも白玉が取り出される確率を求めよ．
(1)$2$個とも赤である確率が$\displaystyle \frac{11}{20}$のとき，赤玉の個数を求めよ．
(2)赤玉が$(1)$で求めた個数のとき，$2$個とも白玉が取り出される確率を求めよ．
私立 桜美林大学 2013年 第4問$0$，$1$，$2$，$3$，$4$の数字が$1$つずつ書かれたカードが$2$枚ずつ合計$10$枚ある．この中から同時に$3$枚のカードを取り出すとき，以下の問に答えなさい．
(1)取り出したカードを並べて$3$桁の自然数をつくるとき，$213$以下となるものは$[ル][レ]$個ある．
(2)取り出したカードの中に$0$のカードが含まれている確率は$\displaystyle \frac{[ロ]}{[ワ][ヲ]}$である．
(3)取り出したカードの数字がいずれも$3$以下である確率は$\displaystyle \frac{[ガ]}{[ギ][グ]}$である．
(4)取り出したカードの数字の最大値が$3$である確率は$\displaystyle \frac{[ゲ]}{[ゴ][ザ]}$である．
(1)取り出したカードを並べて$3$桁の自然数をつくるとき，$213$以下となるものは$[ル][レ]$個ある．
(2)取り出したカードの中に$0$のカードが含まれている確率は$\displaystyle \frac{[ロ]}{[ワ][ヲ]}$である．
(3)取り出したカードの数字がいずれも$3$以下である確率は$\displaystyle \frac{[ガ]}{[ギ][グ]}$である．
(4)取り出したカードの数字の最大値が$3$である確率は$\displaystyle \frac{[ゲ]}{[ゴ][ザ]}$である．
私立 日本福祉大学 2013年 第4問$3$つの組$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$があり，$\mathrm{A}$組は$6$人，$\mathrm{B}$組は$5$人，$\mathrm{C}$組は$4$人からなる．これら$3$組の合計$15$人の中から，くじ引きで無作為に$4$人の委員を選ぶとき，以下の問いに答えよ．
(1)$4$人の委員がすべて$\mathrm{A}$組から選ばれる確率を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$のいずれの組からも最低$1$人は選ばれる確率を求めよ．
(1)$4$人の委員がすべて$\mathrm{A}$組から選ばれる確率を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$のいずれの組からも最低$1$人は選ばれる確率を求めよ．
私立 ノートルダム清心女子大学 2013年 第1問以下の問いに答えなさい．
(1)次の$2$次方程式を解きなさい．解の分母は有理化しなさい．
\[ (1+\sqrt{3})x^2+(2+\sqrt{3})x+1=0 \]
(2)$\alpha$と$\beta$は$2$次関数$y=ax^2+bx+c$のグラフと$x$軸の共有点の$x$座標であり，$\alpha<-1$と$0<\beta<1$を満たしているものとする．このとき次の式の符号を求め，その理由も示しなさい．ただし，$a<0$とする．
\[ \nagamaruichi -\frac{b}{2a} \qquad \nagamaruni b \qquad \nagamarusan c \qquad \nagamarushi b^2-4ac \qquad \nagamarugo a-b+c \qquad \nagamaruroku a+b+c \]
(3)高さ$5$メートルの像がある．これと同じ材質を用いて，像と相似形で高さ$10$センチメートルのミニチュアを作るとする．このとき次の問いに答えなさい．ただし，像もミニチュアも均質で，中に空洞はないものとする．
(i) もとの像とこのミニチュアの相似比を，最も簡単な整数の比として求めなさい．
(ii) もとの像と同じ体積の材料から何個のミニチュアを作ることができるか．ただし，材料は余すところなくすべて使えるものとする．
(iii) $(ⅱ)$でできたミニチュアすべての表面積の合計はもとの像の表面積の何倍か．
(1)次の$2$次方程式を解きなさい．解の分母は有理化しなさい．
\[ (1+\sqrt{3})x^2+(2+\sqrt{3})x+1=0 \]
(2)$\alpha$と$\beta$は$2$次関数$y=ax^2+bx+c$のグラフと$x$軸の共有点の$x$座標であり，$\alpha<-1$と$0<\beta<1$を満たしているものとする．このとき次の式の符号を求め，その理由も示しなさい．ただし，$a<0$とする．
\[ \nagamaruichi -\frac{b}{2a} \qquad \nagamaruni b \qquad \nagamarusan c \qquad \nagamarushi b^2-4ac \qquad \nagamarugo a-b+c \qquad \nagamaruroku a+b+c \]
(3)高さ$5$メートルの像がある．これと同じ材質を用いて，像と相似形で高さ$10$センチメートルのミニチュアを作るとする．このとき次の問いに答えなさい．ただし，像もミニチュアも均質で，中に空洞はないものとする．
(i) もとの像とこのミニチュアの相似比を，最も簡単な整数の比として求めなさい．
(ii) もとの像と同じ体積の材料から何個のミニチュアを作ることができるか．ただし，材料は余すところなくすべて使えるものとする．
(iii) $(ⅱ)$でできたミニチュアすべての表面積の合計はもとの像の表面積の何倍か．
公立 愛知県立大学 2013年 第1問$t$を$1 \leqq t \leqq 6$を満たす実数とする．原点を$\mathrm{O}(0,\ 0)$とする座標平面上に，点$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(3,\ 0)$，$\mathrm{C}(3,\ 12)$，$\mathrm{D}(1,\ 12)$，$\mathrm{P}(7,\ 0)$，$\mathrm{Q}(t,\ 7t-t^2)$をとる．長方形$\mathrm{ABCD}$と$\triangle \mathrm{OPQ}$の共通部分の面積を$f(t)$とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)$f(t)$を求めよ．
(2)$3$個のさいころを同時に投げて，出た目の合計を$m$とする．このとき，
\[ f \left( \frac{m}{3} \right)<3m \]
となる確率を求めよ．
(1)$f(t)$を求めよ．
(2)$3$個のさいころを同時に投げて，出た目の合計を$m$とする．このとき，
\[ f \left( \frac{m}{3} \right)<3m \]
となる確率を求めよ．
公立 大阪府立大学 2013年 第1問スペードの$\mathrm{A},\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$の$6$枚と，ハートの$\mathrm{A},\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$の$6$枚の合計$12$枚のトランプのカードから$6$枚を選び，下図の正三角形の辺上のア，イ，ウ，エ，オ，カの位置に$1$枚ずつ置く．正三角形の各辺にはそれぞれ$3$枚のカードが置かれるが，このとき，スペードのカードが$3$枚並ぶ辺の数を$n$とする．以下の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)$n=3$である場合の数を求めよ．
(2)$n=2$である場合の数を求めよ．
(3)$n=1$である場合の数を求めよ．
（図は省略）
(1)$n=3$である場合の数を求めよ．
(2)$n=2$である場合の数を求めよ．
(3)$n=1$である場合の数を求めよ．
公立 名古屋市立大学 2013年 第2問文字$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，数字$1,\ 2,\ 3$と書かれたカードをそれぞれ$1$枚ずつ，合計$6$枚を箱に入れる．箱から無作為にカードを$2$枚引いて，図のような列$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$行$1,\ 2,\ 3$とする$3 \times 3$のマス目に以下のルールに従って，石を置くか取り除く試行を行う．
（図は省略）
\begin{itemize}
引いた$2$枚のカードが文字同士，数字同士の組み合わせである場合何もしない．
引いた$2$枚のカードが文字と数字の組み合わせだった場合，もし，その文字と数字に対応するマス目に石が置かれていない場合，石を置く．もしそのマス目に石が置かれている場合，石を取り除く．
カードは試行ごとに箱に戻すとする．
\end{itemize}
例えば，下図の状態のあとカードを引いて，カードが$\mathrm{B}$，$1$の組み合わせの場合，$\mathrm{B}$列$1$行のマス目に石を置く．カードの組み合わせが$\mathrm{A}$，$2$の場合は，$\mathrm{A}$列$2$行のマス目には石が置かれているのでそれを取り除く．
（図は省略）
ただし，第$1$回目の試行を開始する前には，マス目には石は置かれていない．次の問いに答えよ．
(1)第$1$回目の試行のあと，石がマス目に置かれている確率を求めよ．
(2)第$2$回目の試行のあと，石がマス目に置かれている確率を求めよ．
(3)第$3$回目の試行のあと，マス目に置かれている石の数の期待値を求めよ．
（図は省略）
\begin{itemize}
引いた$2$枚のカードが文字同士，数字同士の組み合わせである場合何もしない．
引いた$2$枚のカードが文字と数字の組み合わせだった場合，もし，その文字と数字に対応するマス目に石が置かれていない場合，石を置く．もしそのマス目に石が置かれている場合，石を取り除く．
カードは試行ごとに箱に戻すとする．
\end{itemize}
例えば，下図の状態のあとカードを引いて，カードが$\mathrm{B}$，$1$の組み合わせの場合，$\mathrm{B}$列$1$行のマス目に石を置く．カードの組み合わせが$\mathrm{A}$，$2$の場合は，$\mathrm{A}$列$2$行のマス目には石が置かれているのでそれを取り除く．
（図は省略）
ただし，第$1$回目の試行を開始する前には，マス目には石は置かれていない．次の問いに答えよ．
(1)第$1$回目の試行のあと，石がマス目に置かれている確率を求めよ．
(2)第$2$回目の試行のあと，石がマス目に置かれている確率を求めよ．
(3)第$3$回目の試行のあと，マス目に置かれている石の数の期待値を求めよ．
公立 釧路公立大学 2013年 第1問以下の各問に答えよ．
(1)ある大学の売店では年会費を$5,000$円払えば会員となり，品物を$5 \, \%$引きで買うことができる．$1$個$380$円の品物を買うとき，何個以上買うと，会員になった方が，会員にならないよりも合計金額が安くなるか答えよ．
(2)$2$次関数$y=3x^2+6nx+12n$がある．
(i) この$2$次関数の最小値$m$を，$n$の関数で表せ．
(ii) $n$の値を変化させて，$(1)$における最小値$m$が最も大きくなるときの$n$の値と，そのときの$m$の値を求めよ．
(3)底面の半径が$6$，高さが$8$の円錐に内接する球$\mathrm{Q}$の表面積と体積を求めよ．ただし，円周率は$\pi$とする．
(1)ある大学の売店では年会費を$5,000$円払えば会員となり，品物を$5 \, \%$引きで買うことができる．$1$個$380$円の品物を買うとき，何個以上買うと，会員になった方が，会員にならないよりも合計金額が安くなるか答えよ．
(2)$2$次関数$y=3x^2+6nx+12n$がある．
(i) この$2$次関数の最小値$m$を，$n$の関数で表せ．
(ii) $n$の値を変化させて，$(1)$における最小値$m$が最も大きくなるときの$n$の値と，そのときの$m$の値を求めよ．
(3)底面の半径が$6$，高さが$8$の円錐に内接する球$\mathrm{Q}$の表面積と体積を求めよ．ただし，円周率は$\pi$とする．