$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の2人が，サイコロを1回ずつ交互に投げるゲームを行う．自分の出したサイコロの目を合計して先に6以上になった方を勝ちとし，その時点でゲームを終了する．$\mathrm{A}$から投げ始めるものとし，以下の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{B}$がちょうど1回投げて$\mathrm{B}$が勝ちとなる確率を求めよ．
(2)$\mathrm{B}$がちょうど2回投げて$\mathrm{B}$が勝ちとなる確率を求めよ．
(3)$\mathrm{B}$がちょうど2回投げて，その時点でゲームが終了していない確率を求めよ．

$1$枚の硬貨を投げて，表が出ると$2$点入り，裏が出ると$-1$点入るゲームを考える．このゲームをくり返し$6$回行ったときの合計得点を$X$点とする．次の問いに答えよ．

(1)$X$が$3$である確率を求めよ．
(2)$X$が負である確率を求めよ．
(3)$X$の期待値を求めよ．

$1$枚の硬貨を投げて，表が出ると$2$点入り，裏が出ると$-1$点入るゲームを考える．このゲームをくり返し$6$回行ったときの合計得点を$X$点とする．次の問いに答えよ．

(1)$X$が$3$である確率を求めよ．
(2)$X$が負である確率を求めよ．
(3)$X$の期待値を求めよ．

次の$[　]$の中を適当に補いなさい．

(1)$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(-1,\ 2)$，$\overrightarrow{b}=(x,\ 1)$について，$2 \overrightarrow{a}-3 \overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}$が垂直になるように，実数$x$を定めると$x=[　]$．
(2)青玉$10$個，黄玉$10$個，黒玉$10$個，緑玉$10$個，赤玉$10$個の合計$50$個が入った壺がある．最初に$1$個とり出して，見ずに箱にしまっておく．その後，壺から$1$個ずつ玉を戻さずに$3$回とり出したら，$3$個とも赤玉であった．箱にしまっておいた玉が赤玉である確率は$[　]$．
(3)曲線$y=-x(x-2)$と$x$軸で囲まれた面積を，直線$y=(-a+2)x$が$2$等分するとき，定数$a$を定めると$a=[　]$．

$2$つのさいころを同時に投げることをくり返し，投げるのを止めた時点までの出た目の総和が得点となるゲームを行う．さいころは何回投げてもよいし，途中で投げるのを止めてもよいが，$2$つのさいころで同じ目が出た場合は得点は$0$点となり，以降さいころを投げることもできなくなる．例えば，下の得点表において，$\mathrm{A}$君は$2$回で投げるのを止めて$18$点，$\mathrm{B}$君は$3$回目で「$6$と$6$」を出してしまったので$0$点となる．$\mathrm{C}$君は$1$回さいころを投げたところである．以下の問いに答えよ．

\begin{tabular}{|c||c|c|c|}
\hline
& $\mathrm{A}$君 & $\mathrm{B}$君 & $\mathrm{C}$君 \\ \hline
$1$回目 & $3$と$6$ & $1$と$3$ & $5$と$6$ \\
$2$回目 & $4$と$5$ & $4$と$6$ & \\
$3$回目 & 止 & $6$と$6$ & \\ \hline
得点 & $18$ & $0$ & \\ \hline
\end{tabular}


(1)$2$つのさいころを$1$回だけ投げてゲームを止めたときの，得点の期待値を求めよ．
(2)$\mathrm{C}$君がもう$1$回さいころを投げてゲームを止めたときの，得点の期待値を求めよ．
(3)これまでに出した目の合計が$x$である人がいる．この人がもう$1$回さいころを投げてゲームを止めたときの得点の期待値$y$を，$x$を用いて表せ．
(4)(3)で求めた$y$について，$y<x$となる$x$の範囲を求めよ．

最初に袋の中に，赤球と白球が$3$個ずつ，合計$6$個入っている．この状態から次の$①$～$③$の一連の操作を行う．

\mon[$①$] 袋の中から無作為に$3$個の球を取り出す．
\mon[$②$] $①$で取り出した球は袋に戻さず，取り出した赤球の数だけ白球を袋に補充し，取り出した白球の数だけ赤球を袋に補充する．
\mon[$③$] $①,\ ②$の操作をもう一度繰り返す．

ただし，補充する赤球と白球は十分にあるものとする．$①$～$③$の操作の後に，袋の中にある赤球の個数を$a$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)$a=3$となる確率を求めよ．
(2)$a$の期待値を求めよ．

右の図のような，縦方向に$5$行，横方向に$5$列の合計$25$個のマス目から， \\
異なる$5$個のマス目を選んでマス目に○をつける．以下の問いに答えよ．
\img{678_3147_2013_1}{15}


(1)すべての列に○がついているようなマス目の選び方の総数を求めよ．
(2)すべての行と列に○がついているようなマス目の選び方の総数を求めよ．
(3)○のついている列が$2$列，○のついていない列が$3$列になるようなマス \\
目の選び方の総数を求めよ．
(4)右の図のように，右上のマス目が選ばれて○がついており，かつ，×がついた対角線上のマス目を選んで○をつけることができないものとする．このとき，すべての行と列に○がついているようなマス目の選び方の総数を求めよ．

最初に袋の中に，赤球と白球が$3$個ずつ，合計$6$個入っている．この状態から次の$①$～$③$の一連の操作を行う．

\mon[$①$] 袋の中から無作為に$3$個の球を取り出す．
\mon[$②$] $①$で取り出した球は袋に戻さず，取り出した赤球の数だけ白球を袋に補充し，取り出した白球の数だけ赤球を袋に補充する．
\mon[$③$] $①,\ ②$の操作をもう一度繰り返す．

ただし，補充する赤球と白球は十分にあるものとする．$①$～$③$の操作の後に，袋の中にある赤球の個数を$a$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)$a=3$となる確率を求めよ．
(2)$a$の期待値を求めよ．

赤玉$5$個，白玉$7$個の合計$12$個の玉が入っている袋から$4$個の玉を同時に取り出すとき，以下の問に答えよ．

(1)赤玉が$3$個以上取り出される確率は$\displaystyle \frac{[ト]}{[ナニ]}$である．

(2)白玉が$2$個以上取り出される確率は$\displaystyle \frac{[ヌネ]}{[ノハ]}$である．
(3)この袋に，さらに青玉を$3$個入れて合計$15$個にする．この袋の中から$4$個の玉を同時に取り出すとき，少なくとも$1$個は赤玉か青玉である確率は$\displaystyle \frac{[ヒフ]}{[ヘホ]}$である．

$1 \leqq p<q \leqq 6$を満たす整数$p$と$q$がある．$2$つのサイコロを同時に振り，出た目のうちで$p$または$q$に等しい目の合計を得点とする．例えば，$p$の目が$2$つ出たときは，得点は$2p$である．$p$の目も$q$の目も出なければ，得点は$0$である．

(1)得点が$0$となる確率を求めよ．
(2)得点の期待値を求めよ．