$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$の$6$人の女子と$\mathrm{W}$，$\mathrm{X}$，$\mathrm{Y}$，$\mathrm{Z}$の$4$人の男子の合計$10$人を$7$人と$3$人の$2$チームに分ける．ただし，どちらのチームにも少なくとも$1$人の男子が属するようにする．

(1)このようなチームの分け方は何通りあるか．
(2)$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が同じチームに属するようなチームの分け方は何通りあるか．
(3)$\mathrm{F}$と$\mathrm{W}$が同じチームに属するようなチームの分け方は何通りあるか．
(4)$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が異なるチームに属し，かつ，$\mathrm{F}$と$\mathrm{W}$も異なるチームに属するようなチームの分け方は何通りあるか．

白い玉が$3$個，黒い玉が$2$個，赤い玉が$1$個入った袋から，玉を取り出す．白い玉は$0$点，黒い玉は$1$個につき$1$点，赤い玉は$1$個につき$2$点がそれぞれ与えられる．$2$個の玉を同時に取り出したときに与えられる点の合計を得点とする．次の問いに答えよ．

(1)得点が$2$点である確率を求めよ．
(2)得点の期待値を求めよ．
(3)袋に白い玉を追加したら，得点の期待値が$\displaystyle \frac{4}{5}$になった．追加した白い玉の個数を求めよ．

箱の中に赤玉が$5$個，黒玉が$3$個，白玉が$1$個入っている．箱から玉を$1$つ取り出し，色を見てから玉を箱に戻す試行を$3$回くり返す．$1$回の試行ごとに，取り出した玉の色が赤なら$1$点，黒なら$-2$点，白なら$0$点を得るものとする．ただし，$3$回とも白玉を取り出した場合は，$10$点を得るものとする．

(1)合計得点が$0$点である確率を求めよ．
(2)合計得点が$-3$点以上かつ$1$点以下である確率を求めよ．

男子$9$人，女子$5$人の合計$14$人の中から，バレーボールの選手を$6$人選んでチームをつくる．

(1)$6$人の選び方は全部で$\kakkofour{カ}{キ}{ク}{ケ}$通りある．
(2)男子$3$人，女子$3$人となる選び方は$[コ][サ][シ]$通りある．
(3)$6$人のチームが男女混合チームとなる選び方は$\kakkofour{ス}{セ}{ソ}{タ}$通りある．

次の問いに答えよ．

(1)整式$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$は，$x^2+3$で割ると余りは$x+3$であり，$x^2+x+2$で割ると余りは$3x+5$である．このとき，
\[ a=[ア],\quad b=[イ],\quad c=[ウ],\quad d=[エ] \]
である．
(2)$x$の関数
\[ f(x)=(\log_2 x)^2+\log_2 (\sqrt{2}x) \]
は，$\displaystyle x=\frac{\sqrt{[オ]}}{[カ]}$のとき最小値$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]}$をとる．
(3)総数$100$本のくじがあり，その当たりくじの賞金と本数は下の表の通りである．この中から$1$本のくじを引くときの賞金の期待値は$[ケ]$円であり，$2$本のくじを同時に引くときの賞金の合計金額の期待値は$[コ]$円である．


\begin{tabular}{|r|r|r|}
\hline
& 賞金 & 本数 \\ \hline
$1$等 & $1000$円 & $1$本 \\ \hline
$2$等 & $500$円 & $2$本 \\ \hline
$3$等 & $200$円 & $5$本 \\ \hline
はずれ & $0$円 & $92$本 \\ \hline
\end{tabular}

次の空所$[ア]$～$[タ]$を埋めよ．

赤玉が$5$個，青玉が$7$個，黄玉が$4$個入っている袋から，玉を同時に$3$個取り出した．

(1)玉の色の組み合わせは$[アイ]$通りである．
(2)取り出した$3$つの玉がすべて同じ色である確率は$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エオ]}$である．
(3)取り出した$3$つの玉がすべて別の色である確率は$\displaystyle \frac{[カ]}{[キ]}$である．
(4)赤玉を$2$点，青玉を$1$点，黄玉を$0$点とするとき，合計点が$4$点となる確率は$\displaystyle \frac{[クケ]}{[コサシ]}$である．
(5)$(4)$のように点数をつけるとき，合計点の期待値は$\displaystyle \frac{[スセ]}{[ソタ]}$である．

以下の各問に答えよ．

(1)年利率$r \, \%$，$1$年ごとの複利で$y$万円を預けると，$x$年後に元利合計は$y(1+0.01r)^x$万円となる．ただし，$r$は整数とする．このとき，以下の各問について別添の常用対数表（省略）を用いて答えよ．

(i) 年利率$2 \, \%$で$10$万円を預けると，元利合計が初めて$15$万円を超えるのは何年後か求めよ．
(ii) 元利合計が$10$年で預けた金額の倍以上になるような最小の$r$を求めよ．

(2)曲線：$y=x^3-5x^2+2x+8$がある．以下の各問に答えよ．

(i) 曲線と$x$軸との交点の座標をすべて求めよ．
(ii) 曲線と$y$軸との交点における曲線の接線の方程式を求めよ．
(iii) 曲線と$(2)$で求めた直線で囲まれる図形の面積を求めよ．

$2$つの袋$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$がある．袋$\mathrm{A}$には白玉が$2$つと，赤玉，青玉，黒玉が$1$つずつ，合計$5$つの玉が入っている．袋$\mathrm{B}$には白玉と赤玉が$1$つずつ，青玉が$3$つの合計$5$つの玉が入っている．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)袋$\mathrm{A}$と袋$\mathrm{B}$から$1$つずつ玉を取り出すとき，同じ色になる確率を求めよ．
(2)袋$\mathrm{A}$と袋$\mathrm{B}$から$1$つずつ玉を取り出すとき，異なる色になる確率を求めよ．
(3)袋$\mathrm{A}$からは$1$つ，袋$\mathrm{B}$からは$3$つ同時に玉を取り出すとき，その$4$つの玉の色が$2$色以上になる確率を求めよ．
(4)袋$\mathrm{A}$から$2$つ同時に玉を取り出し，袋$\mathrm{B}$からも$2$つ同時に玉を取り出すとき，その$4$つの玉の色がすべて異なる確率を求めよ．

コインを連続して投げる試行を考える．表が出た回は賞金が得られ，裏が出た回の賞金は$0$円とする．賞金は，$1$回目の試行で表なら$1$円，直前に裏が出て表が出たら$1$円である．裏が出た直後の試行または$1$回目の試行から数えて$n$回（$n \geqq 2$）続けて表が出ると，この$n$回目の表に対して$n$円得られるとする．たとえば，$5$回投げて表，表，裏，表，表の順に出た場合に（表，表，裏，表，表）と表記する．この場合には$1+2+0+1+2$の合計$6$円の賞金が得られる．以下の問題に答えよ．

(1)$2$回コインを投げ，$2$回とも表が出る確率を求めよ．
(2)$2$回コインを投げたとき，得られる賞金の期待値を求めよ．
(3)$5$回コインを投げて$3$回表が出たとする．得られる賞金が最も多いときと最も少ないときの賞金の差を求めよ．
(4)$5$回コインを投げたとき，得られる賞金が$4$円である確率を求めよ．
(5)$5$回コインを投げたとき，得られる賞金が$3$円以下である確率を求めよ．

$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$2$人が，サイコロを$1$回ずつ交互に投げるゲームを行う．自分の出したサイコロの目を合計して先に$6$以上になった方を勝ちとし，その時点でゲームを終了する．$\mathrm{A}$から投げ始めるものとし，以下の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{A}$がちょうど$2$回投げて$\mathrm{A}$が勝ちとなる確率を求めよ．
(2)$\mathrm{B}$がちょうど$2$回投げて$\mathrm{B}$が勝ちとなる確率を求めよ．
(3)$\mathrm{B}$がちょうど$3$回投げて，その時点でゲームが終了していない確率を求めよ．