「合計」について
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国立 神戸大学 2014年 第4問$n$を自然数とする．$1$から$2n$までの番号をつけた$2n$枚のカードを袋に入れ，よくかき混ぜて$n$枚を取り出し，取り出した$n$枚のカードの数字の合計を$A$，残された$n$枚のカードの数字の合計を$B$とする．このとき，以下の問に答えよ．
(1)$n$が奇数のとき，$A$と$B$が等しくないことを示せ．
(2)$n$が偶数のとき，$A$と$B$の差は偶数であることを示せ．
(3)$n=4$のとき，$A$と$B$が等しい確率を求めよ．
(1)$n$が奇数のとき，$A$と$B$が等しくないことを示せ．
(2)$n$が偶数のとき，$A$と$B$の差は偶数であることを示せ．
(3)$n=4$のとき，$A$と$B$が等しい確率を求めよ．
国立 東北大学 2014年 第2問$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$のそれぞれの数字が書かれた玉が$2$個ずつ，合計$10$個ある．
(1)$10$個の玉を袋に入れ，よくかき混ぜて$2$個の玉を取り出す．書かれている$2$つの数字の積が$10$となる確率を求めよ．
(2)$10$個の玉を袋に入れ，よくかき混ぜて$4$個の玉を取り出す．書かれている$4$つの数字の積が$100$となる確率を求めよ．
(3)$10$個の玉を袋に入れ，よくかき混ぜて$6$個の玉を取り出す．$1$個目から$3$個目の玉に書かれている$3$つの数字の積と，$4$個目から$6$個目の玉に書かれている$3$つの数字の積が等しい確率を求めよ．
(1)$10$個の玉を袋に入れ，よくかき混ぜて$2$個の玉を取り出す．書かれている$2$つの数字の積が$10$となる確率を求めよ．
(2)$10$個の玉を袋に入れ，よくかき混ぜて$4$個の玉を取り出す．書かれている$4$つの数字の積が$100$となる確率を求めよ．
(3)$10$個の玉を袋に入れ，よくかき混ぜて$6$個の玉を取り出す．$1$個目から$3$個目の玉に書かれている$3$つの数字の積と，$4$個目から$6$個目の玉に書かれている$3$つの数字の積が等しい確率を求めよ．
国立 東北大学 2014年 第3問$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$のそれぞれの数字が書かれた玉が$2$個ずつ，合計$10$個ある．
(1)$10$個の玉を袋に入れ，よくかき混ぜて$2$個の玉を取り出す．書かれている$2$つの数字の積が$10$となる確率を求めよ．
(2)$10$個の玉を袋に入れ，よくかき混ぜて$4$個の玉を取り出す．書かれている$4$つの数字の積が$100$となる確率を求めよ．
(3)$10$個の玉を袋に入れ，よくかき混ぜて$6$個の玉を取り出す．$1$個目から$3$個目の玉に書かれている$3$つの数字の積と，$4$個目から$6$個目の玉に書かれている$3$つの数字の積が等しい確率を求めよ．
(1)$10$個の玉を袋に入れ，よくかき混ぜて$2$個の玉を取り出す．書かれている$2$つの数字の積が$10$となる確率を求めよ．
(2)$10$個の玉を袋に入れ，よくかき混ぜて$4$個の玉を取り出す．書かれている$4$つの数字の積が$100$となる確率を求めよ．
(3)$10$個の玉を袋に入れ，よくかき混ぜて$6$個の玉を取り出す．$1$個目から$3$個目の玉に書かれている$3$つの数字の積と，$4$個目から$6$個目の玉に書かれている$3$つの数字の積が等しい確率を求めよ．
国立 九州大学 2014年 第4問$\mathrm{A}$さんは$5$円硬貨を$3$枚，$\mathrm{B}$さんは$5$円硬貨を$1$枚と$10$円硬貨を$1$枚持っている．$2$人は自分が持っている硬貨すべてを一度に投げる．それぞれが投げた硬貨のうち表が出た硬貨の合計金額が多い方を勝ちとする．勝者は相手の裏が出た硬貨をすべてもらう．なお，表が出た硬貨の合計金額が同じときは引き分けとし，硬貨のやりとりは行わない．このゲームについて，以下の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{A}$さんが$\mathrm{B}$さんに勝つ確率$p$，および引き分けとなる確率$q$をそれぞれ求めよ．
(2)ゲーム終了後に$\mathrm{A}$さんが持っている硬貨の合計金額の期待値$E$を求めよ．
(1)$\mathrm{A}$さんが$\mathrm{B}$さんに勝つ確率$p$，および引き分けとなる確率$q$をそれぞれ求めよ．
(2)ゲーム終了後に$\mathrm{A}$さんが持っている硬貨の合計金額の期待値$E$を求めよ．
国立 九州大学 2014年 第4問$\mathrm{A}$さんは$5$円硬貨を$3$枚，$\mathrm{B}$さんは$5$円硬貨を$1$枚と$10$円硬貨を$1$枚持っている．$2$人は自分が持っている硬貨すべてを一度に投げる．それぞれが投げた硬貨のうち表が出た硬貨の合計金額が多い方を勝ちとする．勝者は相手の裏が出た硬貨をすべてもらう．なお，表が出た硬貨の合計金額が同じときは引き分けとし，硬貨のやりとりは行わない．このゲームについて，以下の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{A}$さんが$\mathrm{B}$さんに勝つ確率$p$，および引き分けとなる確率$q$をそれぞれ求めよ．
(2)ゲーム終了後に$\mathrm{A}$さんが持っている硬貨の合計金額の期待値$E$を求めよ．
(1)$\mathrm{A}$さんが$\mathrm{B}$さんに勝つ確率$p$，および引き分けとなる確率$q$をそれぞれ求めよ．
(2)ゲーム終了後に$\mathrm{A}$さんが持っている硬貨の合計金額の期待値$E$を求めよ．
国立 金沢大学 2014年 第2問$1$から$4$までの番号を書いた玉が$2$個ずつ，合計$8$個の玉が入った袋があり，この袋から玉を$1$個取り出すという操作を続けて行う．ただし，取り出した玉は袋に戻さず，また，すでに取り出した玉と同じ番号の玉が出てきた時点で一連の操作を終了するものとする．玉をちょうど$n$個取り出した時点で操作が終わる確率を$P(n)$とおく．次の問いに答えよ．
(1)$P(2),\ P(3)$を求めよ．
(2)$6$以上の$k$に対し，$P(k)=0$が成り立つことを示せ．
(3)一連の操作が終了するまでに取り出された玉の個数の期待値を求めよ．
(1)$P(2),\ P(3)$を求めよ．
(2)$6$以上の$k$に対し，$P(k)=0$が成り立つことを示せ．
(3)一連の操作が終了するまでに取り出された玉の個数の期待値を求めよ．
国立 岩手大学 2014年 第1問直円柱に対して，底面の半径を$x$，高さを$h$，表面積（側面積と$2$つの底面積の合計）を$S$，体積を$V$で表すことにする．ただし，$x>0$，$h>0$とする．以下の問いに答えよ．
(1)$S$を$x$と$h$を用いて表せ．
(2)$h$を$x$と$S$を用いて表せ．また，$V$を$x$と$S$を用いて表せ．
(3)$S$が一定のもとで，$V$が最大になるときの$x$の値を求めよ．
(4)$S$が一定のもとで，$V$が最大になるときの$x$と$h$の比，すなわち$x:h$を求めよ．
(1)$S$を$x$と$h$を用いて表せ．
(2)$h$を$x$と$S$を用いて表せ．また，$V$を$x$と$S$を用いて表せ．
(3)$S$が一定のもとで，$V$が最大になるときの$x$の値を求めよ．
(4)$S$が一定のもとで，$V$が最大になるときの$x$と$h$の比，すなわち$x:h$を求めよ．
国立 豊橋技術科学大学 2014年 第4問$\mathrm{A}$と書かれた青，赤，黄，緑の$4$個の球と，$\mathrm{B}$と書かれた青，赤，黄，緑の$4$個の球がある．これらの球を袋に入れて，この袋から球を取り出すとする．以下の問いに答えよ．ただし，答えは既約分数で示せ．
(1)球を$1$個ずつ$4$回取り出す．取り出した球は色を確認したら袋に戻し，次の球を取り出すとする．このとき，以下のア，イの問いに答えよ．
\mon[ア．] $4$回のうち，同じ色の球を$2$回以上取り出す確率を求めよ．
\mon[イ．] $4$回のうち，異なる$2$色の球をそれぞれ$2$回ずつ取り出す確率を求めよ．
(2)$4$個の球を同時に取り出すとする．このとき，以下のア，イ，ウの問いに答えよ．
\mon[ア．] $4$個の球を同時に取り出したとき，$\mathrm{A}$と書かれた球が$2$個，$\mathrm{B}$と書かれた球が$2$個である確率を求めよ．
\mon[イ．] $4$個の球を同時に取り出したとき，少なくとも赤球が$1$個含まれ，かつ$\mathrm{A}$と書かれた球が$2$個，$\mathrm{B}$と書かれた球が$2$個である確率を求めよ．
\mon[ウ．] $4$個の球を同時に取り出して文字を確認した後，袋に球をすべて戻してもう一度同時に$4$個の球を取り出す．この合計$8$個の球のうち，$\mathrm{A}$と書かれた球が$6$個で，$\mathrm{B}$と書かれた球が$2$個である確率を求めよ．
(1)球を$1$個ずつ$4$回取り出す．取り出した球は色を確認したら袋に戻し，次の球を取り出すとする．このとき，以下のア，イの問いに答えよ．
\mon[ア．] $4$回のうち，同じ色の球を$2$回以上取り出す確率を求めよ．
\mon[イ．] $4$回のうち，異なる$2$色の球をそれぞれ$2$回ずつ取り出す確率を求めよ．
(2)$4$個の球を同時に取り出すとする．このとき，以下のア，イ，ウの問いに答えよ．
\mon[ア．] $4$個の球を同時に取り出したとき，$\mathrm{A}$と書かれた球が$2$個，$\mathrm{B}$と書かれた球が$2$個である確率を求めよ．
\mon[イ．] $4$個の球を同時に取り出したとき，少なくとも赤球が$1$個含まれ，かつ$\mathrm{A}$と書かれた球が$2$個，$\mathrm{B}$と書かれた球が$2$個である確率を求めよ．
\mon[ウ．] $4$個の球を同時に取り出して文字を確認した後，袋に球をすべて戻してもう一度同時に$4$個の球を取り出す．この合計$8$個の球のうち，$\mathrm{A}$と書かれた球が$6$個で，$\mathrm{B}$と書かれた球が$2$個である確率を求めよ．
私立 早稲田大学 2014年 第3問次の問いに答えよ．
(1)$1$つのサイコロを$3$回投げたとき，$1$の目が奇数回出る確率は$[シ]$である．
(2)袋の中に赤玉$8$個，白玉$6$個の合計$14$個の玉が入っている．この袋から一度に$6$個の玉を取り出したとき，赤玉が$2$個，白玉が$4$個取り出される確率は$[ス]$である．
(3)袋の中に赤玉$n-7$個，白玉$7$個の合計$n$個の玉が入っている．ただし$n \geqq 10$とする．この袋から一度に$5$個の玉を取り出したとき，赤玉が$3$個，白玉が$2$個取り出される確率を$P_n$とする．$P_n$が最大となる$n$の値は$[セ]$である．
(1)$1$つのサイコロを$3$回投げたとき，$1$の目が奇数回出る確率は$[シ]$である．
(2)袋の中に赤玉$8$個，白玉$6$個の合計$14$個の玉が入っている．この袋から一度に$6$個の玉を取り出したとき，赤玉が$2$個，白玉が$4$個取り出される確率は$[ス]$である．
(3)袋の中に赤玉$n-7$個，白玉$7$個の合計$n$個の玉が入っている．ただし$n \geqq 10$とする．この袋から一度に$5$個の玉を取り出したとき，赤玉が$3$個，白玉が$2$個取り出される確率を$P_n$とする．$P_n$が最大となる$n$の値は$[セ]$である．
私立 津田塾大学 2014年 第4問次のようなゲームを考える．袋の中に赤玉，白玉，青玉が$3$個ずつ入っている．袋の中から玉を$1$個ずつ取り出し，取り出した玉はもとに戻さないものとする．取り出した玉の色が赤，白，青ならば，それぞれ$3$点，$1$点，$-2$点を得るものとする．得た点の合計が$4$点以上になったとき，ゲームを終了する．以下の問いに答えよ．
(1)玉を$2$回取り出したときの合計点数の期待値（平均）を求めよ．
(2)ゲームが終了するまでに玉を$4$回以上取り出す確率を求めよ．
(1)玉を$2$回取り出したときの合計点数の期待値（平均）を求めよ．
(2)ゲームが終了するまでに玉を$4$回以上取り出す確率を求めよ．