次の$[　]$にあてはまる数または式を記入せよ．

(1)$1$から$6$までの数字が$1$つずつ書かれた赤球が$6$個入った袋$\mathrm{A}$と，$1$から$6$までの数字が$1$つずつ書かれた白球が$6$個入った袋$\mathrm{B}$がある．それぞれの袋から無作為に$1$個ずつ球を取り出し，それらの球に書かれた数の合計が$k$となる場合の数を$f(k)$で表す．このとき，$xy$平面上の点$(k,\ f(k))$は，直線$x=[ア]$に関して対称な$2$直線上に並び，これらの対称な$2$直線と$x$軸で囲まれた部分の面積は$[イ]$である．
(2)$N$を$2$以上の整数とする．$1$から$N$までの数字が$1$つずつ書かれた赤球が$N$個入った袋$\mathrm{A}$と，$1$から$N$までの数字が$1$つずつ書かれた白球が$N$個入った袋$\mathrm{B}$がある．それぞれの袋から無作為に$1$個ずつ球を取り出し，それらの球に書かれた数の合計が$l$となる場合の数を$g(l)$で表す．このとき，$xy$平面上の点$(l,\ g(l))$は，直線$x=[ウ]$に関して対称な$2$直線上に並び，これらの対称な$2$直線と$x$軸で囲まれた部分の面積は$[エ]$である．
(3)$N$を$2$以上の整数とする．$1$から$N$までの数字が$1$つずつ書かれた赤球が$N$個と，$1$から$N$までの数字が$1$つずつ書かれた白球が$N$個入った袋$\mathrm{A}$と，$1$から$2N$までの数字が$1$つずつ書かれた青球が$2N$個入った袋$\mathrm{B}$がある．それぞれの袋から無作為に$1$個ずつ球を取り出し，それらの球に書かれた数の合計が$m$となる場合の数を$h(m)$で表す．このとき，$xy$平面上の点$(m,\ h(m))$が並ぶ直線の方程式は以下のようになる．


\qquad \; \!\!$2 \leqq m \leqq [オ]$の$(m,\ h(m))$について，$y=[カ]$
$[オ] \leqq m \leqq [キ]$の$(m,\ h(m))$について，$y=[ク]$
$[キ] \leqq m \leqq [ケ]$の$(m,\ h(m))$について，$y=[コ]$


これらの$3$直線と$x$軸で囲まれた部分の面積は$[サ]$である．

$n$と$k$を$n>k$を満たす自然数とする．$n$チームが参加するサッカーの大会がある．この大会では，全てのチームが$k$回の試合を行う．但し，その$k$試合の対戦相手は，全て異なるとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$n=4,\ k=2$の場合の大会が，何通りあるかもとめよ．
(2)$n=6,\ k=3$のとき，$1$つの大会の試合の総数をもとめよ．
(3)一般に，この大会が成立するためには，$n$か$k$のどちらかが，偶数でなければならないことを示せ．
(4)各試合の両チームの得点を全て合計し，試合数で割った値を，その大会における$1$試合の平均得点と呼ぶことにする．
$n=9$のとき，各チームが$k$試合行う大会における，$1$試合の平均得点が，$\displaystyle \left( \frac{1}{27}k^2-\frac{7}{9}k+5 \right)$点であったとする．$1$つの大会における総得点が，もっとも多くなる$k$をもとめよ．

袋の中に，$1,\ 2,\ \cdots,\ m$（$m$は$2$以上の整数）の数字が書かれた球がそれぞれ$n$個ずつ（$n$は正の整数），合計$mn$個入っている．この袋の中から同時に$2$個の球を取り出す．取り出した球に書かれている数字が$k,\ l (k \geqq l)$のとき，$x=k$，$y=l$とする．

(1)$m=6,\ n=3$のとき，$x-y=3$となる確率は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イウ]}$である．
(2)$2(x-y) \geqq m$となる確率を$p$とする．


$m=18$，$n=3$のとき，$\displaystyle p=\frac{[エオ]}{[カキ]}$である．

$m$が偶数，$n=3$のとき，$\displaystyle p=\frac{[ク]m+[ケ]}{[コサ]m-[シ]}$である．


(3)$2(x-y)<m$となる確率は，$m$が偶数のとき
\[ \frac{[ス]mn-[セ]n-[ソ]}{[タ](mn-[チ])} \]
である．

下の表は，ある高校の生徒$30$人の$2$つの科目$x$と$y$のテスト（点）の得点をまとめたものである．数値は，四捨五入していない正確な値とし，次の問いに答えよ．ただし，$\overline{x}$，$\overline{y}$はそれぞれ科目$x$，$y$の平均を意味し，$\sqrt{1.64}=1.28$，$\sqrt{2.73}=1.65$とする．

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
番号 & $x$ & $y$ & $x-\overline{x}$ & $(x-\overline{x})^2$ & $y-\overline{y}$ & $(y-\overline{y})^2$ & $(x-\overline{x})(y-\overline{y})$ \\ \hline
$1$ & $38$ & $39$ & $-23$ & $529$ & $-29$ & $841$ & $667$ \\ \hline
$2$ & $40$ & $50$ & $-21$ & $441$ & $-18$ & $324$ & $378$ \\ \hline
$\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ \\ \hline
$29$ & $80$ & $90$ & $19$ & $361$ & $22$ & $484$ & $418$ \\ \hline
$30$ & $82$ & $96$ & $21$ & $441$ & $28$ & $784$ & $588$ \\ \hline
合計 & $1830$ & $[$12$]$ & $0$ & $4932$ & $0$ & $8190$ & $3181$ \\ \hline
平均値 & $61$ & $[$13$]$ & & & & & \\ \hline
中央値 & $60$ & $63$ & & & & & \\ \hline
\end{tabular}


(1)$[$12$]$，$[$13$]$の値を求めよ．
(2)科目$x,\ y$のそれぞれの分散${s_x}^2,\ {s_y}^2$を求めよ．小数点以下を四捨五入して整数値で求めよ．${s_x}^2=[$14$]$，${s_y}^2=[$15$]$
(3)科目$x,\ y$の共分散$s_{xy}$を求めよ．小数点以下を四捨五入して整数値で求めよ．$s_{xy}=[$16$]$
(4)科目$x$と$y$の相関係数$r$を求めよ．小数第$3$位を四捨五入して小数第$2$位まで求めよ．$r=[$17$]$
(5)科目$x$と$y$の散布図として適切なものを下の（ア），（イ），（ウ）の図から選べ．$[$18$]$
（図は省略）

$n$を$1$以上の整数とする．袋の中に，$1$の数字を書いたカードが$1$枚，$2$の数字を書いたカードが$2$枚，$3$の数字を書いたカードが$3$枚入っている．この袋の中から，無作為にカードを$1$枚取り出して数字を記録し，もとに戻すという試行を繰り返す．次の問いに答えよ．

(1)この試行を$n$回繰り返したとき，記録された$n$個の数字すべての積を$R_n$とする．$R_n$が$3$で割り切れない確率と，$R_n$が$6$で割り切れる確率を$n$を用いて表せ．
(2)この試行を$n$回繰り返したとき，記録された$n$個の数字の合計を$S_n$とし，$S_n$が偶数である確率を$p_n$とする．$p_{n+1}$を$p_n$を用いて表し，数列$\{p_n\}$の一般項を求めよ．

$n$を$1$以上の整数とする．袋の中に，$1$の数字を書いたカードが$1$枚，$2$の数字を書いたカードが$2$枚，$3$の数字を書いたカードが$3$枚入っている．この袋の中から，無作為にカードを$1$枚取り出して数字を記録し，もとに戻すという試行を繰り返す．次の問いに答えよ．

(1)この試行を$n$回繰り返したとき，記録された$n$個の数字すべての積を$R_n$とする．$R_n$が$3$で割り切れない確率と，$R_n$が$6$で割り切れる確率を$n$を用いて表せ．
(2)この試行を$n$回繰り返したとき，記録された$n$個の数字の合計を$S_n$とし，$S_n$が偶数である確率を$p_n$とする．$p_{n+1}$を$p_n$を用いて表し，数列$\{p_n\}$の一般項を求めよ．

$n$を自然数，$m$を$2n$以下の自然数とする．$1$から$n$までの自然数が$1$つずつ記されたカードが，それぞれの数に対して$2$枚ずつ，合計$2n$枚ある．この中から，$m$枚のカードを無作為に選んだとき，それらに記された数がすべて異なる確率を$P_n(m)$と表す．ただし$P_n(1)=1$とする．さらに，
\[ E_n(m)=mP_n(m) \]
とおく．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)$P_3(2),\ P_3(3),\ P_3(4)$を求めよ．
(2)$E_{10}(m)$が最大となるような$m$を求めよ．
(3)自然数$n$に対し，
\[ E_n(m)>E_n(m+1) \]
を満たす自然数$m$の最小値を$f(n)$とするとき，$f(n)$を$n$を用いて表せ．ただし，ガウス記号$[ \quad ]$を用いてよい．ここで，実数$x$に対して，$x$を超えない最大の整数を$[x]$と表す．

$n$を自然数，$m$を$2n$以下の自然数とする．$1$から$n$までの自然数が$1$つずつ記されたカードが，それぞれの数に対して$2$枚ずつ，合計$2n$枚ある．この中から，$m$枚のカードを無作為に選んだとき，それらに記された数がすべて異なる確率を$P_n(m)$と表す．ただし$P_n(1)=1$とする．さらに，
\[ E_n(m)=mP_n(m) \]
とおく．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)$P_3(2),\ P_3(3),\ P_3(4)$を求めよ．
(2)$E_{10}(3),\ E_{10}(4),\ E_{10}(5)$の中で最大のものはどれか．
(3)自然数$n$に対し，
\[ E_n(m)>E_n(m+1) \]
を満たす自然数$m$の最小値を$f(n)$とするとき，$f(n)$を$n$を用いて表せ．ただし，ガウス記号$[ \quad ]$を用いてよい．ここで，実数$x$に対して，$x$を超えない最大の整数を$[x]$と表す．

ハートの$1$から$13$までの合計$13$枚のトランプがある．このトランプについて，次の確率を求めよ．

(1)ここから$1$枚抜くとき，$3$の倍数が出る確率．
(2)ここから$2$枚同時に抜くとき，$2$枚とも$3$の倍数である確率．
(3)ここから$2$枚同時に抜くとき，この$2$枚のうち$1$枚だけは$3$の倍数である確率．
(4)ここから$2$枚同時に抜くとき，この$2$枚のうち少なくとも$1$枚は$3$の倍数以外である確率．

$10$点，$20$点，$30$点，$40$点，$50$点と書かれた$5$つの箱があり，それぞれに赤玉$2$つ，白玉$3$つが入っている．$1$つの箱から玉を取り出すとき，赤玉ならば箱に書かれた点数を得点とし，白玉ならば$0$点とする．$5$つの箱から$1$つずつ玉を取り出すとき，次の問いに答えよ．

(1)合計得点が$50$点になる取り出し方は何通りあるか．
(2)すべて同じ色の玉を取り出す確率を求めよ．
(3)合計得点が$30$点になる確率を求めよ．