$1$個のさいころを$3$回続けて投げるという試行に関して，次の確率を求めよ．

(1)$3$回連続で同じ目が出る確率．
(2)$3$回連続で偶数が出る確率．
(3)$3$回とも互いに異なる目が出る確率．
(4)$2$回続けて同じ目が出ない確率．
(5)出た目の合計が$16$以上になる確率．

$M$を$2$以上の整数とし，$0$から$M-1$までの各整数を書いたカードが$1$枚ずつ合計$M$枚，箱の中に入っているものとする．この箱の中から$1$枚のカードを取り出し，カードに書かれている数を調べて箱に戻す試行を考える．

この試行を$n$回行ったとき，箱から取り出した$n$枚のカードに書かれている数の和が偶数である確率を$P_n$で表す．

(1)$M=2$のとき，$\displaystyle P_n=\frac{[ネ]}{[ノ]}$である．
(2)$M=3$のとき，
\[ P_1=\frac{[ハ]}{[ヒ]},\quad P_2=\frac{[フ]}{[ヘ]} \]
である．また，
\[ P_n=\frac{[ホ]}{[マ]} \left( \frac{[ミ]}{[ム]} \right)^n+\frac{[メ]}{[モ]} \]
である．
(3)$M$が偶数のとき，
\[ P_n=\frac{[ヤ]}{[ユ]} \]
である．また$M$が奇数のとき，
\[ P_n=\frac{[ヨ]}{[ラ]} \left( \frac{1}{M} \right)^n+\frac{[リ]}{[ル]} \]
である．

いずれも赤玉$1$個，白玉$2$個，黒玉$3$個，合計$6$個の玉が入っている袋が$3$つある．それぞれの袋から$1$個ずつ合わせて$3$個の玉を取り出す．このとき，$3$個すべてが黒玉である確率は$[$21$]$，黒玉の数が$2$個以上である確率は$[$22$]$，赤玉，白玉，黒玉の数がそれぞれ$1$個ずつである確率は$[$23$]$である．また，黒玉の数の期待値は$[$24$]$となる．

以下の問いに答えなさい．

(1)赤，白，黒の玉がそれぞれ$3$個ずつあり，一列に並べるものとする．合計$9$個の玉の並べ方は何通りあるか求めなさい．なお，同じ色の玉は区別しないものとする．
(2)(1)の並べ方のうちで，先頭の$3$個の玉が同じ色であるか，末尾の$3$個の玉が同じ色であるか，少なくとも一方が成り立つ並べ方は何通りあるか求めなさい．
(3)空間において座標$(x,\ y,\ z)$にある点$\mathrm{P}$を$1$回の操作で$(x+1,\ y,\ z)$，$(x,\ y+1,\ z)$，$(x,\ y,\ z+1)$のいずれかを選んでその座標に移動させる．最初に$(0,\ 0,\ 0)$にある点$\mathrm{P}$を，$9$回の操作で$(3,\ 3,\ 3)$に移動させる選び方のうち，$(3,\ 0,\ 0)$，$(0,\ 3,\ 0)$，$(0,\ 0,\ 3)$，$(3,\ 3,\ 0)$，$(3,\ 0,\ 3)$，$(0,\ 3,\ 3)$のいずれも経由しないものは何通りあるか求めなさい．

$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$2$人が交互にさいころを投げ，出た目の数を自分の得点とする．初めに$\mathrm{A}$がさいころを投げ，自分の得点の合計が先に$6$以上になった方を勝ちとしてゲームを終了する．ただし，例外として次の$3$つのルールを定める．
\begin{itemize}
$\mathrm{A}$が$1$の目を出したときは$\mathrm{A}$の勝ちとしてゲームを終了する．
$\mathrm{A}$が$2$の目を出したときは$\mathrm{B}$の勝ちとしてゲームを終了する．
$\mathrm{B}$が$1$または$2$の目を出したときは$\mathrm{B}$の勝ちとしてゲームを終了する．
\end{itemize}
このとき次の問いに答えなさい．

(1)$\mathrm{A}$が$1$回目で勝つ確率を求めなさい．
(2)$2$回目で$\mathrm{B}$がさいころを投げてゲームが終了する確率を求めなさい．
(3)このゲームで$\mathrm{A}$が勝つ確率を求めなさい．

袋の中に1と書かれた球が3個，2と書かれた球が2個，3と書かれた球が1個，4と書かれた球が1個，合計7個入っている．この袋の中の球をよくかきまぜていくつかの球を取り出すとき，次の各問に答えよ．

(1)2個の球を取り出すとき，取り出した球の中に，1と書かれた球が少なくとも1個含まれる確率を求めよ．
(2)2個の球を取り出すとき，取り出した球に書かれている数の合計の期待値を求めよ．
(3)3個の球を取り出すとき，取り出した球に書かれている数の合計が6となる確率を求めよ．

$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$それぞれがさいころを$1$回ずつ投げる．
\begin{itemize}
同じ目が出たときは$\mathrm{A}$の勝ちとし，異なる目が出たときには大きい目を出した方の勝ちとする．
$p,\ q$を自然数とする．$\mathrm{A}$が勝ったときは，$\mathrm{A}$が出した目の数の$p$倍を$\mathrm{A}$の得点とする．$\mathrm{B}$が勝ったときには，$\mathrm{B}$が出した目の数に$\mathrm{A}$が出した目の数の$q$倍を加えた合計を$\mathrm{B}$の得点とする．負けた者の得点は$0$とする．
\end{itemize}
$\mathrm{A}$の得点の期待値を$E_A$，$\mathrm{B}$の得点の期待値を$E_B$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$E_A,\ E_B$をそれぞれ$p,\ q$で表せ．
(2)$E_A = E_B$となる最小の自然数$p$と，そのときの$E_A$の値を求めよ．

次のような競技を考える．競技者がサイコロを振る．もし，出た目が気に入ればその目を得点とする．そうでなければ，もう$1$回サイコロを振って，$2$つの目の合計を得点とすることができる．ただし，合計が$7$以上になった場合は得点は$0$点とする．この取決めによって，$2$回目を振ると得点が下がることもあることに注意しよう．次の問いに答えよ．

(1)競技者が常にサイコロを$2$回振るとすると，得点の期待値はいくらか．
(2)競技者が最初の目が$6$のときだけ$2$回目を振らないとすると，得点の期待値はいくらか．
(3)得点の期待値を最大にするためには，競技者は最初の目がどの範囲にあるときに$2$回目を振るとよいか．

次のような競技を考える．競技者がサイコロを振る．もし，出た目が気に入ればその目を得点とする．そうでなければ，もう$1$回サイコロを振って，$2$つの目の合計を得点とすることができる．ただし，合計が$7$以上になった場合は得点は$0$点とする．この取決めによって，$2$回目を振ると得点が下がることもあることに注意しよう．次の問いに答えよ．

(1)競技者が常にサイコロを$2$回振るとすると，得点の期待値はいくらか．
(2)競技者が最初の目が$6$のときだけ$2$回目を振らないとすると，得点の期待値はいくらか．
(3)得点の期待値を最大にするためには，競技者は最初の目がどの範囲にあるときに$2$回目を振るとよいか．

$xy$平面上の点Aを次のルール($*$)に従って動かす試行を繰り返す．
\[ (*) \left\{
\begin{array}{l}
1 \text{個のさいころを投げ，} \\
(\text{A}) \; \text{1または2の目が出たとき，} \ x \text{軸の正の方向に1動かす．} \\
(\text{B}) \; \text{3または4の目が出たとき，} \ y \text{軸の正の方向に1動かす．} \\
(\text{C}) \; \text{5または6の目が出たとき，動かさない．}
\end{array}
\right. \]
Aは始め原点Oにある．直線$x+y=3$を$\ell$として，次の問いに答えよ．

(1)5回の試行後，Aが$(2,\ 1)$にある確率を求めよ．
(2)$n \geqq 3$に対し，$n$回の試行後，Aが$\ell$上にある確率を求めよ．
(3)Aが$\ell$上に来たとき，または(C)が合計2回生じたとき，試行を終了する．

(4)Aが$\ell$上に来て試行が終了する確率を求めよ．
(5)終了までの試行回数の期待値を求めよ．