タグ「合成」の検索結果

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岩手大学 国立 岩手大学 2014年 第1問
次の問いに答えよ.

(1)関数$y=-2 \sin 2x+2 \cos 2x+3$の最大値と最小値を求めよ.ただし,$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$とする.
(2)$\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{a \sqrt{x+3}-8}{x-1}$が有限な値になるように定数$a$の値を定め,そのときの極限値を求めよ.
(3)直線$y=x$に関する対称移動の$1$次変換を$f$とする.$1$次変換$g$が点$(2,\ 4)$を点$(4,\ 6)$に移し,合成変換$f \circ g$が点$(2,\ 2)$を点$(-12,\ 4)$に移すとき,$g$を表す行列を求めよ.
(4)次の不定積分を求めよ.
\[ \int x \log (x+1) \, dx \]
北海道大学 国立 北海道大学 2013年 第2問
座標平面上で,直線$y=x$に関する対称移動を$f$とし,実数$c$に対して,直線$y=cx$に関する対称移動を$g$とする.また,原点を中心とする$120^\circ$の回転移動を$h$とする.

(1)$f$を表す行列,および$h$を表す行列を求めよ.
(2)$g$を表す行列を求めよ.
(3)合成変換$f \circ g$が$h$になるように$c$の値を定めよ.
甲南大学 私立 甲南大学 2013年 第3問
$xy$平面において,点$(2,\ 0)$を点$(1,\ \sqrt{3})$へ,点$(1,\ \sqrt{3})$を点$(-1,\ \sqrt{3})$へ移す$1$次変換$f$を表す行列を$A$とする.$\displaystyle B=\frac{1}{\sqrt{2}} \left( \begin{array}{rr}
1 & -1 \\
1 & 1
\end{array} \right)$とし,$B$が表す$1$次変換を$g$とする.このとき,以下の問いに答えよ.

(1)$A$および$A^3$を求めよ.
(2)$A^6$が表す$1$次変換によって点$(1,\ 0)$が移る点の座標を求めよ.
(3)合成変換$f \circ g$を表す行列を$C$とするとき,$C^n=\left( \begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$となる最小の自然数$n$の値を求めよ.
大阪工業大学 私立 大阪工業大学 2013年 第1問
次の空所を埋めよ.

(1)$2$次方程式$x^2-16x+4=0$の$2$つの実数解を$\alpha,\ \beta$とすると,$\sqrt{\alpha} \sqrt{\beta}=[ア]$であり,$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\alpha}}+\frac{1}{\sqrt{\beta}}=[イ]$である.
(2)三角関数の合成により$\sin \theta+\sqrt{3} \cos \theta=2 \sin (\theta+[ウ])$と表される.ただし,$0<[ウ]<2\pi$とする.また,$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき,$\sin \theta+\sqrt{3} \cos \theta=2$を満たす$\theta$は,$\theta=[エ]$である.
(3)実数$x,\ y$が$2$つの不等式$x^2+y^2 \leqq 1$,$y \geqq 0$を同時に満たすとき,$y-x$の最小値は$[オ]$であり,最大値は$[カ]$である.
(4)$1$から$15$までの数を$1$つずつ書いた$15$枚のカードの中から,同時に$2$枚のカードを引く.このとき,カードの数がどちらも偶数である確率は$[キ]$であり,$2$枚のカードの数の積が$7$の倍数である確率は$[ク]$である.
大阪工業大学 私立 大阪工業大学 2013年 第1問
次の空所を埋めよ.

(1)$2$次方程式$x^2-16x+4=0$の$2$つの実数解を$\alpha,\ \beta$とすると,$\sqrt{\alpha} \sqrt{\beta}=[ア]$であり,$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\alpha}}+\frac{1}{\sqrt{\beta}}=[イ]$である.
(2)三角関数の合成により$\sin \theta+\sqrt{3} \cos \theta=2 \sin (\theta+[ウ])$と表される.ただし,$0<[ウ]<2\pi$とする.また,$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき,$\sin \theta+\sqrt{3} \cos \theta=2$を満たす$\theta$は,$\theta=[エ]$である.
(3)実数$x,\ y$が$2$つの不等式$x^2+y^2 \leqq 1$,$y \geqq 0$を同時に満たすとき,$y-x$の最小値は$[オ]$であり,最大値は$[カ]$である.
(4)$1$から$15$までの数を$1$つずつ書いた$15$枚のカードの中から,同時に$2$枚のカードを引く.このとき,カードの数がどちらも偶数である確率は$[キ]$であり,$2$枚のカードの数の積が$7$の倍数である確率は$[ク]$である.
熊本大学 国立 熊本大学 2012年 第2問
実数$c$に対して,行列
\[ A=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & -c \\
c & 1
\end{array} \biggr) \]
で表される1次変換を$T$とするとき,以下の問いに答えよ.

(1)$T$は原点の回りの回転移動と原点中心の拡大(相似変換)との合成変換であることを示せ.
(2)$xy$平面上の同一直線上にない3点P,Q,Rが$T$によってそれぞれP$^\prime$,Q$^\prime$,R$^\prime$に移るとする.三角形P$^\prime$Q$^\prime$R$^\prime$の面積が三角形PQRの面積の2倍となる$c$の値を求めよ.
(3)$c=2$とする.楕円
\[ E:\frac{x^2}{4}+y^2=1 \]
上の点が$T$によって楕円$E^\prime$上の点に移るとする.$E$が$E^\prime$の内部にあることを示し,$E^\prime$の内部にあり$E$の外部にある部分の面積を求めよ.
徳島大学 国立 徳島大学 2012年 第3問
2次の正方行列$A$で表される1次変換を$f$とする.Oを原点とする座標平面上に,異なる2点P$(x_1,\ y_1)$,Q$(x_2,\ y_2)$があって,次の2つの条件を満たす.

条件1:1次変換$f$により,点Pは点$(-2x_2,\ -2y_2)$に移る.
条件2:合成変換$f \circ f$により,点Qは点$(4x_1,\ 4y_1)$に移る.


(1)行列$A^3$で表される1次変換により,点Pは点$(-8x_1,\ -8y_1)$に,点Qは点$(-8x_2,\ -8y_2)$に移ることを示せ.
(2)3点O,P,Qは同一直線上にないことを示し,$x_1y_2-x_2y_1 \neq 0$を示せ.
(3)$A^3=-8E$を示せ.ただし,$E$は2次の単位行列である.
福井大学 国立 福井大学 2011年 第1問
以下の問いに答えよ.

(1)$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上,直線$y=kx \ (k \text{は定数})$に関する対称移動を$f$で表す.また座標平面上の点$\mathrm{P}$に対して,直線$\mathrm{OP}$を$\mathrm{O}$を中心として角$\displaystyle \frac{\pi}{4}$だけ回転して得られる直線$\ell$に$\mathrm{P}$から下ろした垂線と$\ell$の交点を$\mathrm{Q}$とし,$\mathrm{P}$を$\mathrm{Q}$に移す移動を$g$で表す.ただし$\mathrm{O}$は$g$により$\mathrm{O}$自身に移動するものとする.$f,\ g$をこの順に続けて行って得られる移動(合成変換$g \circ f$)を表す行列を$A$とおくとき,$A$およびその逆行列$A^{-1}$を求めよ.
(2)2次の正方行列$M=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$に対して,$T(M)=a+d,\ D(M)=ad-bc$と定める.このとき以下の命題を証明せよ. \\
「すべての自然数$n$に対して$T(M^n)=\{T(M)\}^n$が成り立つことと,$D(M)=0$であることは,互いに同値である.」
福岡女子大学 公立 福岡女子大学 2011年 第4問
座標平面上で原点$\mathrm{O}$を中心に一定の角$\theta$で回転移動する$1$次変換を$f$とし,一定の正の数$r$で各点$(x,\ y)$を点$(rx,\ ry)$に移す相似変換を$g$とする.また,$g$と$f$の合成変換$g \circ f$を表す行列を$K(r,\ \theta)$とする.原点$\mathrm{O}$と異なる座標平面上の点$\mathrm{P}(a,\ b)$に対して,点$\mathrm{Q}(c,\ d)$を次で定める:
\[ \left( \begin{array}{c}
c \\
d
\end{array} \right)=K(r,\ \theta) \left( \begin{array}{c}
a \\
b
\end{array} \right) \]
次の問に答えなさい.

(1)$K(r,\ \theta)$を求めなさい.$r$を$a,\ b,\ c,\ d$を用いて表しなさい.
(2)$0^\circ<\theta<180^\circ$ならば,$ad-bc>0$であることを示しなさい.
(3)$0^\circ<\theta<180^\circ$ならば,$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積が$\displaystyle \frac{1}{2}(ad-bc)$に等しくなる.このことを用いて,図のように,点$\mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_2$,$\mathrm{P}_3$を時計の針が回る方向と反対回りに順番に配置した三角形$\triangle \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3$の面積が
\[ \frac{1}{2} \sum_{i=1}^3 (x_i-x_{i+1})(y_i+y_{i+1}) \]
に等しいことを示しなさい.ただし,$x_4=x_1$,$y_4=y_1$とする.
(図は省略)
佐賀大学 国立 佐賀大学 2010年 第2問
座標平面上で,直線$\ell:y=mx$に関する対称移動によって,点P$(x,\ y)$が点Q$(x^\prime,\ y^\prime)$に移ったとする.ただし,$m$は0でない定数とし,点Pは$\ell$上にないとする.このとき,次の問いに答えよ.

(1)線分PQの中点が$\ell$上にあることと,線分PQが$\ell$と垂直に交わっていることを利用して
\[ \left( \begin{array}{c}
x^\prime \\
y^\prime
\end{array} \right)=\frac{1}{1+m^2} \left( \begin{array}{cc}
1-m^2 & 2m \\
2m & m^2-1
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right) \]
が成り立つことを示せ.
(2)直線$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{3}}x,\ y=-\frac{1}{\sqrt{3}}x$に関する対称移動を表す1次変換をそれぞれ$f,\ g$とする.このとき,合成変換$g \circ f$および$f \circ g$を表す行列を求めよ.
(3)(2)で求めた2つの行列は,原点Oを中心とし,角$\theta$だけ回転する1次変換を表す行列である.それぞれの$\theta$を求めよ.
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「合成」とは・・・

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