「合同」について
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私立 東北学院大学 2012年 第5問正九角形の頂点から$3$個を選んで三角形を作るとき，次の問いに答えよ．
(1)三角形はいくつできるか．
(2)互いに合同なものは同じ種類とするとき，異なる種類の三角形は何種類できるか．
(1)三角形はいくつできるか．
(2)互いに合同なものは同じ種類とするとき，異なる種類の三角形は何種類できるか．
私立 中央大学 2012年 第3問$h>0,\ d \geqq 0$とし，座標空間において$4$点$\mathrm{A}(0,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{B}(0,\ 0,\ -1)$，$\mathrm{C}(h,\ 0,\ -d)$，$\mathrm{D}(0,\ h,\ d)$を頂点とする四面体を考える．さらに$\mathrm{CD}=2$とする．したがって，四面体の$6$本の辺のうち向かい合う$2$辺の長さは$3$組とも互いに等しい．つまり
\[ \mathrm{AB}=\mathrm{CD},\quad \mathrm{AC}=\mathrm{BD},\quad \mathrm{AD}=\mathrm{BC} \]
となっており，$4$つの面はすべて互いに合同である．この四面体$\mathrm{ABCD}$について以下の問いに答えよ．
(1)$h$を$d$で表し，$d$のとりうる値の範囲を求めよ．
点$\mathrm{A}$を通り平面$\mathrm{BCD}$に垂直な直線と平面$\mathrm{BCD}$の交点を$\mathrm{P}$とおく．この点$\mathrm{P}$を点$\mathrm{A}$から平面$\mathrm{BCD}$に下ろした垂線の足とよぶ．同様に，点$\mathrm{B}$から平面$\mathrm{ACD}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{Q}$，点$\mathrm{C}$から平面$\mathrm{ABD}$へ下ろした垂線の足を$\mathrm{R}$，点$\mathrm{D}$から平面$\mathrm{ABC}$へ下ろした垂線の足を$\mathrm{S}$とおく．
(2)点$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$は直線$\mathrm{AB}$上にあることに注意して，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$の座標を$d$で表せ．また，四面体$\mathrm{ABCD}$の対称性を考慮して，点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標を$d$で表せ．さらに，計算により$\overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BQ}}=0$を確認せよ．
(3)辺$\mathrm{BD}$の長さのとりうる値の範囲を求めよ．
(4)平面$\mathrm{ABC}$と平面$\mathrm{ACD}$が直線$\mathrm{AC}$に沿って角度$\displaystyle \theta \left( 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$で交わっている．$\theta$のとりうる値の範囲を求めよ．ただし$2$平面の交わる角度とは，それぞれの平面に直交する$2$直線のなす角度である．
\[ \mathrm{AB}=\mathrm{CD},\quad \mathrm{AC}=\mathrm{BD},\quad \mathrm{AD}=\mathrm{BC} \]
となっており，$4$つの面はすべて互いに合同である．この四面体$\mathrm{ABCD}$について以下の問いに答えよ．
(1)$h$を$d$で表し，$d$のとりうる値の範囲を求めよ．
点$\mathrm{A}$を通り平面$\mathrm{BCD}$に垂直な直線と平面$\mathrm{BCD}$の交点を$\mathrm{P}$とおく．この点$\mathrm{P}$を点$\mathrm{A}$から平面$\mathrm{BCD}$に下ろした垂線の足とよぶ．同様に，点$\mathrm{B}$から平面$\mathrm{ACD}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{Q}$，点$\mathrm{C}$から平面$\mathrm{ABD}$へ下ろした垂線の足を$\mathrm{R}$，点$\mathrm{D}$から平面$\mathrm{ABC}$へ下ろした垂線の足を$\mathrm{S}$とおく．
(2)点$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$は直線$\mathrm{AB}$上にあることに注意して，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$の座標を$d$で表せ．また，四面体$\mathrm{ABCD}$の対称性を考慮して，点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標を$d$で表せ．さらに，計算により$\overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BQ}}=0$を確認せよ．
(3)辺$\mathrm{BD}$の長さのとりうる値の範囲を求めよ．
(4)平面$\mathrm{ABC}$と平面$\mathrm{ACD}$が直線$\mathrm{AC}$に沿って角度$\displaystyle \theta \left( 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$で交わっている．$\theta$のとりうる値の範囲を求めよ．ただし$2$平面の交わる角度とは，それぞれの平面に直交する$2$直線のなす角度である．
国立 弘前大学 2011年 第5問正20角形$P$について，次の問いに答えよ．
(1)正20角形$P$の対角線は何本ひけるか．
(2)正20角形$P$の頂点から3つを選び，これらを頂点とする三角形をつくるとき，$P$と辺を共有しない三角形はいくつあるか．ただし，合同な三角形は区別せずに1つと数えることにする．
(1)正20角形$P$の対角線は何本ひけるか．
(2)正20角形$P$の頂点から3つを選び，これらを頂点とする三角形をつくるとき，$P$と辺を共有しない三角形はいくつあるか．ただし，合同な三角形は区別せずに1つと数えることにする．
国立 福井大学 2011年 第1問1辺の長さが1の正十二面体を考える．点O，A，B，C，D， \\
E，F，Gを図に示す正十二面体の頂点とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$， \\
$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，以下の問いに答えよ． \\
ただし，1辺の長さが1の正五角形の対角線の長さは \\
$\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}$であることを用いてよい．なお，正十二面体では， \\
すべての面は合同な正五角形であり， 各頂点は$3$つの正五 \\
角形に共有されている．
\img{366_2547_2011_1}{55}
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$，$\overrightarrow{\mathrm{BE}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{DF}}$と$\overrightarrow{\mathrm{EF}}$のなす角を求めよ．
E，F，Gを図に示す正十二面体の頂点とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$， \\
$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，以下の問いに答えよ． \\
ただし，1辺の長さが1の正五角形の対角線の長さは \\
$\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}$であることを用いてよい．なお，正十二面体では， \\
すべての面は合同な正五角形であり， 各頂点は$3$つの正五 \\
角形に共有されている．
\img{366_2547_2011_1}{55}
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$，$\overrightarrow{\mathrm{BE}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{DF}}$と$\overrightarrow{\mathrm{EF}}$のなす角を求めよ．
国立 山形大学 2011年 第1問四角形ABCDが円に内接しており，$\angle \text{ABC}=120^\circ,\ \text{AB}=2,\ \text{BC}=\sqrt{3}-1$を満たしているとする．このとき，次の問に答えよ．ただし，$\text{CD}=a,\ \text{AD}=b$とおき，2つの対角線AC，BDの交点をOとする．
(1)対角線ACの長さと$\angle \text{ACB}$の大きさを求めよ．
(2)対角線ACとBDが直交するとき，三角形AOBと三角形DOCは合同であることを示せ．
(3)対角線ACとBDが直交するとき，$a,\ b$の値を求めよ．
(4)$b=2a$のとき，$a$の値と$\angle \text{DCA},\ \angle \text{BAD}$の大きさを求めよ．
(5)$b=2a$のとき，三角形ABDに内接する円の半径$r$の値を求めよ．
(1)対角線ACの長さと$\angle \text{ACB}$の大きさを求めよ．
(2)対角線ACとBDが直交するとき，三角形AOBと三角形DOCは合同であることを示せ．
(3)対角線ACとBDが直交するとき，$a,\ b$の値を求めよ．
(4)$b=2a$のとき，$a$の値と$\angle \text{DCA},\ \angle \text{BAD}$の大きさを求めよ．
(5)$b=2a$のとき，三角形ABDに内接する円の半径$r$の値を求めよ．
国立 福井大学 2011年 第2問$1$辺の長さが$1$の正十二面体を考える．点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$， \\
$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$を図に示す正十二面体の頂点とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$， \\
$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，以下の問いに答えよ． \\
なお，正十二面体では，すべての面は合同な正五角形であり， \\
各頂点は$3$つの正五角形に共有されている．
\img{366_2546_2011_1}{36}
(1)$1$辺の長さが$1$の正五角形の対角線の長さを求めて， \\
内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{O}$から平面$\mathrm{ABD}$に垂線$\mathrm{OH}$を下ろす．$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．さらにその長さを求めよ．
$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$を図に示す正十二面体の頂点とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$， \\
$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，以下の問いに答えよ． \\
なお，正十二面体では，すべての面は合同な正五角形であり， \\
各頂点は$3$つの正五角形に共有されている．
\img{366_2546_2011_1}{36}
(1)$1$辺の長さが$1$の正五角形の対角線の長さを求めて， \\
内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{O}$から平面$\mathrm{ABD}$に垂線$\mathrm{OH}$を下ろす．$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．さらにその長さを求めよ．
国立 防衛大学校 2011年 第3問右の図のような格子状の道および斜めの道がある．次の場合の最短経路は何通りあるか．ただし，小さいマス目はすべて合同な正方形とする．
（図は省略）
(1)$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$まで行く．
(2)$\mathrm{A}$から斜めの道を通らずに$\mathrm{B}$まで行く．
(3)$\mathrm{A}$から$\mathrm{C}$まで行く．
（図は省略）
(1)$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$まで行く．
(2)$\mathrm{A}$から斜めの道を通らずに$\mathrm{B}$まで行く．
(3)$\mathrm{A}$から$\mathrm{C}$まで行く．
国立 宮城教育大学 2011年 第3問$n$を1以上の整数とする．$k=1,\ 2,\ \cdots,\ n,\ n+1$に対して，$xy$平面上で，点$(0,\ k)$を通り$x$軸に平行な直線を$\ell_k$とし，点$(k,\ 0)$を通り$y$軸に平行な直線を$m_k$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)直線
\[ \ell_1,\ \ell_2,\ \cdots,\ \ell_n,\ \ell_{n+1} \]
から相異なる2本を選び，直線
\[ m_1,\ m_2,\ \cdots,\ m_n,\ m_{n+1} \]
から相異なる2本を選ぶと長方形が1つできる．こうしてできる長方形の総数を求めよ．ただし，合同であっても位置が違う長方形は異なるものとする．
(2)(1)で考えた長方形のうちから1つとるとき，それが正方形である確率を求めよ．
(1)直線
\[ \ell_1,\ \ell_2,\ \cdots,\ \ell_n,\ \ell_{n+1} \]
から相異なる2本を選び，直線
\[ m_1,\ m_2,\ \cdots,\ m_n,\ m_{n+1} \]
から相異なる2本を選ぶと長方形が1つできる．こうしてできる長方形の総数を求めよ．ただし，合同であっても位置が違う長方形は異なるものとする．
(2)(1)で考えた長方形のうちから1つとるとき，それが正方形である確率を求めよ．
公立 高知工科大学 2011年 第2問底面が正方形で，4個の側面がすべて合同な二等辺三角形である四角錘を考える．底面の正方形の一辺の長さを$x$，側面の二等辺三角形の等しい辺の長さを$a$とする．この四角錘の体積を$V$として，次の各問に答えよ．
(1)$V$を$a$と$x$で表せ．
(2)$x$のとりうる値の範囲を$a$を用いて表せ．
(3)$V$の最大値を$a$を用いて表せ．また，そのときの$x$の値を求めよ．
(1)$V$を$a$と$x$で表せ．
(2)$x$のとりうる値の範囲を$a$を用いて表せ．
(3)$V$の最大値を$a$を用いて表せ．また，そのときの$x$の値を求めよ．
国立 東京大学 2010年 第6問四面体$\mathrm{OABC}$において，$4$つの面はすべて合同であり，$\mathrm{OA}=3$，$\mathrm{OB}=\sqrt{7}$，$\mathrm{AB}=2$であるとする．また，$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を含む平面を$L$とする．
(1)点$\mathrm{C}$から平面$L$におろした垂線の足を$\mathrm{H}$とおく．$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．
(2)$0<t<1$をみたす実数$t$に対して，線分$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$各々を$t:1-t$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{P}_t$，$\mathrm{Q}_t$とおく．$2$点$\mathrm{P}_t$，$\mathrm{Q}_t$を通り，平面$L$に垂直な平面を$M$とするとき，平面$M$による四面体$\mathrm{OABC}$の切り口の面積$S(t)$を求めよ．
(3)$t$が$0<t<1$の範囲を動くとき，$S(t)$の最大値を求めよ．
(1)点$\mathrm{C}$から平面$L$におろした垂線の足を$\mathrm{H}$とおく．$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．
(2)$0<t<1$をみたす実数$t$に対して，線分$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$各々を$t:1-t$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{P}_t$，$\mathrm{Q}_t$とおく．$2$点$\mathrm{P}_t$，$\mathrm{Q}_t$を通り，平面$L$に垂直な平面を$M$とするとき，平面$M$による四面体$\mathrm{OABC}$の切り口の面積$S(t)$を求めよ．
(3)$t$が$0<t<1$の範囲を動くとき，$S(t)$の最大値を求めよ．