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国立 室蘭工業大学 2016年 第4問各項が正の数である$2$つの数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$は
$a_1=1,\quad b_1=e,$
$\displaystyle a_{n+1}={a_n}^5 \cdot {b_n}^{3},\quad b_{n+1}=\frac{b_n}{a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
を満たすとする．ただし，$e$は自然対数の底とする．
(1)$c_n=\log a_n$，$d_n=\log b_n$とおく．ただし，対数は自然対数とする．
\[ c_{n+1}+\alpha d_{n+1}=\beta (c_n+\alpha d_n) \]
を満たす定数$\alpha,\ \beta$の組をすべて求めよ．
(2)数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$の一般項を求めよ．
$a_1=1,\quad b_1=e,$
$\displaystyle a_{n+1}={a_n}^5 \cdot {b_n}^{3},\quad b_{n+1}=\frac{b_n}{a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
を満たすとする．ただし，$e$は自然対数の底とする．
(1)$c_n=\log a_n$，$d_n=\log b_n$とおく．ただし，対数は自然対数とする．
\[ c_{n+1}+\alpha d_{n+1}=\beta (c_n+\alpha d_n) \]
を満たす定数$\alpha,\ \beta$の組をすべて求めよ．
(2)数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$の一般項を求めよ．
国立 広島大学 2016年 第5問数列
\[ x_n=2^n \quad (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots) \]
を考える．この数列は$1,\ 2,\ 4,\ 8,\ 16,\ 32,\ 64,\ 128,\ 256,\ \cdots$であるが，各項の下$1$桁をみると，$1,\ 2,\ 4,\ 8,\ 6,\ 2,\ 4,\ 8,\ 6,\ \cdots$となっており，$2$から循環が始まり循環の周期は$4$である．次の問いに答えよ．
(1)数列$\{x_n\}$の各項の下$2$桁は，あるところから循環する．循環が始まるところと，循環の周期を求めよ．ここで，$1$桁の数に対しては$0$を補って下$2$桁とみなすことにする．たとえば，$2$の下$2$桁は$02$とする．
(2)$4$の倍数で，$25$で割って$1$余る$2$桁の自然数$A$を求めよ．
(3)$8$の倍数で，$125$で割って$1$余る$3$桁の自然数$B$を求めよ．
(4)数列$\{x_n\}$の各項の下$3$桁は，あるところから循環する．循環が始まるところと，循環の周期を求めよ．ここで，$2^m$を$125$で割って$1$余るような最小の自然数$m$が$100$であることを用いてもよい．
\[ x_n=2^n \quad (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots) \]
を考える．この数列は$1,\ 2,\ 4,\ 8,\ 16,\ 32,\ 64,\ 128,\ 256,\ \cdots$であるが，各項の下$1$桁をみると，$1,\ 2,\ 4,\ 8,\ 6,\ 2,\ 4,\ 8,\ 6,\ \cdots$となっており，$2$から循環が始まり循環の周期は$4$である．次の問いに答えよ．
(1)数列$\{x_n\}$の各項の下$2$桁は，あるところから循環する．循環が始まるところと，循環の周期を求めよ．ここで，$1$桁の数に対しては$0$を補って下$2$桁とみなすことにする．たとえば，$2$の下$2$桁は$02$とする．
(2)$4$の倍数で，$25$で割って$1$余る$2$桁の自然数$A$を求めよ．
(3)$8$の倍数で，$125$で割って$1$余る$3$桁の自然数$B$を求めよ．
(4)数列$\{x_n\}$の各項の下$3$桁は，あるところから循環する．循環が始まるところと，循環の周期を求めよ．ここで，$2^m$を$125$で割って$1$余るような最小の自然数$m$が$100$であることを用いてもよい．
国立 新潟大学 2015年 第4問数列$\{a_n\}$を次の条件$(ⅰ)$および$(ⅱ)$をみたすように定める．
(i) $a_1=0$，$a_2=3$
(ii) $3$以上の自然数$n$に対して，第$(n-1)$項$a_{n-1}$の値が初項$a_1$から第$(n-2)$項$a_{n-2}$までのどの項の値とも等しくないときは$a_n=a_{n-1}-1$であり，第$(n-1)$項$a_{n-1}$の値が初項$a_1$から第$(n-2)$項$a_{n-2}$までのどれかの項の値と等しいときは$a_n=a_{n-1}+6$である．
次の問いに答えよ．
(1)数列$\{a_n\}$の第$3$項から第$10$項までの各項の値を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の第$50$項の値を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$の初項から第$50$項までの和を求めよ．
(i) $a_1=0$，$a_2=3$
(ii) $3$以上の自然数$n$に対して，第$(n-1)$項$a_{n-1}$の値が初項$a_1$から第$(n-2)$項$a_{n-2}$までのどの項の値とも等しくないときは$a_n=a_{n-1}-1$であり，第$(n-1)$項$a_{n-1}$の値が初項$a_1$から第$(n-2)$項$a_{n-2}$までのどれかの項の値と等しいときは$a_n=a_{n-1}+6$である．
次の問いに答えよ．
(1)数列$\{a_n\}$の第$3$項から第$10$項までの各項の値を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の第$50$項の値を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$の初項から第$50$項までの和を求めよ．
国立 新潟大学 2015年 第4問数列$\{a_n\}$を次の条件$(ⅰ)$および$(ⅱ)$をみたすように定める．
(i) $a_1=0$，$a_2=3$
(ii) $3$以上の自然数$n$に対して，第$(n-1)$項$a_{n-1}$の値が初項$a_1$から第$(n-2)$項$a_{n-2}$までのどの項の値とも等しくないときは$a_n=a_{n-1}-1$であり，第$(n-1)$項$a_{n-1}$の値が初項$a_1$から第$(n-2)$項$a_{n-2}$までのどれかの項の値と等しいときは$a_n=a_{n-1}+6$である．
次の問いに答えよ．
(1)数列$\{a_n\}$の第$3$項から第$10$項までの各項の値を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の第$2015$項の値を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$の初項から第$201$項までの和を求めよ．
(i) $a_1=0$，$a_2=3$
(ii) $3$以上の自然数$n$に対して，第$(n-1)$項$a_{n-1}$の値が初項$a_1$から第$(n-2)$項$a_{n-2}$までのどの項の値とも等しくないときは$a_n=a_{n-1}-1$であり，第$(n-1)$項$a_{n-1}$の値が初項$a_1$から第$(n-2)$項$a_{n-2}$までのどれかの項の値と等しいときは$a_n=a_{n-1}+6$である．
次の問いに答えよ．
(1)数列$\{a_n\}$の第$3$項から第$10$項までの各項の値を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の第$2015$項の値を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$の初項から第$201$項までの和を求めよ．
国立 東京大学 2014年 第4問$p,\ q$は実数の定数で，$0<p<1$，$q>0$をみたすとする．関数
\[ f(x)=(1-p)x+(1-x)(1-e^{-qx}) \]
を考える．
以下の問いに答えよ．必要であれば，不等式$1+x \leqq e^x$がすべての実数$x$に対して成り立つことを証明なしに用いてよい．
(1)$0<x<1$のとき，$0<f(x)<1$であることを示せ．
(2)$x_0$は$0<x_0<1$をみたす実数とする．数列$\{x_n\}$の各項$x_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を，
\[ x_n=f(x_{n-1}) \]
によって順次定める．$p>q$であるとき，
\[ \lim_{n \to \infty}x_n=0 \]
となることを示せ．
(3)$p<q$であるとき，
\[ c=f(c),\quad 0<c<1 \]
をみたす実数$c$が存在することを示せ．
\[ f(x)=(1-p)x+(1-x)(1-e^{-qx}) \]
を考える．
以下の問いに答えよ．必要であれば，不等式$1+x \leqq e^x$がすべての実数$x$に対して成り立つことを証明なしに用いてよい．
(1)$0<x<1$のとき，$0<f(x)<1$であることを示せ．
(2)$x_0$は$0<x_0<1$をみたす実数とする．数列$\{x_n\}$の各項$x_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を，
\[ x_n=f(x_{n-1}) \]
によって順次定める．$p>q$であるとき，
\[ \lim_{n \to \infty}x_n=0 \]
となることを示せ．
(3)$p<q$であるとき，
\[ c=f(c),\quad 0<c<1 \]
をみたす実数$c$が存在することを示せ．
国立 茨城大学 2014年 第1問下の図は自然数の平方数を三角形状に順に並べたものである．各平方数については，第$n$段目の第$m$項と呼ぶことにする．例えば，第$4$段目の第$2$項と呼ばれる平方数は$64$である．このとき，次の各問に答えよ．
\begin{tabular}{ccccccccccc}
& & & & & $1$ & & & & & \\
& & & & $4$ & & $9$ & & & & \\
& & & $16$ & & $25$ & & $36$ & & & \\
& & $49$ & & $64$ & & $81$ & & $100$ & & \\
& $121$ & & $144$ & & $169$ & & $196$ & & $225$ & \\
$\cdots$ & & $\cdots$ & & $\cdots$ & & $\cdots$ & & $\cdots$ & & $\cdots$
\end{tabular}
(1)第$n$段目の第$1$項を$n$を用いて表せ．
(2)第$n$段目の各項の総和を$n$を用いて表せ．
\begin{tabular}{ccccccccccc}
& & & & & $1$ & & & & & \\
& & & & $4$ & & $9$ & & & & \\
& & & $16$ & & $25$ & & $36$ & & & \\
& & $49$ & & $64$ & & $81$ & & $100$ & & \\
& $121$ & & $144$ & & $169$ & & $196$ & & $225$ & \\
$\cdots$ & & $\cdots$ & & $\cdots$ & & $\cdots$ & & $\cdots$ & & $\cdots$
\end{tabular}
(1)第$n$段目の第$1$項を$n$を用いて表せ．
(2)第$n$段目の各項の総和を$n$を用いて表せ．
私立 早稲田大学 2013年 第6問数列
\[ \{a_n\}:\frac{1}{2},\ \frac{1}{3},\ \frac{2}{3},\ \frac{1}{4},\ \frac{2}{4},\ \frac{3}{4},\ \frac{1}{5},\ \frac{2}{5},\ \frac{3}{5},\ \frac{4}{5},\ \frac{1}{6},\ \frac{2}{6},\ \frac{3}{6},\ \frac{4}{6},\ \frac{5}{6},\ \cdots \]
がある．この数列$\{a_n\}$を
\[ \frac{1}{2} \;\biggl|\; \frac{1}{3},\ \frac{2}{3} \;\biggl|\; \frac{1}{4},\ \frac{2}{4},\ \frac{3}{4} \;\biggl|\; \frac{1}{5},\ \frac{2}{5},\ \frac{3}{5},\ \frac{4}{5} \;\biggl|\; \frac{1}{6},\ \frac{2}{6},\ \frac{3}{6},\ \frac{4}{6},\ \frac{5}{6} \;\biggl|\; \cdots \]
のように群に分けると，第$k$群は，初項$\displaystyle \frac{1}{k+1}$，末項$\displaystyle \frac{k}{k+1}$，公差$\displaystyle \frac{1}{k+1}$の等差数列である．
(1)数列$\{a_n\}$の各項を既約分数で表したとき，分子が$1$となる分数が$4$つ連続して初めて現れるのは，$\displaystyle \frac{1}{[ノ]}$からの$4$つの項である．
(2)数列$\{a_n\}$の第$1$群の初項から，第$m$群の末項までの和は，
\[ \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{m}{m+1}=\frac{[ハ]}{[ヒ]}m^{\mkakko{フ}}+\frac{[ヘ]}{[ホ]}m \]
である．
\[ \{a_n\}:\frac{1}{2},\ \frac{1}{3},\ \frac{2}{3},\ \frac{1}{4},\ \frac{2}{4},\ \frac{3}{4},\ \frac{1}{5},\ \frac{2}{5},\ \frac{3}{5},\ \frac{4}{5},\ \frac{1}{6},\ \frac{2}{6},\ \frac{3}{6},\ \frac{4}{6},\ \frac{5}{6},\ \cdots \]
がある．この数列$\{a_n\}$を
\[ \frac{1}{2} \;\biggl|\; \frac{1}{3},\ \frac{2}{3} \;\biggl|\; \frac{1}{4},\ \frac{2}{4},\ \frac{3}{4} \;\biggl|\; \frac{1}{5},\ \frac{2}{5},\ \frac{3}{5},\ \frac{4}{5} \;\biggl|\; \frac{1}{6},\ \frac{2}{6},\ \frac{3}{6},\ \frac{4}{6},\ \frac{5}{6} \;\biggl|\; \cdots \]
のように群に分けると，第$k$群は，初項$\displaystyle \frac{1}{k+1}$，末項$\displaystyle \frac{k}{k+1}$，公差$\displaystyle \frac{1}{k+1}$の等差数列である．
(1)数列$\{a_n\}$の各項を既約分数で表したとき，分子が$1$となる分数が$4$つ連続して初めて現れるのは，$\displaystyle \frac{1}{[ノ]}$からの$4$つの項である．
(2)数列$\{a_n\}$の第$1$群の初項から，第$m$群の末項までの和は，
\[ \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{m}{m+1}=\frac{[ハ]}{[ヒ]}m^{\mkakko{フ}}+\frac{[ヘ]}{[ホ]}m \]
である．
公立 兵庫県立大学 2013年 第4問次のように定められた数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$の各項をそれぞれ求めよ．
(1)$a_1=2,\ a_{n+1}=2(a_n+a_{n-1}+a_{n-2}+\cdots +a_1+1) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
(2)$b_1=1,\ b_{n+1}=b_n+3b_{n-1}+5b_{n-2}+\cdots +(2n-1)b_1+2n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
(1)$a_1=2,\ a_{n+1}=2(a_n+a_{n-1}+a_{n-2}+\cdots +a_1+1) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
(2)$b_1=1,\ b_{n+1}=b_n+3b_{n-1}+5b_{n-2}+\cdots +(2n-1)b_1+2n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
国立 高知大学 2012年 第2問各項が正の実数である数列$\{a_n\} \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$に対し，第1項から第$n$項までの和を$S_n$とおく．$a_n$と$S_n$の間に次の関係が成り立っているとする．
\[ S_n=\frac{1}{2}a_n^2+\frac{1}{2}a_n-1 \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
このとき，次の問いに答えよ．
(1)$a_1,\ a_2,\ a_3$を求めよ．
(2)$a_{n+1}$を$a_n$で表せ．
(3)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
\[ S_n=\frac{1}{2}a_n^2+\frac{1}{2}a_n-1 \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
このとき，次の問いに答えよ．
(1)$a_1,\ a_2,\ a_3$を求めよ．
(2)$a_{n+1}$を$a_n$で表せ．
(3)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
公立 富山県立大学 2012年 第5問数列$\{a_n\}$の各項$a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を
\[ a_1=2,\quad \left\{ \begin{array}{ll}
a_n \ \text{が偶数のとき，} & a_{n+1}=a_n+1 \\
a_n \ \text{が奇数のとき，} & a_{n+1}=2a_n
\end{array} \right. \]
により定める．次の問いに答えよ．ただし，$k$は正の整数とする．
(1)$a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5,\ a_6$を求めよ．
(2)$a_{2k}$を用いて，$a_{2k+2}$を表せ．また，$a_{2k-1}$を用いて，$a_{2k+1}$を表せ．
(3)$a_{2k},\ a_{2k-1}$を求めよ．
\[ a_1=2,\quad \left\{ \begin{array}{ll}
a_n \ \text{が偶数のとき，} & a_{n+1}=a_n+1 \\
a_n \ \text{が奇数のとき，} & a_{n+1}=2a_n
\end{array} \right. \]
により定める．次の問いに答えよ．ただし，$k$は正の整数とする．
(1)$a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5,\ a_6$を求めよ．
(2)$a_{2k}$を用いて，$a_{2k+2}$を表せ．また，$a_{2k-1}$を用いて，$a_{2k+1}$を表せ．
(3)$a_{2k},\ a_{2k-1}$を求めよ．