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小樽商科大学 国立 小樽商科大学 2016年 第2問
各辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$を考える.辺$\mathrm{OA}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{D}$,辺$\mathrm{BC}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{E}$とする.このとき,線分$\mathrm{DE}$の長さを求めよ.
長崎大学 国立 長崎大学 2016年 第1問
半径$1$の円に内接する正十二角形$D$がある.その面積を$S$とする.$D$の各辺の中点を順に結んで正十二角形$D_1$をつくる.さらに,$D_1$の各辺の中点を結んで正十二角形$D_2$をつくる.このように,$D_{n−1}$の各辺の中点を順に結んで正十二角形$D_n$をつくる($n \geqq 2$).$D_n$の面積を$S_n$とする.以下の問いに答えよ.

(1)$S$と$S_1$を求めよ.
(2)$S_n$を$n$の式で表せ($n \geqq 1$).
(3)$\displaystyle S_n \leqq \frac{1}{2}S$となる最小の整数$n$を求めよ.ただし,
\[ 1.89<\log_2(2+\sqrt{3})<1.9 \]
である.
長崎大学 国立 長崎大学 2016年 第1問
半径$1$の円に内接する正十二角形$D$がある.その面積を$S$とする.$D$の各辺の中点を順に結んで正十二角形$D_1$をつくる.さらに,$D_1$の各辺の中点を結んで正十二角形$D_2$をつくる.このように,$D_{n−1}$の各辺の中点を順に結んで正十二角形$D_n$をつくる($n \geqq 2$).$D_n$の面積を$S_n$とする.以下の問いに答えよ.

(1)$S$と$S_1$を求めよ.
(2)$S_n$を$n$の式で表せ($n \geqq 1$).
(3)$\displaystyle S_n \leqq \frac{1}{2}S$となる最小の整数$n$を求めよ.ただし,
\[ 1.89<\log_2(2+\sqrt{3})<1.9 \]
である.
福岡教育大学 国立 福岡教育大学 2016年 第1問
次の問いに答えよ.

(1)$0 \leqq x \leqq 2\pi$のとき
\[ \cos 2x+\cos x+1>0 \]
を満たす$x$の範囲を求めよ.
(2)$a^2b-3a^2+5b=21$を満たす整数の組$(a,\ b)$をすべて求めよ.
(3)正方形の各辺を$n$等分した点から向かい合う辺に垂線を下ろす.このとき,正方形の$4$つの辺とこれらの垂線を利用してできる長方形のうち,正方形でないものの個数を$n$を用いて表せ.
長崎大学 国立 長崎大学 2016年 第1問
半径$1$の円に内接する正十二角形$D$がある.その面積を$S$とする.$D$の各辺の中点を順に結んで正十二角形$D_1$をつくる.さらに,$D_1$の各辺の中点を結んで正十二角形$D_2$をつくる.このように,$D_{n−1}$の各辺の中点を順に結んで正十二角形$D_n$をつくる($n \geqq 2$).$D_n$の面積を$S_n$とする.以下の問いに答えよ.

(1)$S$と$S_1$を求めよ.
(2)$S_n$を$n$の式で表せ($n \geqq 1$).
(3)$\displaystyle S_n \leqq \frac{1}{2}S$となる最小の整数$n$を求めよ.ただし,
\[ 1.89<\log_2(2+\sqrt{3})<1.9 \]
である.
慶應義塾大学 私立 慶應義塾大学 2016年 第2問
$3$つの直線$x+2y-4=0$,$2x-y-2=0$,$x-y+5=0$によって作られる三角形を考える.

(1)三角形の各頂点からの距離の$2$乗和が最小になる点は$\displaystyle \left( \frac{[$19$][$20$]}{[$21$][$22$]},\ \frac{[$23$][$24$]}{[$25$][$26$]} \right)$である.
(2)三角形の各辺からの距離の$2$乗和が最小になる点は$\displaystyle \left( \frac{[$27$][$28$]}{[$29$][$30$]},\ \frac{[$31$][$32$]}{[$33$][$34$]} \right)$である.
東洋大学 私立 東洋大学 2016年 第1問
次の各問に答えよ.

(1)整式$(a+b-7)^3-(a-b+7)^3$を因数分解すると,
\[ 2(b-[ア])([イ]a^2+b^2-[ウエ]b+[オカ]) \]
となる.
(2)$\log_2 x+\log_2 y=4$のとき,$x^2+y^2$の最小値は$[キク]$で,そのときの$x,\ y$の値は$x=[ケ]$,$y=[コ]$である.
(3)各辺の長さが$\mathrm{AB}=10$,$\mathrm{BC}=8$,$\mathrm{CA}=6$である$\triangle \mathrm{ABC}$において,$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$,$\angle \mathrm{A}$の外角の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$の延長との交点を$\mathrm{E}$とする.このとき,線分$\mathrm{DE}$の長さは$[サシ]$である.
(4)$k$を定数とするとき,方程式$x^3+3x^2-9x-k=0$が異なる$3$個の実数解をもつための必要十分条件は$-[ス]<k<[セソ]$である.
山梨大学 国立 山梨大学 2015年 第3問
下の図のように,$\mathrm{ABCDE}$を頂点とする正五角形$P_1$を考える.$P_1$の各辺の中点をとり,その中点を順に結び正五角形$P_2$をつくる.さらに,正五角形$P_2$の各辺の中点をとり,その中点を順に結び正五角形$P_3$をつくる.以下,これを繰り返す.正五角形$P_1$の一辺の長さを$1$,正五角形$P_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$の一辺の長さを$a_n$としたとき,次の問いに答えよ.
(図は省略)

(1)対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{F}$とする.$\triangle \mathrm{ACD}$と$\triangle \mathrm{DFC}$が相似であることを証明せよ.
(2)対角線$\mathrm{AC}$の長さを求めよ.
(3)$a_n$を$n$の式で表せ.
(4)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を求めよ.
自治医科大学 私立 自治医科大学 2015年 第7問
四角形$\mathrm{ABCD}$は,円に内接する.各辺は,それぞれ,$\mathrm{AB}=2$,$\mathrm{BC}=3$,$\mathrm{CD}=4$,$\mathrm{DA}=5$であるとする.四角形$\mathrm{ABCD}$の面積を$S$とするとき,$\displaystyle \frac{S}{\sqrt{30}}$の値を求めよ.
東京理科大学 私立 東京理科大学 2015年 第2問
各辺の長さが整数であるような三角形を考え,その$3$辺の長さを$x,\ y,\ z (x \leqq y \leqq z)$とする.また,$n$を自然数とする.このとき以下の問いに答えよ.

(1)$z=n$であるような三角形の個数を$a_n$とするとき,$a_5$および$a_6$を求めよ.
(2)$(1)$の$a_n$を$n$の式で表せ.
(3)$z \leqq n$であるような三角形の個数を$b_n$とする.

(i) $b_n$を$n$の式で表せ.
(ii) $b_n>2015$となるような最小の自然数$n$を求めよ.

(4)$z=n$であるような三角形で二等辺三角形でないものの個数を$c_n$とするとき,$c_n$を$n$の式で表せ.
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「各辺」とは・・・

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