「可能性」について
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国立 東北大学 2016年 第3問ある工場で作る部品$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$はネジをそれぞれ$7$個，$9$個，$12$個使っている．出荷後に残ったこれらの部品のネジをすべて外したところ，ネジが全部で$54$個あった．残った部品$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の個数をそれぞれ$l,\ m,\ n$として，可能性のある組$(l,\ m,\ n)$をすべて求めよ．
国立 名古屋大学 2015年 第3問次の問に答えよ．
(1)$\displaystyle \left( \sqrt{9+2 \sqrt{17}}+\sqrt{9-2 \sqrt{17}} \right)^2$を計算し，$2$重根号を用いない形で表せ．
(2)$\alpha=\sqrt{13}+\sqrt{9+2 \sqrt{17}}+\sqrt{9-2 \sqrt{17}}$とするとき，整数係数の$4$次多項式$f(x)$で$f(\alpha)=0$となるもののうち，$x^4$の係数が$1$であるものを求めよ．
(3)$8$つの実数
\[ \pm \sqrt{13} \pm \sqrt{9+2 \sqrt{17}} \pm \sqrt{9-2 \sqrt{17}} \]
（ただし，複号$\pm$はすべての可能性にわたる）の中で，$(2)$で求めた$f(x)$に対して方程式$f(x)=0$の解となるものをすべて求めよ．
(1)$\displaystyle \left( \sqrt{9+2 \sqrt{17}}+\sqrt{9-2 \sqrt{17}} \right)^2$を計算し，$2$重根号を用いない形で表せ．
(2)$\alpha=\sqrt{13}+\sqrt{9+2 \sqrt{17}}+\sqrt{9-2 \sqrt{17}}$とするとき，整数係数の$4$次多項式$f(x)$で$f(\alpha)=0$となるもののうち，$x^4$の係数が$1$であるものを求めよ．
(3)$8$つの実数
\[ \pm \sqrt{13} \pm \sqrt{9+2 \sqrt{17}} \pm \sqrt{9-2 \sqrt{17}} \]
（ただし，複号$\pm$はすべての可能性にわたる）の中で，$(2)$で求めた$f(x)$に対して方程式$f(x)=0$の解となるものをすべて求めよ．
国立 名古屋大学 2015年 第2問次の問に答えよ．
(1)$\alpha=\sqrt{13}+\sqrt{9+2 \sqrt{17}}+\sqrt{9-2 \sqrt{17}}$とするとき，整数係数の$4$次多項式$f(x)$で$f(\alpha)=0$となるもののうち，$x^4$の係数が$1$であるものを求めよ．
(2)$8$つの実数
\[ \pm \sqrt{13} \pm \sqrt{9+2 \sqrt{17}} \pm \sqrt{9-2 \sqrt{17}} \]
（ただし，複号$\pm$はすべての可能性にわたる）の中で，$(1)$で求めた$f(x)$に対して方程式$f(x)=0$の解となるものをすべて求め，それ以外のものが解でないことを示せ．
(3)$(2)$で求めた$f(x)=0$の解の大小関係を調べ，それらを大きい順に並べよ．
(1)$\alpha=\sqrt{13}+\sqrt{9+2 \sqrt{17}}+\sqrt{9-2 \sqrt{17}}$とするとき，整数係数の$4$次多項式$f(x)$で$f(\alpha)=0$となるもののうち，$x^4$の係数が$1$であるものを求めよ．
(2)$8$つの実数
\[ \pm \sqrt{13} \pm \sqrt{9+2 \sqrt{17}} \pm \sqrt{9-2 \sqrt{17}} \]
（ただし，複号$\pm$はすべての可能性にわたる）の中で，$(1)$で求めた$f(x)$に対して方程式$f(x)=0$の解となるものをすべて求め，それ以外のものが解でないことを示せ．
(3)$(2)$で求めた$f(x)=0$の解の大小関係を調べ，それらを大きい順に並べよ．
私立 中央大学 2012年 第3問$\mathrm{A}$市から$\mathrm{B}$市へ移動するには電車による方法とバスによる方法の$2$つがある．$\mathrm{A}$市から$\mathrm{B}$市までの電車の運賃は$420$円である．また，バスの運賃は$480$円であるが，バス会社は$25$人まで乗車できる団体券も発行している．団体券は前売り制であり，前日までに$1$万円で購入しなければならず，払い戻しはできない．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$25$人以上$50$人以下のグループが$\mathrm{A}$市から$\mathrm{B}$市まで移動する．全員が同じ手段でそろって移動し，グループの人数は前日までに確定しているとする．このとき電車を使って移動した方が運賃が安くなるのはグループの人数が何人以上，何人以下のときか．
(2)前問で求めた，電車を利用した方が運賃が安くなる最大人数より$1$人だけ人数が多いグループが$\mathrm{A}$市から$\mathrm{B}$市まで移動する．ただし，このうち$1$人は当日移動を取り止める可能性があり，その確率は$p$である．このとき，前日にバスの前売り券を買っておくとすると，当日移動した人の$1$人あたりの運賃の期待値はいくらか．また，これが電車賃より安くなるのは$p$がどのようなときか．
(1)$25$人以上$50$人以下のグループが$\mathrm{A}$市から$\mathrm{B}$市まで移動する．全員が同じ手段でそろって移動し，グループの人数は前日までに確定しているとする．このとき電車を使って移動した方が運賃が安くなるのはグループの人数が何人以上，何人以下のときか．
(2)前問で求めた，電車を利用した方が運賃が安くなる最大人数より$1$人だけ人数が多いグループが$\mathrm{A}$市から$\mathrm{B}$市まで移動する．ただし，このうち$1$人は当日移動を取り止める可能性があり，その確率は$p$である．このとき，前日にバスの前売り券を買っておくとすると，当日移動した人の$1$人あたりの運賃の期待値はいくらか．また，これが電車賃より安くなるのは$p$がどのようなときか．
私立 吉備国際大学 2012年 第2問$n$は整数とする．
(1)$n$が$5$で割って$4$余るとき，$n^2$は$5$で割るといくつ余るか．
(2)$n^2$を$5$で割ったとき，余りは何になるか．可能性があるものをすべて書け．
(3)$n^2$が$5$の倍数の時，$n$は$5$の倍数であることを証明せよ．
(1)$n$が$5$で割って$4$余るとき，$n^2$は$5$で割るといくつ余るか．
(2)$n^2$を$5$で割ったとき，余りは何になるか．可能性があるものをすべて書け．
(3)$n^2$が$5$の倍数の時，$n$は$5$の倍数であることを証明せよ．
公立 宮城大学 2012年 第4問数直線上の点$\mathrm{P}$を，サイコロを投げ，偶数の目が出たら正の方向に出た目の数だけ動かし，奇数の目が出たら負の方向に出た目の数だけ動かす．$\mathrm{P}$を最初原点$0$に置き，サイコロを$2$回投げたとき，$\mathrm{P}$の位置する場所について，次の問いに答えよ．ただし，サイコロは$1$から$6$までのどの目も同じ確率で出るものとする．
(1)$\mathrm{P}$が位置する可能性がある点（存在する確率が正の点）をすべて書け．
(2)$\mathrm{P}$が位置する可能性が最も高い点を求めよ．
(3)$\mathrm{P}$の座標の期待値を求めよ．
(1)$\mathrm{P}$が位置する可能性がある点（存在する確率が正の点）をすべて書け．
(2)$\mathrm{P}$が位置する可能性が最も高い点を求めよ．
(3)$\mathrm{P}$の座標の期待値を求めよ．
公立 首都大学東京 2010年 第3問実数$a,\ b,\ c,\ d$に対し$x$の3次の整式$P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$を考える．ただし，$ad \neq 0$とする．方程式$P(x) = 0$の3つの解を$\alpha,\ \beta,\ \gamma$とすると$P(x) =a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$であることが知られている．このとき，以下の問いに答えなさい．
(1)積$\alpha \beta \gamma$，和$\alpha+ \beta + \gamma$，$\displaystyle \frac{1}{\alpha}+ \frac{1}{\beta}+ \frac{1}{\gamma}$を，それぞれ$a,\ b,\ c,\ d$を用いて表しなさい．
(2)もし$\alpha$が実数でないならば，方程式$P(x) = 0$は$\alpha$の共役な複素数$\overline{\alpha}$を解に持つことを証明しなさい．
(3)解$\alpha,\ \beta,\ \gamma$のうち実数となるものの個数は$0,\ 1,\ 2,\ 3$のどれか，考えられる可能性をすべて，理由も述べて答えなさい．
(4)もし$ad > 0$ならば，解$\alpha,\ \beta,\ \gamma$のうち正の実数となるものの個数は$0,\ 1,\ 2,\ 3$のどれか．考えられる可能性をすべて，理由も述べて答えなさい．
(1)積$\alpha \beta \gamma$，和$\alpha+ \beta + \gamma$，$\displaystyle \frac{1}{\alpha}+ \frac{1}{\beta}+ \frac{1}{\gamma}$を，それぞれ$a,\ b,\ c,\ d$を用いて表しなさい．
(2)もし$\alpha$が実数でないならば，方程式$P(x) = 0$は$\alpha$の共役な複素数$\overline{\alpha}$を解に持つことを証明しなさい．
(3)解$\alpha,\ \beta,\ \gamma$のうち実数となるものの個数は$0,\ 1,\ 2,\ 3$のどれか，考えられる可能性をすべて，理由も述べて答えなさい．
(4)もし$ad > 0$ならば，解$\alpha,\ \beta,\ \gamma$のうち正の実数となるものの個数は$0,\ 1,\ 2,\ 3$のどれか．考えられる可能性をすべて，理由も述べて答えなさい．