銀行口座（以降，口座）から$\mathrm{IC}$カードに金額を移転し，そのカードを用いて支払いをおこなうものとする．口座からカードに移転した金額を超過してさらに支払う必要が生じた場合，その分は銀行が自動的に立て替えて払うものとする．

このとき，口座からカードに金額を移転することに伴う利子収入の減少分，および銀行からの借入れに伴う利払い，そして口座からカードへの移転に伴う手数料，それらの合計$Z$を最小にする問題を考える．適当な仮定のもと，$Z$は独立変数$x,\ y$の関数として，つぎのように表わされる．
\[ Z=\frac{xy^2}{40A}+\frac{A^2-2xyA+x^2y^2}{30xA}+6x \]
ただし$(x,\ y)$は座標平面の第$1$象限の点であり，$A$は定数である．

(1)$x$を固定し，$Z$を$y$の関数と考えれば，その最小値は
\[ y=\frac{[$35$][$36$]}{[$37$][$38$]} \frac{A}{x} \]
のときである．
(2)$Z$に$(1)$の結果を代入し，$Z$を$x$のみの関数とみれば
\[ x=\sqrt{\frac{[$39$][$40$][$41$]}{[$42$][$43$][$44$]}A} \]
のとき$Z$は最小になる．
(3)以上から$Z$の最小値は
\[ \sqrt{\frac{[$45$][$46$][$47$]}{[$48$][$49$][$50$]}A} \]
である．