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名古屋大学 国立 名古屋大学 2016年 第2問
$n$を正の整数とし,$k$を$1 \leqq k \leqq n+2$を満たす整数とする.$n+2$枚のカードがあり,そのうちの$1$枚には数字$0$が,他の$1$枚には数字$2$が,残りの$n$枚には数字$1$が書かれている.この$n+2$枚のカードのうちから無作為に$k$枚のカードを取り出すとする.このとき,次の問に答えよ.

(1)取り出した$k$枚のカードに書かれているすべての数字の積が$1$以上になる確率を求めよ.
(2)取り出した$k$枚のカードに書かれているすべての数字の積が$2$となる確率$Q_n(k)$を求めよ.
(3)与えられた$n$に対して,確率$Q_n(k)$が最大となる$k$の値と,その最大値を求めよ.
九州大学 国立 九州大学 2016年 第3問
袋の中に,赤玉が$15$個,青玉が$10$個,白玉が$5$個入っている.袋の中から玉を$1$個取り出し,取り出した玉の色に応じて,以下の操作で座標平面に置いたコインを動かすことを考える.


\mon[(操作)] コインが点$(x,\ y)$にあるものとする.赤玉を取り出したときにはコインを点$(x+1,\ y)$に移動,青玉を取り出したときには点$(x,\ y+1)$に移動,白玉を取り出したときには点$(x-1,\ y-1)$に移動し,取り出した球は袋に戻す.

最初に原点$(0,\ 0)$にコインを置き,この操作を繰り返して行う.指定した回数だけ操作を繰り返した後,コインが置かれている点を到達点と呼ぶことにする.このとき,以下の問いに答えよ.

(1)操作を$n$回繰り返したとき,白玉を$1$度だけ取り出したとする.このとき,到達点となり得る点をすべて求めよ.
(2)操作を$n$回繰り返したとき,到達点となり得る点の個数を求めよ.
(3)座標平面上の$4$点$(1,\ 1)$,$(-1,\ 1)$,$(-1,\ -1)$,$(1,\ -1)$を頂点とする正方形$D$を考える.操作を$n$回繰り返したとき,到達点が$D$の内部または辺上にある確率を$P_n$とする.$P_3$を求めよ.
(4)自然数$N$に対して$P_{3N}$を求めよ.
豊橋技術科学大学 国立 豊橋技術科学大学 2016年 第4問
以下の問いに答えよ.ただし,解が分数になるときは既約分数とせよ.

(1)赤玉が$3$個,青玉が$7$個入っている企業$\mathrm{A}$の箱を$a$箱用意し,赤玉が$1$個,青玉が$19$個入っている企業$\mathrm{B}$の箱を$20$箱用意する.すべての箱の玉を混ぜ,その中から$1$個取り出した玉が赤玉となる確率が$\displaystyle \frac{1}{5}$となった.企業$\mathrm{A}$の箱の数$a$を求めよ.
(2)企業$\mathrm{A}$ではある玉を$10$個ずつ$1$つの箱につめている.$10$個のうち赤玉が$3$個,青玉が$7$個含まれているとする.

(i) $1$箱の中から無作為に$1$個の玉を取り出し,色を確認して戻すということを$2$回行う.$2$回とも赤玉となる確率を求めよ.
(ii) $1$箱の中から一度に無作為に$2$個の玉を取り出す.$2$個とも赤玉となる確率を求めよ.
(iii) 赤玉が$3$個,青玉が$7$個つめられた箱を$3$箱用意する.$1$箱から一度に無作為に$5$個の玉を取り出し,色を確認する.$3$箱とも,取り出した玉のうち赤玉が$1$個以下となる確率を求めよ.
学習院大学 私立 学習院大学 2016年 第2問
袋の中に,$1$から$6$までの番号が$1$つずつ書かれた$6$個の玉が入っている.袋から$6$個の玉を$1$つずつ取り出していき,$k$番目に取り出した玉に書かれた番号を$a_k$とする($k=1,\ 2,\ \cdots,\ 6$).ただし,取り出した玉は袋に戻さない.

(1)$a_1+a_2=a_3+a_4=a_5+a_6$が成り立つ確率を求めよ.
(2)$a_6$が偶数であったとき,$a_1$が奇数である確率を求めよ.
福岡大学 私立 福岡大学 2016年 第1問
次の$[ ]$をうめよ.

(1)$2$次関数$y=f(x)$のグラフが$3$点$(-1,\ -1)$,$(2,\ 2)$,$(3,\ -5)$を通るとき,$f(x)=[ ]$であり,$f(x)$の区間$-3 \leqq x \leqq 4$における最小値は$[ ]$である.
(2)$0 \leqq x<2\pi$のとき,関数$f(x)=\cos 2x+2 \cos x$の最大値と最小値の差は$[ ]$であり,$f(x)$が最小値をとる$x$の値は$[ ]$である.
(3)赤球$3$個,白球$4$個,青球$5$個が入っている袋から,$3$個の球を$1$個ずつ取り出すとき,$3$個とも白球である確率は$[ ]$であり,$3$個目が白球である確率は$[ ]$である.ただし,取り出した球はもとに戻さないものとする.
同志社大学 私立 同志社大学 2016年 第1問
次の$[ ]$に適する数または式を記入せよ.

(1)$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする.関数$f(\theta)=\sin \theta+\sqrt{3} \cos \theta$は最小値$[ア]$を$\theta=[イ]$でとる.関数$\displaystyle g(\theta)=\sqrt{3} f(\theta)-2 \cos \left( \theta+\frac{\pi}{3} \right)$は最小値$[ウ]$を$\theta=[エ]$でとる.
(2)箱から玉を$1$個取り出し,この玉に$1$個の玉を新たに加えた合計$2$個の玉を箱に戻す試行を繰り返す.新たに加える玉の色は白あるいは黒のみとする.最初に,$2$個の白玉と$3$個の黒玉が入っている箱を考える.新たに加える玉の色は取り出した玉と同色とすると,$3$回目の試行において白玉を取り出す確率は$[オ]$,$n$回目の試行において白玉を取り出す確率$P_n$は$[カ]$,極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}P_n$は$[キ]$である.次に,$3$個の白玉と$4$個の黒玉が入っている箱を考える.新たに加える玉の色は取り出した玉と異なる色とすると,$3$回目の試行において白玉を取り出す確率は$[ク]$である.$n$回目の試行において白玉を取り出す確率を$Q_n$とすると,$Q_n$は漸化式$\displaystyle Q_n=[ケ]Q_{n-1}+\frac{1}{6+n} (n \geqq 2)$を満たし,極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}Q_n$は$[コ]$である.
立教大学 私立 立教大学 2016年 第1問
次の空欄$[ア]$~$[コ]$に当てはまる数または式を記入せよ.

(1)$x,\ y$を実数とするとき,座標平面上の点$\mathrm{P}(3 \sin x+5 \sin y,\ 3 \cos x+5 \cos y)$と原点との距離の最小値は$[ア]$であり,最大値は$[イ]$である.
(2)$2016x+401y=1$を満たす整数$x,\ y$で$0<x<401$となるのは,$x=[ウ]$,$y=[エ]$のときである.
(3)$0 \leqq x \leqq 1$のとき,関数$f(x)=\sqrt{x}+2 \sqrt{1-x}$は,$x=[オ]$において最大値$[カ]$をとる.
(4)$\mathrm{O}$を原点とする座標空間内の$2$点$\mathrm{A}(4,\ -1,\ 3)$,$\mathrm{B}(2,\ 1,\ 1)$を通る直線と$xy$平面の交点を$\mathrm{C}$とするとき,$\mathrm{C}$の座標は$[キ]$である.また,直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{OC}$のなす角を$\displaystyle \theta \left( 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$とすると,$\cos \theta=[ク]$である.
(5)袋の中に赤玉と白玉が合わせて$8$個入っている.この袋の中から$2$個の玉を同時に取り出すとき,取り出した玉が両方とも白である確率が$\displaystyle \frac{5}{14}$である.このとき,袋の中の白玉は$[ケ]$個である.また,取り出した玉を元に戻し,この袋からあらたに$2$個の玉を同時に取り出すとき,赤玉と白玉が$1$個ずつである確率は$[コ]$である.
獨協医科大学 私立 獨協医科大学 2016年 第2問
袋の中に,$1,\ 2,\ \cdots,\ m$($m$は$2$以上の整数)の数字が書かれた球がそれぞれ$n$個ずつ($n$は正の整数),合計$mn$個入っている.この袋の中から同時に$2$個の球を取り出す.取り出した球に書かれている数字が$k,\ l (k \geqq l)$のとき,$x=k$,$y=l$とする.

(1)$m=6,\ n=3$のとき,$x-y=3$となる確率は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イウ]}$である.
(2)$2(x-y) \geqq m$となる確率を$p$とする.


$m=18$,$n=3$のとき,$\displaystyle p=\frac{[エオ]}{[カキ]}$である.

$m$が偶数,$n=3$のとき,$\displaystyle p=\frac{[ク]m+[ケ]}{[コサ]m-[シ]}$である.


(3)$2(x-y)<m$となる確率は,$m$が偶数のとき
\[ \frac{[ス]mn-[セ]n-[ソ]}{[タ](mn-[チ])} \]
である.
東京電機大学 私立 東京電機大学 2016年 第2問
袋の中に複数個の玉が入っていて,この袋から玉を$1$個取り出し,袋に戻さずに$2$個目の玉を取り出す試行を考える.次の各問に答えよ.

(1)袋の中に赤玉$3$個,白玉$5$個の全部で$8$個の玉が入っている.取り出した玉が同じ色である確率を求めよ.
(2)袋の中に赤玉$3$個,白玉$5$個の全部で$8$個の玉が入っている.$2$個目の玉が赤玉である確率を求めよ.
(3)袋の中に赤玉$3$個,白玉$5$個の全部で$8$個の玉が入っている.$2$個目の玉が赤玉であることが分かったとき,$1$個目の玉も赤玉である確率を求めよ.
(4)袋の中に全部で$9$個の玉が入っている.赤玉は$3$個,白玉は$w$個,残りはすべて青玉である.取り出した玉が同じ色である確率が$\displaystyle \frac{1}{4}$のとき白玉の個数$w$を求めよ.
公立はこだて未来大学 公立 公立はこだて未来大学 2016年 第1問
箱の中に$1$から$10$までの自然数が$1$つずつ書かれた$10$枚のカードが入っている.この箱の中からカードを同時に$3$枚取り出し,取り出されたカードの数字を小さいものから順に$X,\ Y,\ Z$とする.以下の問いに答えよ.

(1)$X$が$4$以下である確率を求めよ.
(2)$Y$が$4$以下である確率を求めよ.
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「取り出す」とは・・・

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