円$C:x^2+y^2=1$上を動く点$\mathrm{P}$は，時刻$0$のときに点$\mathrm{A}(1,\ 0)$を出発して，時刻$t$のとき，弧$\koa{$\mathrm{AP}$}$の長さが$t$となるように反時計回りに動く．また，円$D:x^2+(y-1)^2=1$上を動く点$\mathrm{Q}$は，時刻$0$のときに点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を出発して，時刻$t$のとき，弧$\koa{$\mathrm{OQ}$}$の長さが$t$となるように反時計回りに動く．時刻$t$が$0 \leqq t \leqq \pi$のとき，以下の問いに答えなさい．

(1)点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標を$t$を用いて表しなさい．
(2)$\displaystyle t=\frac{\pi}{6}$のときの線分$\mathrm{PQ}$の長さを求めなさい．
(3)線分$\mathrm{PQ}$の長さの最小値を求めなさい．また，そのときの線分$\mathrm{PQ}$を図示しなさい．

座標平面上の点$\mathrm{A}(1,\ 1)$を中心とする円$(x-1)^2+(y-1)^2=1$上を，点$\mathrm{P}_0(2,\ 1)$から出発して一定の速度で反時計回りに動く点$\mathrm{P}$と，座標平面上の点$\mathrm{B}(-1,\ -1)$を中心とするもう$1$つの円$(x+1)^2+(y+1)^2=1$上を，点$\mathrm{Q}_0(-1,\ 0)$から出発して反時計回りに動く点$\mathrm{Q}$について考える．点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$が各円周上を進む速度は等しいものとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)図に示すように$\angle \mathrm{P}_0 \mathrm{AP}$ならびに$\angle \mathrm{Q}_0 \mathrm{BQ}$を$\theta$とするとき，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$それぞれの座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)線分$\mathrm{PQ}$の長さの最大値と，そのときの点$\mathrm{P}$の位置$\mathrm{P}_1$と点$\mathrm{Q}$の位置$\mathrm{Q}_1$それぞれの座標を求めよ．また，線分$\mathrm{PQ}$の長さの最小値と，そのときの点$\mathrm{P}$の位置$\mathrm{P}_2$と点$\mathrm{Q}$の位置$\mathrm{Q}_2$それぞれの座標を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{Q}_1$，$\mathrm{Q}_2$について，$4$点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{Q}_1$，$\mathrm{Q}_2$，$\mathrm{P}_2$がつくる四角形の面積を求めよ．
（図は省略）

長方形OAB$_1$C$_1$において$\text{OA}=1,\ \angle \text{AOB}_1=\theta \ (0^\circ<\theta<90^\circ)$とする．図のように，この長方形の対角線OB$_1$を一辺とし，$\angle \text{B}_1 \text{OB}_2=\theta$となる長方形OB$_1$B$_2$C$_2$を反時計回りに作る．同様にして$\angle \text{B}_n \text{OB}_{n+1}=\theta$となる長方形OB$_n$B$_{n+1}$C$_{n+1} \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$を作る．次の問いに答えよ．

(1)線分OB$_1$およびB$_1$B$_2$の長さを$\theta$で表せ．
(2)長方形OB$_n$B$_{n+1}$C$_{n+1}$の面積を$n$と$\theta$で表せ．ただしB$_0=\text{A}$とする．
(3)$\theta=30^\circ$のとき，図形OAB$_1$B$_2$B$_3$B$_4$C$_4$の面積$S$を求めよ．


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（図は省略）

座標平面において原点を中心とする半径$1$の円を$C_1$とし，点$(1,\ 0)$を中心とする半径$3$の円を$C_2$とする．動点$\mathrm{P}$は$C_1$上を反時計回りに$1$秒間に$2$回転の速さで等速円運動をし，動点$\mathrm{Q}$は$C_2$上を反時計回りに$1$秒間に$1$回転の速さで等速円運動をしている．時刻$t=0$のとき，$\mathrm{P}$は$(0,\ 1)$にあり，$\mathrm{Q}$は$(4,\ 0)$にあるものとする．$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$間の距離の$2$乗の最大値と最小値，およびそれらをとる$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

$n$を$5$以上の整数とする．座標平面上に原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$n$の円$C_1$と，点$\mathrm{A}$を中心とする半径$1$の円$C_2$がある．$C_2$が$C_1$に外接しながらすべることなく反時計回りに転がるとき，$C_2$上の点$\mathrm{P}$が描く曲線を考える．はじめに$\mathrm{A}$は$(n+1,\ 0)$，$\mathrm{P}$は$(n,\ 0)$の位置にあるものとする．$\mathrm{P}$が$(n,\ 0)$から出発し，再び$(n,\ 0)$に戻るまで，$\mathrm{P}$が描く曲線を$C$とする．線分$\mathrm{OA}$と$x$軸の正の部分のなす角が$\theta (0 \leqq \theta \leqq 2\pi)$であるときの$\mathrm{P}$の座標を$(x(\theta),\ y(\theta))$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$x(\theta),\ y(\theta)$を$\theta$を用いて表せ．
(2)区間$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{2\pi}{n}$で$x(\theta)$の増減を調べよ．
(3)$C$によって囲まれた部分の面積を求めよ．

$C$を半径$1$の円周とし，$\mathrm{A}$を$C$上の$1$点とする．$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$が$\mathrm{A}$を時刻$t=0$に出発し，$C$上を各々一定の速さで，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$は反時計回りに，$\mathrm{R}$は時計回りに，時刻$t=2\pi$まで動く．$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$の速さは，それぞれ$m$，$1$，$2$であるとする．（したがって，$\mathrm{Q}$は$C$をちょうど一周する．）ただし，$m$は$1\leqq m \leqq 10$をみたす整数である．$\triangle \mathrm{PQR}$が$\mathrm{PR}$を斜辺とする直角二等辺三角形となるような速さ$m$と時刻$t$の組をすべて求めよ．

$C$を半径1の円周とし，Aを$C$上の1点とする．3点P，Q，RがAを時刻$t=0$に出発し，$C$上を各々一定の速さで，P，Qは反時計回りに，Rは時計回りに，時刻$t=2\pi$まで動く．P，Q，Rの速さは，それぞれ$m$，1，2であるとする．（したがって，Qは$C$をちょうど一周する．）ただし，$m$は$1\leqq m\leqq10$をみたす整数である．$\triangle$PQRがPRを斜辺とする直角二等辺三角形となるような速さ$m$と時刻$t$の組をすべて求めよ．

$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．点Oを中心とする円周上に反時計回りに並んだ5点A，B，C，D，Eがあり，$\angle \text{AOB},\ \angle \text{BOC},\ \angle \text{COD},\ \angle \text{DOE}$はすべて$\theta$に等しい．$\alpha=2\pi-4\theta,\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}},\ t=\cos \theta$とする．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OD}}$および$\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{c}$と$t$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}+\overrightarrow{\mathrm{OD}}+\overrightarrow{\mathrm{OE}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$が成り立つとき，$\alpha$は$\theta$に等しいことを示せ．

$1$辺の長さが$1$の正六角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \mathrm{A}_3 \mathrm{A}_4 \mathrm{A}_5 \mathrm{A}_6$を考える．次の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \mathrm{A}_3 \mathrm{A}_4 \mathrm{A}_5 \mathrm{A}_6$の面積を求めよ．
(2)各頂点$\mathrm{A}_i$から辺上に反時計回りに$x$だけ進んだ点を$\mathrm{B}_i$とする．ただし$0<x<1$とする．六角形$\mathrm{B}_1 \mathrm{B}_2 \mathrm{B}_3 \mathrm{B}_4 \mathrm{B}_5 \mathrm{B}_6$の面積を$x$を使って表し，それが最小となる$x$およびそのときの面積を求めよ．

平面上に円$S$と6点A，B，C，D，E，Fがある．A，B，Cは$S$上の異なる3点で，この順番で反時計回りに並んでいる．線分ABをAの側に延長した半直線上に点Dがある．$\angle \text{CAD}$を二等分する直線$\ell$と円$S$は異なる2点で交わり，それらはAとEである．さらに，EはCを含まない$S$上の弧AB上にある．また，$\ell$は線分BCをCの側に延長した半直線と交わり，その交点がFである．このとき，次の問いに答えよ．

(1)題意にしたがって，円$S$，三角形ABCおよび点D，E，Fを描け．
(2)三角形ACFと三角形AEBが相似であることを証明せよ．
(3)$\text{AB} \cdot \text{EF}=\text{EB} \cdot \text{BF}$となることを証明せよ．