「反時計回り」について
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国立 岐阜大学 2013年 第6問中心を点$\mathrm{O}$とする半径$1$の円に内接する正六角形$H_1$があり，その頂点を反時計回りに$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{B}_1$，$\mathrm{C}_1$，$\mathrm{D}_1$，$\mathrm{E}_1$，$\mathrm{F}_1$とする．辺$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1$上に点$\mathrm{A}_2$を$\angle \mathrm{A}_1 \mathrm{OA}_2=15^\circ$を満たすようにとり，辺$\mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1$上に点$\mathrm{B}_2$を$\angle \mathrm{B}_1 \mathrm{OB}_2=15^\circ$を満たすようにとる．同様に，図のように辺$\mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1$，$\mathrm{D}_1 \mathrm{E}_1$，$\mathrm{E}_1 \mathrm{F}_1$，$\mathrm{F}_1 \mathrm{A}_1$上にそれぞれ点$\mathrm{C}_2$，$\mathrm{D}_2$，$\mathrm{E}_2$，$\mathrm{F}_2$をとり，点$\mathrm{A}_2$から点$\mathrm{F}_2$を頂点とする正六角形を$H_2$とおく． \\
上の操作を再び正六角形$H_2$に対して行い，辺$\mathrm{A}_2 \mathrm{B}_2$，$\mathrm{B}_2 \mathrm{C}_2$，$\mathrm{C}_2 \mathrm{D}_2$，$\mathrm{D}_2 \mathrm{E}_2$，$\mathrm{E}_2 \mathrm{F}_2$，$\mathrm{F}_2 \mathrm{A}_2$上にそれぞれ点$\mathrm{A}_3$，$\mathrm{B}_3$，$\mathrm{C}_3$，$\mathrm{D}_3$，$\mathrm{E}_3$，$\mathrm{F}_3$をとり，これらを頂点とする正六角形を$H_3$とおく．同様に$3$以上の整数$n$に対して，上の操作を正六角形$H_n$に行うことにより得られる正六角形を$H_{n+1}$とおく．以下の問に答えよ．
（図は省略）
(1)辺$\mathrm{OA}_2$の長さを求めよ．
(2)正六角形$H_2$の面積$S_2$を求めよ．
(3)正六角形$H_n$の面積$S_n$を$n$を用いて表せ．
上の操作を再び正六角形$H_2$に対して行い，辺$\mathrm{A}_2 \mathrm{B}_2$，$\mathrm{B}_2 \mathrm{C}_2$，$\mathrm{C}_2 \mathrm{D}_2$，$\mathrm{D}_2 \mathrm{E}_2$，$\mathrm{E}_2 \mathrm{F}_2$，$\mathrm{F}_2 \mathrm{A}_2$上にそれぞれ点$\mathrm{A}_3$，$\mathrm{B}_3$，$\mathrm{C}_3$，$\mathrm{D}_3$，$\mathrm{E}_3$，$\mathrm{F}_3$をとり，これらを頂点とする正六角形を$H_3$とおく．同様に$3$以上の整数$n$に対して，上の操作を正六角形$H_n$に行うことにより得られる正六角形を$H_{n+1}$とおく．以下の問に答えよ．
（図は省略）
(1)辺$\mathrm{OA}_2$の長さを求めよ．
(2)正六角形$H_2$の面積$S_2$を求めよ．
(3)正六角形$H_n$の面積$S_n$を$n$を用いて表せ．
私立 成城大学 2013年 第3問一辺の長さが$a_1$の正方形$\mathrm{S}_1$がある．以下の図のように，$\mathrm{S}_1$の対角線を一辺とする正方形$\mathrm{S}_2$をつくり，その一辺の長さを$a_2$とする．さらに，$\mathrm{S}_2$の対角線を一辺とする正方形$\mathrm{S}_3$をつくり，その一辺の長さを$a_3$とする．
以下，$1 \leqq n \leqq 7$に対して同様にしてつくられる正方形$\mathrm{S}_n$の一辺の長さを$a_n$とし，$n$個の正方形$\mathrm{S}_1,\ \cdots,\ \mathrm{S}_n$が重なってできる多角形の面積を$A_n$とするとき，以下の問いに答えよ．ただし，正方形は点$\mathrm{O}$を中心として反時計回りに回転するものとする．
(1)$a_n$を$a_1$を用いて表せ．
(2)$A_2$および$A_3$を$a_1$を用いて表せ．
(3)$A_n$を$a_1$を用いて表せ．
（図は省略）
以下，$1 \leqq n \leqq 7$に対して同様にしてつくられる正方形$\mathrm{S}_n$の一辺の長さを$a_n$とし，$n$個の正方形$\mathrm{S}_1,\ \cdots,\ \mathrm{S}_n$が重なってできる多角形の面積を$A_n$とするとき，以下の問いに答えよ．ただし，正方形は点$\mathrm{O}$を中心として反時計回りに回転するものとする．
(1)$a_n$を$a_1$を用いて表せ．
(2)$A_2$および$A_3$を$a_1$を用いて表せ．
(3)$A_n$を$a_1$を用いて表せ．
（図は省略）
私立 立教大学 2013年 第1問次の空欄$[ア]$～$[サ]$に当てはまる数または式を記入せよ．
(1)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{AC}=3$，$\angle \mathrm{A}={60}^\circ$とする．$\angle \mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}$の長さは$[ア]$である．
(2)$\tan {75}^\circ$の値は$[イ]$である．
(3)$5^x-5^{-x}=6$のとき，$5^x+5^{-x}=[ウ]$である．
(4)$\displaystyle \frac{1}{1+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{7}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{79}+\sqrt{81}}=[エ]$である．
(5)$4$次方程式$2x^4-5x^2-3=0$の解は$x=[オ],\ [カ],\ [キ],\ [ク]$である．
(6)$2$点$\mathrm{A}(-6,\ -1,\ 2)$，$\mathrm{B}(-4,\ 2,\ 7)$からの距離が等しい点$\mathrm{P}(x,\ y,\ z)$のうち，$x,\ y,\ z$がすべて正の整数となるのは$(x,\ y,\ z)=[ケ]$である．
(7)不等式$\sqrt{|x-3|}<5$を満たす$x$の範囲は，$[コ]$である．
(8)正六角形の頂点を反時計回りに$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$とする．このとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$を用いて表すと$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=[サ]$である．
(1)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{AC}=3$，$\angle \mathrm{A}={60}^\circ$とする．$\angle \mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}$の長さは$[ア]$である．
(2)$\tan {75}^\circ$の値は$[イ]$である．
(3)$5^x-5^{-x}=6$のとき，$5^x+5^{-x}=[ウ]$である．
(4)$\displaystyle \frac{1}{1+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{7}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{79}+\sqrt{81}}=[エ]$である．
(5)$4$次方程式$2x^4-5x^2-3=0$の解は$x=[オ],\ [カ],\ [キ],\ [ク]$である．
(6)$2$点$\mathrm{A}(-6,\ -1,\ 2)$，$\mathrm{B}(-4,\ 2,\ 7)$からの距離が等しい点$\mathrm{P}(x,\ y,\ z)$のうち，$x,\ y,\ z$がすべて正の整数となるのは$(x,\ y,\ z)=[ケ]$である．
(7)不等式$\sqrt{|x-3|}<5$を満たす$x$の範囲は，$[コ]$である．
(8)正六角形の頂点を反時計回りに$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$とする．このとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$を用いて表すと$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=[サ]$である．
公立 岐阜薬科大学 2013年 第5問$1$辺の長さが$1$の正六角形$\mathrm{ABCDEF}$の辺上を動く点$\mathrm{P}$がある．頂点$\mathrm{A}$を出発して，さいころを振るごとに，奇数の目が出たときは時計回りに$1$動き，偶数の目が出たときは反時計回りに$2$動くという試行を繰り返し，再び頂点$\mathrm{A}$に戻ったとき試行を終了する．
(1)$3$回の試行すべてにおいて偶数の目が出て，試行を終了する確率を求めよ．
(2)$3$回の試行後，点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$にいる確率をそれぞれ求めよ．
(3)$3k$回の試行後，試行を終了する確率を求めよ．ただし，$k$は正の整数とする．
(1)$3$回の試行すべてにおいて偶数の目が出て，試行を終了する確率を求めよ．
(2)$3$回の試行後，点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$にいる確率をそれぞれ求めよ．
(3)$3k$回の試行後，試行を終了する確率を求めよ．ただし，$k$は正の整数とする．
国立 埼玉大学 2012年 第3問正三角形の頂点を反時計回りにそれぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とし，頂点$\mathrm{A}$上に碁石が置かれているとする．さいころを何回か投げ，以下の規則[R]に従って碁石を移動させるゲームを考える．\\
$[\text{R}]$ \quad さいころの目が$3$の倍数のときは反時計回りに隣の頂点に移動し，$3$の倍数でないときは移動しないでその頂点に留まる．\\
このとき下記の設問に答えなさい．
(1)さいころを$3$回投げたとき，碁石が頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$上にある確率をそれぞれ求めなさい．
(2)さいころを$n$回投げたとき，碁石が頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$上にある確率をそれぞれ$p,\ q,\ r$とする．さらに続けて$4$回投げたとき，碁石が頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$上にある確率をそれぞれ求めなさい．
(3)さいころを$100$回投げたとき，碁石が置かれている確率の最も高い頂点は$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$のうちのどれか求めなさい．
$[\text{R}]$ \quad さいころの目が$3$の倍数のときは反時計回りに隣の頂点に移動し，$3$の倍数でないときは移動しないでその頂点に留まる．\\
このとき下記の設問に答えなさい．
(1)さいころを$3$回投げたとき，碁石が頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$上にある確率をそれぞれ求めなさい．
(2)さいころを$n$回投げたとき，碁石が頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$上にある確率をそれぞれ$p,\ q,\ r$とする．さらに続けて$4$回投げたとき，碁石が頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$上にある確率をそれぞれ求めなさい．
(3)さいころを$100$回投げたとき，碁石が置かれている確率の最も高い頂点は$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$のうちのどれか求めなさい．
国立 横浜国立大学 2012年 第3問$xy$平面上に曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{2}x^2$がある．$C$上の点$\mathrm{P} \displaystyle (t,\ \frac{1}{2}t^2) (t \neq 1)$における接線を，$\mathrm{P}$を中心として反時計回りに$45^\circ$回転して得られる直線を$\ell$とする．次の問いに答えよ．
(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$C$と$\ell$で囲まれる部分の面積$S(t)$を求めよ．
(3)$S(t)$を最小にする$t$の値を求めよ．
(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$C$と$\ell$で囲まれる部分の面積$S(t)$を求めよ．
(3)$S(t)$を最小にする$t$の値を求めよ．
国立 広島大学 2012年 第5問$n$は自然数とし，点Pは次の規則にしたがって座標平面上を動くとする．\\
規則:\\
\quad (A) \ Pは，はじめに点$(1,\ 2)$にある．\\
\quad (B) \ さいころを投げて2以下の目が出ればPは原点を中心に反時計回りに$120^\circ$回転し，3以上の目が出れば時計回りに$60^\circ$回転する．\\
\quad (C) \ (B)を$n$回繰り返す．\\
ただし，さいころの目の出方は同様に確からしいとする．次の問いに答えよ．
(1)$n=3$のとき，出た目が$4,\ 1,\ 2$であったとする．このときPが最後に移った点の座標を求めよ．
(2)$n=3$のとき，Pが点$(1,\ 2)$にある確率を求めよ．
(3)$n=6$のとき，Pが点$(-1,\ -2)$にある確率を求めよ．
(4)$n=3m$のとき，Pが点$(1,\ 2)$にある確率を求めよ．ただし，$m$は自然数とする．
規則:\\
\quad (A) \ Pは，はじめに点$(1,\ 2)$にある．\\
\quad (B) \ さいころを投げて2以下の目が出ればPは原点を中心に反時計回りに$120^\circ$回転し，3以上の目が出れば時計回りに$60^\circ$回転する．\\
\quad (C) \ (B)を$n$回繰り返す．\\
ただし，さいころの目の出方は同様に確からしいとする．次の問いに答えよ．
(1)$n=3$のとき，出た目が$4,\ 1,\ 2$であったとする．このときPが最後に移った点の座標を求めよ．
(2)$n=3$のとき，Pが点$(1,\ 2)$にある確率を求めよ．
(3)$n=6$のとき，Pが点$(-1,\ -2)$にある確率を求めよ．
(4)$n=3m$のとき，Pが点$(1,\ 2)$にある確率を求めよ．ただし，$m$は自然数とする．
国立 名古屋工業大学 2012年 第4問円周上に4点A，B，C，Dが反時計回りに並んでいる．直線ABと直線DCの交点をE，線分ACとBDの交点をFとする．$\text{AB}=1,\ \text{BE}=3,\ \text{AE}=4$であり，$\triangle$DCFの面積は$\triangle$ABFの面積の4倍である．$\displaystyle \text{FA}=x,\ \text{FB}=y,\ \text{CE}=t,\ \frac{y}{x}=u$とおいて，以下の問いに答えよ．
(1)$\text{FC},\ \text{FD}$を$x,\ y$で表せ．
(2)$t$の値を求めよ．
(3)$u$の値を求めよ．
(4)面積の比の値$\displaystyle \frac{\triangle \text{AED}}{\triangle \text{ABF}}$を求めよ．
(1)$\text{FC},\ \text{FD}$を$x,\ y$で表せ．
(2)$t$の値を求めよ．
(3)$u$の値を求めよ．
(4)面積の比の値$\displaystyle \frac{\triangle \text{AED}}{\triangle \text{ABF}}$を求めよ．
国立 九州工業大学 2012年 第4問1辺の長さが1の正三角形の頂点を時計回りにP，Q，Rとする．これらの頂点のいずれかにある動点が，次のように辺上を移動することを1回の試行とする．さいころを1回投げて，1の目が出れば反時計回りに長さ1だけ移動し，6の目が出れば移動せず，それ以外の場合は時計回りに長さ1だけ移動する．動点は最初に点Pにあり，$n$回の試行後に動点が点P，Q，Rにある確率をそれぞれ$p_n,\ q_n,\ r_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．以下の問いに答えよ．
(1)$p_1,\ p_2$をそれぞれ求めよ．
(2)$q_2,\ r_2$をそれぞれ求め，さらに$p_3$を求めよ．
(3)$p_{n+1}$を$r_n$を用いて表せ．
(4)$p_{n+3}$を$p_n$を用いて表せ．
(5)$p_{3n}$を$n$を用いて表せ．
(1)$p_1,\ p_2$をそれぞれ求めよ．
(2)$q_2,\ r_2$をそれぞれ求め，さらに$p_3$を求めよ．
(3)$p_{n+1}$を$r_n$を用いて表せ．
(4)$p_{n+3}$を$p_n$を用いて表せ．
(5)$p_{3n}$を$n$を用いて表せ．
国立 豊橋技術科学大学 2012年 第2問$xy$平面上の点とベクトルに関する以下の問いに答えよ．
(1)図のように$x$軸の正の部分と$30^\circ$の角をなす直線上に$n$個の点（$\mathrm{A}_1,\ \mathrm{A}_2,\ \cdots, \mathrm{A}_n$）を以下の規則で配置する．このときの$\mathrm{A}_n$の座標を$n$を用いて表せ．また$n \to \infty$の場合における$\mathrm{A}_n$の座標を求めよ．
\[ \text{（規則）} \quad |\overrightarrow{\mathrm{OA}_1}|=2,\quad \overrightarrow{\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{OA}_1},\quad \overrightarrow{\mathrm{A}_{n-1} \mathrm{A}_n}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{A}_{n-2} \mathrm{A}_{n-1}} \]
（図は省略）
(2)今度は$n$個の点を第一象限内に図のように反時計回りに配置する．各線分は隣り合う線分と直角をなす．このとき$n \to \infty$の場合における$\mathrm{A}_n$の座標を求めよ．ただし，各線分の長さの関係は以下の規則に従うものとする．
\[ \text{（規則）} \quad |\overrightarrow{\mathrm{OA}_1}|=2,\quad |\overrightarrow{\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{\mathrm{OA}_1}|,\quad |\overrightarrow{\mathrm{A}_{n-1} \mathrm{A}_n}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{\mathrm{A}_{n-2} \mathrm{A}_{n-1}}| \]
（図は省略）
(1)図のように$x$軸の正の部分と$30^\circ$の角をなす直線上に$n$個の点（$\mathrm{A}_1,\ \mathrm{A}_2,\ \cdots, \mathrm{A}_n$）を以下の規則で配置する．このときの$\mathrm{A}_n$の座標を$n$を用いて表せ．また$n \to \infty$の場合における$\mathrm{A}_n$の座標を求めよ．
\[ \text{（規則）} \quad |\overrightarrow{\mathrm{OA}_1}|=2,\quad \overrightarrow{\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{OA}_1},\quad \overrightarrow{\mathrm{A}_{n-1} \mathrm{A}_n}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{A}_{n-2} \mathrm{A}_{n-1}} \]
（図は省略）
(2)今度は$n$個の点を第一象限内に図のように反時計回りに配置する．各線分は隣り合う線分と直角をなす．このとき$n \to \infty$の場合における$\mathrm{A}_n$の座標を求めよ．ただし，各線分の長さの関係は以下の規則に従うものとする．
\[ \text{（規則）} \quad |\overrightarrow{\mathrm{OA}_1}|=2,\quad |\overrightarrow{\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{\mathrm{OA}_1}|,\quad |\overrightarrow{\mathrm{A}_{n-1} \mathrm{A}_n}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{\mathrm{A}_{n-2} \mathrm{A}_{n-1}}| \]
（図は省略）