\begin{mawarikomi}{32mm}{
（図は省略）
}
図のような$1$辺の長さ$6$の正方形$\mathrm{ABCD}$がある．点$\mathrm{P}$および点$\mathrm{Q}$は時刻$0$に$\mathrm{A}$および$\mathrm{B}$をそれぞれ出発し，正方形$\mathrm{ABCD}$の周上を反時計回りに毎秒$1$ずつ進む．また点$\mathrm{R}$は時刻$0$に$\mathrm{B}$を出発し，正方形$\mathrm{ABCD}$の周上を反時計回りに毎秒$3$ずつ進む．点$\mathrm{R}$が$\mathrm{A}$に達するまでに$\triangle \mathrm{PQR}$の面積が$11$になる時刻をすべて求めよ．
\end{mawarikomi}

以下の各問に答えなさい．

(1)次の関数のグラフを$x$軸方向に$\displaystyle -\frac{1}{3}$，$y$軸方向に$\displaystyle -\frac{1}{3}$だけ平行移動したグラフの方程式を求めよ．
\[ y=-3x^2+2x-1 \]
(2)関数$f(x)=x^2-12x+c$が$2 \leqq x \leqq 9$において最大値が$12$になるように，定数$c$の値を求めよ．
(3)縦横$13$本の線を持つ碁盤（$13$路盤）がある．各線によって構成される枠の大きさはすべて等しく，$1$辺が$1 \, \mathrm{cm}$である．ここで，$4$つの角を左上から反時計回りに$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$とした場合，辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CD}$上にそれぞれ$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$の場所に碁石を配置した．ただし，$\mathrm{AE}=x$，$\mathrm{BF}=2x$，$\mathrm{CG}=x+6 (0<x<6)$であるようにする．このとき，三角形$\mathrm{EFG}$の面積が最小になる場合の$x$の値と，その面積を求めよ．
（図は省略）

\begin{mawarikomi}{45mm}{
（図は省略）
}
図に示すように，ある円の周上に$4$つの円板$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$が置かれ，円の中心には円板$\mathrm{K}$が置かれている．当初$\mathrm{A}$には$\bullet$で示される小石が置かれている．この状態から，順次サイコロを振り以下の手順で小石を移動し小石の位置取りを繰り返す．

(i) 現在$\mathrm{K}$に小石がある場合は，出た目の数にかかわらず，新たな位置取りはそのまま$\mathrm{K}$とする．
(ii) 出た目の数が$1$または$2$の場合，小石を現在の場所から$\mathrm{K}$に移動する．
(iii) 出た目の数が$3$の場合，小石を現在の場所から反時計回り，すなわち，$\mathrm{A} \to \mathrm{B} \to \mathrm{C} \to \mathrm{D} \to \mathrm{A}$の向きで，隣接する円板に移動する．
\mon[$\tokeishi$] 出た目の数が$4$以上の場合，小石を現在の場所から時計回り，すなわち，$\mathrm{A} \to \mathrm{D} \to \mathrm{C} \to \mathrm{B} \to \mathrm{A}$の向きで，隣接する円板に移動する．

\end{mawarikomi}
次の問に答えなさい．

(1)$n$回目の位置取り後，小石が$\mathrm{K}$にある確率を$k_n$と表す．$k_n$を求めなさい．
(2)偶数回位置取りを行った場合，小石は$\mathrm{K}$になければ$\mathrm{A}$または$\mathrm{C}$にあることを示しなさい．
(3)$n$回目の位置取り後，小石が$\mathrm{A}$にある確率を$a_n$と表す．$a_2$を求めなさい．また，$a_{2n+2}$を$a_{2n}$および$k_{2n}$を用いて表しなさい．
(4)$a_n$を求めなさい．

$xy$平面上で原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C$と点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$を考える．また，円$C$上で点$\mathrm{A}$と異なる点を$\mathrm{P}(\cos 2\theta,\ \sin 2\theta)$とおく．ただし，$\theta$は$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}$を満たす．線分$\mathrm{AP}$の中点を$\mathrm{M}$とし，線分$\mathrm{AP}$の垂直$2$等分線と円$C$の交点を各々$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．ただし，$2$点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$は，円$C$上に反時計回りに$\mathrm{ARPQ}$の順に並ぶようにとる．以下の問題に答えよ．

(1)中点$\mathrm{M}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)$2$点$\mathrm{Q},\ \mathrm{R}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(3)線分$\mathrm{QR}$の長さを求めよ．また，線分$\mathrm{AP}$の長さを$\theta$を用いて表せ．
(4)四角形$\mathrm{ARPQ}$の面積を$S$とおく．面積$S$を$\theta$を用いて表せ．また，面積$S$が最大となるとき，$\theta$の値と面積$S$を求めよ．
(5)$\triangle \mathrm{APQ}$と$\triangle \mathrm{ARP}$の面積を$\theta$を用いて表せ．

正六角形の頂点を反時計回りに$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$，$\mathrm{P}_4$，$\mathrm{P}_5$，$\mathrm{P}_6$とする．$1$個のさいころを$2$回投げて，出た目を順に$j,\ k$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_j$，$\mathrm{P}_k$が異なる$3$点となる確率を求めよ．
(2)$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_j$，$\mathrm{P}_k$が正三角形の$3$頂点となる確率を求めよ．
(3)$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_j$，$\mathrm{P}_k$が直角三角形の$3$頂点となる確率を求めよ．

$1$辺の長さが$1$の正六角形において，頂点を反時計回りに$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$，$\mathrm{P}_4$，$\mathrm{P}_5$，$\mathrm{P}_6$とする．$1$個のさいころを$2$回投げて，出た目を順に$j,\ k$とする．$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_j$，$\mathrm{P}_k$が異なる$3$点となるとき，この$3$点を頂点とする三角形の面積を$S$とする．$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_j$，$\mathrm{P}_k$が異なる$3$点とならないときは，$S=0$と定める．次の問いに答えよ．

(1)$S>0$となる確率を求めよ．
(2)$S$が最大となる確率を求めよ．
(3)$S$の期待値を求めよ．

下図のような$1$辺の長さ$10 \, \mathrm{cm}$の正方形$\mathrm{ABCD}$がある．点$\mathrm{P}$および点$\mathrm{Q}$は時刻$0$に$\mathrm{A}$および$\mathrm{B}$をそれぞれ出発し，正方形$\mathrm{ABCD}$の周上を反時計回りに毎秒$1 \, \mathrm{cm}$進む．また，点$\mathrm{R}$は時刻$0$に$\mathrm{B}$を出発し，正方形$\mathrm{ABCD}$の周上を反時計回りに毎秒$2 \, \mathrm{cm}$進む．点$\mathrm{R}$が$\mathrm{A}$に達するまでに$\triangle \mathrm{PQR}$の面積が$35 \, \mathrm{cm}^2$となる時刻をすべて求めよ．

\begin{zahyou*}%
[ul=10mm,Ueyohaku=1em,
Hidariyohaku=1em,%
Sitayohaku=1em]%
(0,3)(0,3)
\tenretu{A(0,3)nw;B(0,0)sw;%
C(3,0)se;D(3,3)ne}
\Takakkei{\A\B\C\D}
\end{zahyou*}

正三角形$\mathrm{ABC}$があり，点$\mathrm{X}$は正三角形$\mathrm{ABC}$の頂点を移動する点である．サイコロを投げて$5$の目が出たとき点$\mathrm{X}$は時計回りに隣の頂点に移動し，$6$の目が出たとき点$\mathrm{X}$は反時計回りに隣の頂点に移動し，それ以外の目が出たとき点$\mathrm{X}$は移動しない．はじめに点$\mathrm{X}$は頂点$\mathrm{A}$にあるとし，サイコロを$n$回投げたとき点$\mathrm{X}$が頂点$\mathrm{A}$にある確率を$P_n$とする．

(1)$P_1,\ P_2,\ P_3$を求めなさい．
(2)$P_{n+1}$を$P_n$を用いて表しなさい．
(3)$P_n$を求めなさい．

座標平面において，動点$\mathrm{P}(x,\ y)$は単位円$C$上の点$\mathrm{Q}(1,\ 0)$を出発し，$C$上を反時計回りに$1$周する．弧$\mathrm{PQ}$の長さは，出発してからの時間に比例する．$\mathrm{P}$が$1$周するのに$T$秒かかる．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)出発してから$t$秒後（$0 \leqq t \leqq T$）の点$\mathrm{P}(x,\ y)$について$x,\ y$を$t$と$T$を用いて表せ．
(2)出発してから$t$秒後（$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{T}{4}$）の点$\mathrm{P}(x,\ y)$に対して$z=2x^2+xy+y^2$を考える．$z$の最大値と最小値を求めよ．また最大値，最小値をとるのは出発してから何秒後か$T$を用いて表せ．

点$\mathrm{P}_0$を$xy$平面の原点とし，点$\mathrm{P}_1$の座標を$(1,\ 0)$とする．点$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$，$\mathrm{P}_4$，$\cdots$を次のように定める．$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，点$\mathrm{P}_{n-1}$を中心として点$\mathrm{P}_n$を反時計回りに$\theta (0<\theta<\pi)$だけ回転させた点を$\mathrm{Q}_n$とし，点$\mathrm{P}_{n+1}$を$\overrightarrow{\mathrm{P}_{n-1} \mathrm{Q}_n}=\overrightarrow{\mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1}}$となるようにとる．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$k=0,\ 1,\ 2,\ \cdots$に対して，

$\displaystyle \sin \frac{\theta}{2} \cos k \theta=\frac{1}{2} \left\{ -\sin \left( \frac{2k-1}{2} \theta \right)+\sin \left( \frac{2k+1}{2} \theta \right) \right\}$

$\displaystyle \sin \frac{\theta}{2} \sin k \theta=\frac{1}{2} \left\{ \cos \left( \frac{2k-1}{2} \theta \right)-\cos \left( \frac{2k+1}{2} \theta \right) \right\}$

が成り立つことを示せ．
(2)$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，

$\displaystyle 1+\cos \theta+\cdots +\cos n\theta=\frac{1}{2 \sin \displaystyle\frac{\theta}{2}} \left\{ \sin \left( \displaystyle\frac{2n+1}{2} \theta \right)+\sin \frac{\theta}{2} \right\}$

$\displaystyle \sin \theta+\cdots +\sin n\theta=\frac{1}{2 \sin \displaystyle\frac{\theta}{2}} \left\{ -\cos \left( \displaystyle\frac{2n+1}{2} \theta \right)+\cos \frac{\theta}{2} \right\}$

が成り立つことを示せ．
(3)点$\mathrm{P}_n$の座標を$(x_n,\ y_n)$とおくとき，$x_n$および$y_n$を求めよ．
(4)すべての点$\mathrm{P}_n (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$を通る円の方程式を求めよ．