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岐阜薬科大学 公立 岐阜薬科大学 2015年 第1問
$2$点$\mathrm{A}(x,\ y)$,$\mathrm{B}(X,\ Y)$が原点$\mathrm{O}$を通る同一直線上にある.$\mathrm{OA} \cdot \mathrm{OB}=4$を満たし,$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$は原点$\mathrm{O}$に対し反対側にある.次の問いに答えよ.

(1)点$\mathrm{A}(x,\ y)$を$X$と$Y$を用いて表せ.
(2)点$\mathrm{A}$が直線$y=-2x-2$上を動くとき,

(i) 点$\mathrm{B}$の軌跡,
(ii) $\displaystyle\frac{\mathrm{OB}}{\mathrm{AB}}$が最大となる点$\mathrm{A}$および点$\mathrm{B}$の座標

を求めよ.
豊橋技術科学大学 国立 豊橋技術科学大学 2014年 第2問
$xy$平面上に$2$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$,$\mathrm{A}(4,\ 3)$を直径の両端とする円がある.図のようにこの円と$x$軸との原点以外の交点を$\mathrm{B}$,線分$\mathrm{OA}$に関して$\mathrm{B}$と反対側の円周上に$\angle \mathrm{COA}={45}^\circ$を満たす点$\mathrm{C}$をとり,線分$\mathrm{CA}$の延長線と$x$軸との交点を$\mathrm{D}$とする.以下の問いに答えよ.
(図は省略)

(1)$\triangle \mathrm{AOD}$の外心を$\mathrm{P}$として,$\angle \mathrm{OPD}$の大きさを求めよ.
(2)点$\mathrm{D}$の座標を求めよ.
(3)$\triangle \mathrm{AOD}$の外接円の方程式を求めよ.
(4)$\angle \mathrm{AOB}$の二等分線と線分$\mathrm{AD}$との交点を$\mathrm{E}$とし,$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を成分表示せよ.
青山学院大学 私立 青山学院大学 2014年 第2問
平面上に,$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\frac{\pi}{2}$,$\mathrm{OA}=2$,$\mathrm{OB}=3$であるような三角形$\mathrm{OAB}$がある.辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とする.三角形$\mathrm{ABP}$が正三角形になるように,直線$\mathrm{AB}$に関して点$\mathrm{O}$の反対側に点$\mathrm{P}$をとる.このとき,

(1)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OM}}=\frac{[$13$]}{[$14$]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[$15$]}{[$16$]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}$である.
(2)点$\mathrm{O}$から辺$\mathrm{AB}$に垂線を下ろし,辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{H}$とすると,
\[ \overrightarrow{\mathrm{OH}}=\frac{[$17$]}{[$18$][$19$]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[$20$]}{[$21$][$22$]} \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
である.
(3)$\displaystyle \mathrm{MP}=\frac{\sqrt{[$23$][$24$]}}{[$25$]}$で,$\overrightarrow{\mathrm{MP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$とが平行であることに注意すると,
\[ \overrightarrow{\mathrm{MP}}=\frac{[$26$] \sqrt{[$27$]}}{[$28$]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{\sqrt{[$29$]}}{[$30$]} \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
である.
東北学院大学 私立 東北学院大学 2012年 第1問
角$\mathrm{C}$を直角とする直角三角形$\mathrm{ABC}$がある.辺$\mathrm{AB}$上に$\mathrm{D}$,$\mathrm{H}$を次のようにとる.$\angle \mathrm{CHB}=90^\circ$とし,$\mathrm{D}$を$\mathrm{H}$に関し,$\mathrm{B}$と反対側に$\mathrm{DH}=2$とする.また,$\mathrm{AD}=2 \mathrm{CD}$とし,$\angle \mathrm{CDH}=60^\circ$とする.このとき,次の問いに答えよ.

(1)辺$\mathrm{CD}$の長さを求めよ.
(2)$\triangle \mathrm{BCD}$の面積を求めよ.
(3)$\sin A$の値を求めよ.
(4)$\triangle \mathrm{ADC}$の外接円の半径$R$を求めよ.
広島工業大学 私立 広島工業大学 2012年 第7問
$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の点$\mathrm{C}$における接線を$\ell$とする.$\ell$上に$\mathrm{C}$でない点$\mathrm{T}$を,直線$\mathrm{AC}$に関して$\mathrm{B}$と反対の側にとる.$\angle \mathrm{ACT}=60^\circ$,$\mathrm{AB}=2$,$\mathrm{BC}=3$とする.
(図は省略)

(1)辺$\mathrm{AC}$の長さと外接円の半径を求めよ.
(2)円弧$\mathrm{AC}$上に$\mathrm{CD}=1$となる点$\mathrm{D}$をとる.このとき,線分$\mathrm{AD}$の長さを求めよ.
(3)四角形$\mathrm{ABCD}$の面積を求めよ.
弘前大学 国立 弘前大学 2011年 第4問
細長い長方形の紙があり,短い方の辺の長さが$a$で長い方が$9a$であったとする.下図のように,この長方形の1つの角(かど)を反対側の長い方の辺に接するように折る.図に示した2つの三角形A,Bについて,次の問いに答えよ.

(1)三角形Aの面積の最大値を求めよ.
(2)三角形Bの面積の最小値を求めよ.

\setlength\unitlength{1truecm}
(図は省略)
福岡女子大学 公立 福岡女子大学 2011年 第4問
座標平面上で原点$\mathrm{O}$を中心に一定の角$\theta$で回転移動する$1$次変換を$f$とし,一定の正の数$r$で各点$(x,\ y)$を点$(rx,\ ry)$に移す相似変換を$g$とする.また,$g$と$f$の合成変換$g \circ f$を表す行列を$K(r,\ \theta)$とする.原点$\mathrm{O}$と異なる座標平面上の点$\mathrm{P}(a,\ b)$に対して,点$\mathrm{Q}(c,\ d)$を次で定める:
\[ \left( \begin{array}{c}
c \\
d
\end{array} \right)=K(r,\ \theta) \left( \begin{array}{c}
a \\
b
\end{array} \right) \]
次の問に答えなさい.

(1)$K(r,\ \theta)$を求めなさい.$r$を$a,\ b,\ c,\ d$を用いて表しなさい.
(2)$0^\circ<\theta<180^\circ$ならば,$ad-bc>0$であることを示しなさい.
(3)$0^\circ<\theta<180^\circ$ならば,$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積が$\displaystyle \frac{1}{2}(ad-bc)$に等しくなる.このことを用いて,図のように,点$\mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_2$,$\mathrm{P}_3$を時計の針が回る方向と反対回りに順番に配置した三角形$\triangle \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3$の面積が
\[ \frac{1}{2} \sum_{i=1}^3 (x_i-x_{i+1})(y_i+y_{i+1}) \]
に等しいことを示しなさい.ただし,$x_4=x_1$,$y_4=y_1$とする.
(図は省略)
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