「反例」について
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公立 鳥取環境大学 2013年 第5問以下の問に答えよ．
(1)次の$(ⅰ)$～$(ⅲ)$の文章が命題であれば真偽を答えよ．また真の場合は理由を示し，偽の場合は反例を示せ．命題でない場合は「命題でない」と答えよ．
(i) $x$が整数ならば$x^2 \geqq 0$である．
(ii) $n$が$2$以上の整数であるとき$2^n-1$はすべて素数である．
(iii) 数学は美しい．
(2)次の$(ⅰ)$～$\tokeigo$の$[ ]$の中に，必要条件であるが十分条件でない，十分条件であるが必要条件でない，必要十分条件である，必要条件でも十分条件でもない，のいずれが当てはまるか答えよ．
(i) $x$が偶数であることは，$x$が整数であるための$[ ]$．
(ii) 三角形$\mathrm{ABC}$のどれかひとつの辺の長さの$2$乗がのこりの$2$辺の長さの$2$乗の和に等しいことは，三角形$\mathrm{ABC}$が直角三角形であるための$[ ]$．
(iii) $x,\ y$がともに有理数のとき，$y>2x^2$であることは，$y>x^2-2x-2$であるための$[ ]$．
\mon[$\tokeishi$] 四角形$\mathrm{ABCD}$の内角が$4$つとも$90^\circ$であることは，四角形$\mathrm{ABCD}$が正方形であるための$[ ]$．
\mon[$\tokeigo$] 四角形$\mathrm{ABCD}$の辺の長さがすべて等しいことは，四角形$\mathrm{ABCD}$が長方形であるための$[ ]$．
(3)次の命題(ア)，(イ)の逆，裏，対偶をそれぞれ書け．また，元の命題，逆，裏，対偶の真偽をそれぞれ答えよ．
\mon[(ア)] $\sqrt{n}$が有理数ならば$n$は有理数である．
\mon[(イ)] $n$を整数とする．$n$が奇数ならば$n^2$は奇数である．
(1)次の$(ⅰ)$～$(ⅲ)$の文章が命題であれば真偽を答えよ．また真の場合は理由を示し，偽の場合は反例を示せ．命題でない場合は「命題でない」と答えよ．
(i) $x$が整数ならば$x^2 \geqq 0$である．
(ii) $n$が$2$以上の整数であるとき$2^n-1$はすべて素数である．
(iii) 数学は美しい．
(2)次の$(ⅰ)$～$\tokeigo$の$[ ]$の中に，必要条件であるが十分条件でない，十分条件であるが必要条件でない，必要十分条件である，必要条件でも十分条件でもない，のいずれが当てはまるか答えよ．
(i) $x$が偶数であることは，$x$が整数であるための$[ ]$．
(ii) 三角形$\mathrm{ABC}$のどれかひとつの辺の長さの$2$乗がのこりの$2$辺の長さの$2$乗の和に等しいことは，三角形$\mathrm{ABC}$が直角三角形であるための$[ ]$．
(iii) $x,\ y$がともに有理数のとき，$y>2x^2$であることは，$y>x^2-2x-2$であるための$[ ]$．
\mon[$\tokeishi$] 四角形$\mathrm{ABCD}$の内角が$4$つとも$90^\circ$であることは，四角形$\mathrm{ABCD}$が正方形であるための$[ ]$．
\mon[$\tokeigo$] 四角形$\mathrm{ABCD}$の辺の長さがすべて等しいことは，四角形$\mathrm{ABCD}$が長方形であるための$[ ]$．
(3)次の命題(ア)，(イ)の逆，裏，対偶をそれぞれ書け．また，元の命題，逆，裏，対偶の真偽をそれぞれ答えよ．
\mon[(ア)] $\sqrt{n}$が有理数ならば$n$は有理数である．
\mon[(イ)] $n$を整数とする．$n$が奇数ならば$n^2$は奇数である．
国立 京都大学 2012年 第4問次の命題(p)，(q)のそれぞれについて，正しいかどうか答えよ．正しければ証明し，正しくなければ反例を挙げて正しくないことを説明せよ．
\mon[(p)] 正$n$角形の頂点から$3$点を選んで内角の$1$つが$60^\circ$である三角形を作ることができるならば，$n$は$3$の倍数である．
\mon[(q)] $\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime \mathrm{C}^\prime$において，$\mathrm{AB}=\mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime$，$\mathrm{BC}=\mathrm{B}^\prime \mathrm{C}^\prime$，$\angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{A}^\prime$ならば，これら$2$つの三角形は合同である．
\mon[(p)] 正$n$角形の頂点から$3$点を選んで内角の$1$つが$60^\circ$である三角形を作ることができるならば，$n$は$3$の倍数である．
\mon[(q)] $\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime \mathrm{C}^\prime$において，$\mathrm{AB}=\mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime$，$\mathrm{BC}=\mathrm{B}^\prime \mathrm{C}^\prime$，$\angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{A}^\prime$ならば，これら$2$つの三角形は合同である．
国立 京都大学 2012年 第5問次の命題(p)，(q)のそれぞれについて，正しいかどうか答えよ．正しければ証明し，正しくなければ反例を挙げて正しくないことを説明せよ．
\mon[(p)] 正$n$角形の頂点から$3$点を選んで内角の$1$コが$60^\circ$である三角形を作ることができるならば，$n$は$3$の倍数である．
\mon[(q)] $\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{ABD}$において，$\mathrm{AC}<\mathrm{AD}$かつ$\mathrm{BC}<\mathrm{BD}$ならば．$\angle \mathrm{C} > \angle \mathrm{D}$である．
\mon[(p)] 正$n$角形の頂点から$3$点を選んで内角の$1$コが$60^\circ$である三角形を作ることができるならば，$n$は$3$の倍数である．
\mon[(q)] $\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{ABD}$において，$\mathrm{AC}<\mathrm{AD}$かつ$\mathrm{BC}<\mathrm{BD}$ならば．$\angle \mathrm{C} > \angle \mathrm{D}$である．
国立 茨城大学 2012年 第2問以下の各問に答えよ．
(1)$2x^2y+5xy^2-6x^2+2y^3-6y^2-15xy$を因数分解せよ．
(2)$p,\ q$を実数の定数とする．3次方程式$x^3+px^2+qx+6=0$の1つの解が$\displaystyle x=\frac{2}{1-i}$であるとき，$p,\ q$の値と他の解を求めよ．ただし，$i$は虚数単位である．
(3)実数$a,\ b$に関する命題「$a+b<0$ならば，$a<0$または$b<0$」を命題$\mathrm{P}$とする．
(i) 命題$\mathrm{P}$の真偽を答えよ．また，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．
(ii) 命題$\mathrm{P}$の逆を命題$\mathrm{Q}$とする．命題$\mathrm{Q}$の真偽を答えよ．また，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．
(1)$2x^2y+5xy^2-6x^2+2y^3-6y^2-15xy$を因数分解せよ．
(2)$p,\ q$を実数の定数とする．3次方程式$x^3+px^2+qx+6=0$の1つの解が$\displaystyle x=\frac{2}{1-i}$であるとき，$p,\ q$の値と他の解を求めよ．ただし，$i$は虚数単位である．
(3)実数$a,\ b$に関する命題「$a+b<0$ならば，$a<0$または$b<0$」を命題$\mathrm{P}$とする．
(i) 命題$\mathrm{P}$の真偽を答えよ．また，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．
(ii) 命題$\mathrm{P}$の逆を命題$\mathrm{Q}$とする．命題$\mathrm{Q}$の真偽を答えよ．また，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．
私立 大阪薬科大学 2012年 第1問次の問いに答えなさい．
(1)自然数$m,\ n$に対し，命題「$m^2+n^2$が偶数ならば，$m+n$は偶数である」が真ならば「真」と，偽ならば反例を$[$\mathrm{A]$}$に記入しなさい．
(2)$2^x=5^y=100$のとき，$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=[$\mathrm{B]$}$となる．
(3)$xy$座標平面において，円$x^2+y^2=3$と直線$x+y=1$の$2$つの交点を結ぶ線分の長さは，$[$\mathrm{C]$}$である．
(4)数直線上を動く点$\mathrm{P}$が原点$\mathrm{O}$にある．表と裏が等しい確率で出るコインを投げ，表が出ると正方向に$1$だけ進み，裏が出ると負方向に$1$だけ進むことを繰り返す．コインを$10$回投げるとき，$\mathrm{P}$の座標が$-6$となる確率は，$[$\mathrm{D]$}$である．
(5)方程式$x^3-3x^2-9x-a=0$が異なる$3$つの実数解を持つとき，定数$a$が満たさなければならない条件を$[あ]$で求めなさい．
(1)自然数$m,\ n$に対し，命題「$m^2+n^2$が偶数ならば，$m+n$は偶数である」が真ならば「真」と，偽ならば反例を$[$\mathrm{A]$}$に記入しなさい．
(2)$2^x=5^y=100$のとき，$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=[$\mathrm{B]$}$となる．
(3)$xy$座標平面において，円$x^2+y^2=3$と直線$x+y=1$の$2$つの交点を結ぶ線分の長さは，$[$\mathrm{C]$}$である．
(4)数直線上を動く点$\mathrm{P}$が原点$\mathrm{O}$にある．表と裏が等しい確率で出るコインを投げ，表が出ると正方向に$1$だけ進み，裏が出ると負方向に$1$だけ進むことを繰り返す．コインを$10$回投げるとき，$\mathrm{P}$の座標が$-6$となる確率は，$[$\mathrm{D]$}$である．
(5)方程式$x^3-3x^2-9x-a=0$が異なる$3$つの実数解を持つとき，定数$a$が満たさなければならない条件を$[あ]$で求めなさい．
公立 兵庫県立大学 2012年 第1問次の問に答えなさい．
(1)実数$x,\ y$に関する以下の命題で正しいものは証明し，誤っているものは反例をあげなさい．
(i) $x$と$y$が共に無理数であることは$x+y$が無理数であることの十分条件である．
(ii) $x$と$y$のいずれかが無理数であることは$x+y$が無理数であることの必要条件である．
(iii) $x$が有理数で$y$が無理数であることは$x+y$が無理数であることの十分条件である．
(2)数列$\{a_n\}$を$a_1=1,\ a_2=1,\ a_n=a_{n-2}+a_{n-1} (n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots)$で定義する．このとき，すべての正の整数$n$に対して次の不等式が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明しなさい．
\[ a_n< \left( \frac{7}{4} \right)^n \]
(1)実数$x,\ y$に関する以下の命題で正しいものは証明し，誤っているものは反例をあげなさい．
(i) $x$と$y$が共に無理数であることは$x+y$が無理数であることの十分条件である．
(ii) $x$と$y$のいずれかが無理数であることは$x+y$が無理数であることの必要条件である．
(iii) $x$が有理数で$y$が無理数であることは$x+y$が無理数であることの十分条件である．
(2)数列$\{a_n\}$を$a_1=1,\ a_2=1,\ a_n=a_{n-2}+a_{n-1} (n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots)$で定義する．このとき，すべての正の整数$n$に対して次の不等式が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明しなさい．
\[ a_n< \left( \frac{7}{4} \right)^n \]
公立 高崎経済大学 2012年 第1問以下の各問に答えよ．
(1)$3$次関数$f(x)=ax^3+bx^2-6$がある．$f^{\prime}(1)=7,\ f^{\prime}(-2)=4$となるように定数$a,\ b$の値を定めよ．
(2)次の計算をせよ．ただし，$i^2=-1$である．$\displaystyle \frac{2-i}{1+2i}$
(3)$(2x^2-1)^6$を展開したとき，$x^4$の項の係数を求めよ．
(4)$20$本のくじがあり，当たりくじの賞金と本数は$1$等$1000$円が$1$本，$2$等$500$円が$2$本，$3$等$300$円が$3$本である．ただし，はずれくじの賞金は$0$円である．いま，この中から$1$本のくじを引くときの賞金の期待値を求めよ．
(5)$x$は実数とする．命題「$x>0 \Longrightarrow |-x|>|x-1|$」の真偽を答えよ．また，偽であるときは反例をあげよ．
(6)初項$1$，公比$9$の等比数列$\{a_n\} \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$を考える．不等式
\[ a_1+a_2+\cdots +a_k \leqq 2^{20}-2^{-3} \]
を満たす最大の整数$k$の値を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771$とする．
(7)$\sqrt[12]{20000},\ \sqrt[3]{6+4\sqrt{3}},\ \sqrt[2]{4+\sqrt{2}}$の$3$数の大小を比較せよ．
(8)三角形$\mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{OA}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{C}$，辺$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{D}$，$2$直線$\mathrm{AD}$，$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$として，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(1)$3$次関数$f(x)=ax^3+bx^2-6$がある．$f^{\prime}(1)=7,\ f^{\prime}(-2)=4$となるように定数$a,\ b$の値を定めよ．
(2)次の計算をせよ．ただし，$i^2=-1$である．$\displaystyle \frac{2-i}{1+2i}$
(3)$(2x^2-1)^6$を展開したとき，$x^4$の項の係数を求めよ．
(4)$20$本のくじがあり，当たりくじの賞金と本数は$1$等$1000$円が$1$本，$2$等$500$円が$2$本，$3$等$300$円が$3$本である．ただし，はずれくじの賞金は$0$円である．いま，この中から$1$本のくじを引くときの賞金の期待値を求めよ．
(5)$x$は実数とする．命題「$x>0 \Longrightarrow |-x|>|x-1|$」の真偽を答えよ．また，偽であるときは反例をあげよ．
(6)初項$1$，公比$9$の等比数列$\{a_n\} \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$を考える．不等式
\[ a_1+a_2+\cdots +a_k \leqq 2^{20}-2^{-3} \]
を満たす最大の整数$k$の値を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771$とする．
(7)$\sqrt[12]{20000},\ \sqrt[3]{6+4\sqrt{3}},\ \sqrt[2]{4+\sqrt{2}}$の$3$数の大小を比較せよ．
(8)三角形$\mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{OA}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{C}$，辺$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{D}$，$2$直線$\mathrm{AD}$，$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$として，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
国立 宮崎大学 2011年 第1問次の各問に答えよ．
(1)次の各命題について，真であれば証明し，偽であれば反例を1つあげよ．
\mon[(A)] 実数$a$について，$\sqrt{a^2}$と$a$は等しい．
\mon[(B)] 正の実数$b$と$c$について，$\sqrt[3]{b+c}$と$\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}$は等しくない．
\mon[(C)] 実数$x$について，$|2x-1|=x$ならば$x=1$である．
(2)$\alpha=(\sqrt{3}+1)^x,\ \beta=(\sqrt{3}-1)^x$とするとき，$\alpha\beta=7$となるような$x$の値を求めよ．
(1)次の各命題について，真であれば証明し，偽であれば反例を1つあげよ．
\mon[(A)] 実数$a$について，$\sqrt{a^2}$と$a$は等しい．
\mon[(B)] 正の実数$b$と$c$について，$\sqrt[3]{b+c}$と$\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}$は等しくない．
\mon[(C)] 実数$x$について，$|2x-1|=x$ならば$x=1$である．
(2)$\alpha=(\sqrt{3}+1)^x,\ \beta=(\sqrt{3}-1)^x$とするとき，$\alpha\beta=7$となるような$x$の値を求めよ．
私立 大同大学 2011年 第8問次の命題$①$～$⑥$を考える．ただし$a,\ b,\ x$は実数とする．
$① a>b$ならば$a-b>1$
$② a>b$ならば$b-a<1$
$③ a^2=b^2$ならば$a=b$
$④ x>3$ならば$x^2-x-6>0$
$⑤ x^2-x-6>0$ならば$x>3$
$⑥ $鈍角三角形の最小の角は${45}^\circ$より小さい
(1)正しい命題の番号を書け．
(2)正しくない命題のそれぞれに対し，反例をあげよ．
$① a>b$ならば$a-b>1$
$② a>b$ならば$b-a<1$
$③ a^2=b^2$ならば$a=b$
$④ x>3$ならば$x^2-x-6>0$
$⑤ x^2-x-6>0$ならば$x>3$
$⑥ $鈍角三角形の最小の角は${45}^\circ$より小さい
(1)正しい命題の番号を書け．
(2)正しくない命題のそれぞれに対し，反例をあげよ．
公立 公立はこだて未来大学 2011年 第1問$x,\ y$は実数とする．命題「$3x^2+y^2+4xy \neq 0$ならば$x+y \neq 0$である」について，以下の問いに答えよ．
(1)命題の逆，裏，対偶をそれぞれ述べよ．
(2)命題を証明せよ．
(3)命題の裏の反例を$1$つあげよ．
(1)命題の逆，裏，対偶をそれぞれ述べよ．
(2)命題を証明せよ．
(3)命題の裏の反例を$1$つあげよ．