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三重大学 国立 三重大学 2016年 第3問
以下の$a,\ b,\ c$はいずれも正の実数とする.

(1)「$ab$が有理数ならば,${(a+b)}^2$は有理数である」という主張が正しければ証明し,誤りならば反例を与えよ.
(2)$ab,\ ac,\ bc$が有理数ならば,$a^2$は有理数であることを示し,さらに${(a+b+c)}^2$は有理数であることを示せ.
(3)$ab,\ ac,\ bc$が有理数で,さらに${(a+b+c)}^3$が有理数となるならば,$a,\ b,\ c$はそれぞれ有理数であることを示せ.
高崎経済大学 公立 高崎経済大学 2016年 第3問
次の各問に答えよ.なお,整数$a,\ b,\ c$について,$a=bc$と表されるとき,$a$は$b$の倍数であるという.

(1)$x$は実数とする.不等式$x^4-x^2-20<0$を解け.
(2)$m$は整数とする.次の命題の真偽を調べよ.また,真である場合には証明し,偽である場合には反例をあげよ.

$m$は奇数$\Longrightarrow m^4-m^2-20$は$4$の倍数

(3)$m$は整数とする.次の命題の真偽を調べよ.また,真である場合には証明し,偽である場合には反例をあげよ.

$m^4-m^2-20$は$4$の倍数$\Longrightarrow m$は奇数
センター試験 問題集 センター試験 2015年 第2問
$\kagiichi$ \ 条件$p_1,\ p_2,\ q_1,\ q_2$の否定をそれぞれ$\overline{p_1},\ \overline{p_2},\ \overline{q_1},\ \overline{q_2}$と書く.

(1)次の$[ア]$に当てはまるものを,下の$\nagamarurei$~$\nagamarusan$のうちから一つ選べ.

命題「($p_1$かつ$p_2$) $\Longrightarrow$ ($q_1$かつ$q_2$)」の対偶は$[ア]$である.

$\nagamarurei$ ($\overline{p_1}$または$\overline{p_2}$) $\Longrightarrow$ ($\overline{q_1}$または$\overline{q_2}$)
$\nagamaruichi$ ($\overline{q_1}$または$\overline{q_2}$) $\Longrightarrow$ ($\overline{p_1}$または$\overline{p_2}$)
$\nagamaruni$ ($\overline{q_1}$かつ$\overline{q_2}$) $\Longrightarrow$ ($\overline{p_1}$かつ$\overline{p_2}$)
$\nagamarusan$ ($\overline{p_1}$かつ$\overline{p_2}$) $\Longrightarrow$ ($\overline{q_1}$かつ$\overline{q_2}$)
(2)自然数$n$に対する条件$p_1,\ p_2,\ q_1,\ q_2$を次のように定める.
\[\begin{array}{ll}
p_1:n \text{は素数である} & p_2:n+2 \text{は素数である} \\
q_1:n+1 \text{は} 5 \text{の倍数である} & q_2:n+1 \text{は}6 \text{の倍数である}
\end{array} \]
$30$以下の自然数$n$のなかで$[イ]$と$[ウエ]$は
命題「($p_1$かつ$p_2$) $\Longrightarrow$ ($\overline{q_1}$かつ$q_2$)」
の反例となる.
\mon[$\kagini$] $\triangle \mathrm{ABC}$において,$\mathrm{AB}=3$,$\mathrm{BC}=5$,$\angle \mathrm{ABC}={120}^\circ$とする.

このとき,$\mathrm{AC}=[オ]$,$\displaystyle \sin \angle \mathrm{ABC}=\frac{\sqrt{[カ]}}{[キ]}$であり,
$\displaystyle \sin \angle \mathrm{BCA}=\frac{[ク] \sqrt{[ケ]}}{[コサ]}$である.

直線$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{D}$を,$\mathrm{AD}=3 \sqrt{3}$かつ$\angle \mathrm{ADC}$が鋭角,となるようにとる.点$\mathrm{P}$を線分$\mathrm{BD}$上の点とし,$\triangle \mathrm{APC}$の外接円の半径を$R$とすると,$R$のとり得る値の範囲は$\displaystyle \frac{[シ]}{[ス]} \leqq R \leqq [セ]$である.
東京大学 国立 東京大学 2015年 第1問
以下の命題$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$それぞれに対し,その真偽を述べよ.また,真ならば証明を与え,偽ならば反例を与えよ.

命題$\mathrm{A}$ \quad $n$が正の整数ならば,$\displaystyle \frac{n^3}{26}+100 \geqq n^2$が成り立つ.
命題$\mathrm{B}$ \quad 整数$n,\ m,\ \ell$が$5n+5m+3 \ell=1$をみたすならば,$10nm+3m \ell+3n \ell<0$が成り立つ.
広島女学院大学 私立 広島女学院大学 2015年 第4問
命題「$x+y \geqq 3 \Longrightarrow x \geqq 1 \text{または} y \geqq 2$」について,次の問いに答えよ.ただし,$x,\ y$は実数とする.

(1)命題の真偽を例にならい述べよ.偽の場合には反例をあげよ.
(2)命題の逆,裏,対偶を述べ,それらの真偽も述べよ.$(1)$と同様に,偽の場合には反例をあげよ.
\mon[(例)] 命題:「$-1<x<2 \Longrightarrow x<1$」,真偽:真
命題:「$x<1 \Longrightarrow -1<x<2$」,真偽:偽(反例:$x=-1$)
大阪大学 国立 大阪大学 2014年 第2問
次の問いに答えよ.

(1)$\cos x+\cos y \neq 0$を満たすすべての実数$x,\ y$に対して等式
\[ \tan \frac{x+y}{2}=\frac{\sin x+\sin y}{\cos x+\cos y} \]
が成り立つことを証明せよ.
(2)$\cos x+\cos y+\cos z \neq 0$を満たすすべての実数$x,\ y,\ z$に対して等式
\[ \tan \frac{x+y+z}{3}=\frac{\sin x+\sin y+\sin z}{\cos x+\cos y+\cos z} \]
は成り立つか.成り立つときは証明し,成り立たないときは反例を挙げよ.
鹿児島大学 国立 鹿児島大学 2014年 第1問
次の各問いに答えよ.

(1)三角形$\mathrm{ABC}$において辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{D}$を,辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{E}$をとり,線分$\mathrm{BE}$と線分$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{F}$とする.点$\mathrm{A}$,$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$,$\mathrm{F}$が同一円周上にあり,さらに角のあいだに
\[ \angle \mathrm{AEB}=2 \angle \mathrm{ABE}=4 \angle \mathrm{ACD} \]
という関係が成り立つとき,$\angle \mathrm{BAC}$の値を求めよ.
(2)$4$個のさいころを同時に投げるとき,$3$の倍数の目のみが出る確率を求めよ.
(3)正の実数$x,\ y$に関する次の各命題の真偽を述べよ.また,真ならば証明し,偽ならば反例をあげよ.

(i) $x$が無理数かつ$y$が有理数ならば,その和$x+y$は無理数である.
(ii) $x$が無理数かつ$y$が無理数ならば,その和$x+y$は無理数である.
鹿児島大学 国立 鹿児島大学 2014年 第1問
次の各問いに答えよ.

(1)三角形$\mathrm{ABC}$において辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{D}$を,辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{E}$をとり,線分$\mathrm{BE}$と線分$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{F}$とする.点$\mathrm{A}$,$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$,$\mathrm{F}$が同一円周上にあり,さらに角のあいだに
\[ \angle \mathrm{AEB}=2 \angle \mathrm{ABE}=4 \angle \mathrm{ACD} \]
という関係が成り立つとき,$\angle \mathrm{BAC}$の値を求めよ.
(2)$4$個のさいころを同時に投げるとき,$3$の倍数の目のみが出る確率を求めよ.
(3)正の実数$x,\ y$に関する次の各命題の真偽を述べよ.また,真ならば証明し,偽ならば反例をあげよ.

(i) $x$が無理数かつ$y$が有理数ならば,その和$x+y$は無理数である.
(ii) $x$が無理数かつ$y$が無理数ならば,その和$x+y$は無理数である.
鹿児島大学 国立 鹿児島大学 2014年 第1問
次の各問いに答えよ.

(1)三角形$\mathrm{ABC}$において辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{D}$を,辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{E}$をとり,線分$\mathrm{BE}$と線分$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{F}$とする.点$\mathrm{A}$,$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$,$\mathrm{F}$が同一円周上にあり,さらに角のあいだに
\[ \angle \mathrm{AEB}=2 \angle \mathrm{ABE}=4 \angle \mathrm{ACD} \]
という関係が成り立つとき,$\angle \mathrm{BAC}$の値を求めよ.
(2)$4$個のさいころを同時に投げるとき,$3$の倍数の目のみが出る確率を求めよ.
(3)正の実数$x,\ y$に関する次の各命題の真偽を述べよ.また,真ならば証明し,偽ならば反例をあげよ.

(i) $x$が無理数かつ$y$が有理数ならば,その和$x+y$は無理数である.
(ii) $x$が無理数かつ$y$が無理数ならば,その和$x+y$は無理数である.
鹿児島大学 国立 鹿児島大学 2014年 第5問
次の各問いに答えよ.

(1)座標平面上での原点を中心とする${150}^\circ$の回転移動を表す行列を$P$とする.点$(x,\ y)$が$P$の表す移動によって,点$(2,\ 4)$に移ったとする.このとき,点$(x,\ y)$を求めよ.
(2)$(1)$で与えられた行列$P$を考える.$P^n=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$を満たす最小の自然数$n$を求めよ.
(3)以下の各命題の反例をあげよ.また,反例になっていることを示せ.ただし,$X,\ Y$は$2$次の正方行列とする.

(i) $XY=YX$が成立する.
(ii) $XY=O$ならば,$X=O$または$Y=O$である.ただし,$O$は$2$次の零行列を表す.
(iii) $A$を逆行列$A^{-1}$をもつ$2$次の正方行列とする.このとき,$AX=Y$ならば,$X=YA^{-1}$である.
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