「双曲線」について
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国立 和歌山大学 2010年 第5問双曲線$x^2-y^2=1$の$x>0$の部分を$C$とする．$a$を正の定数とし，点P$\displaystyle (0,\ \frac{2}{a})$に最も近い$C$上の点をQとする．また，点R$(0,\ -a)$を通る直線が点Sで$C$に接している．このとき，次の問いに答えよ．
(1)点Qの座標および直線PQの傾きを$a$を用いて表せ．
(2)点Sの座標および直線RSの傾きを$a$を用いて表せ．
(3)3点P，Q，Rを通る円の直径を$a$を用いて表せ．
(1)点Qの座標および直線PQの傾きを$a$を用いて表せ．
(2)点Sの座標および直線RSの傾きを$a$を用いて表せ．
(3)3点P，Q，Rを通る円の直径を$a$を用いて表せ．
国立 山口大学 2010年 第3問$A,\ A^\prime$をそれぞれ座標平面上の点$(\alpha \cos \theta,\ \alpha \sin \theta)$，$(-\alpha \cos \theta,\ -\alpha \sin \theta)$とし，$f$を行列
\[ \biggl( \begin{array}{cc}
r \cos \theta & -r \sin \theta \\
r \sin \theta & r \cos \theta
\end{array} \biggr) \]
の表す1次変換とする．$\displaystyle \alpha= \left( \frac{45}{4} \right)^{\frac{1}{6}},\ r=\left( \frac{10}{3} \right)^{\frac{1}{6}},\ \theta=\frac{\pi}{6}$とするとき，次の問いに答えなさい．
(1)2点A，A$^{\prime}$の逆変換$f^{-1}$による像を焦点とし，焦点からの距離の差が2に等しい双曲線$C_1$の方程式を求めなさい．
(2)2点A，A$^\prime$の合成関数$f \circ f$による像を焦点とし，直線$x+2y=0$を漸近線にもつ双曲線$C_2$の方程式を求めなさい．
(3)双曲線$C_1$と$C_2$により囲まれた部分を$x$軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めなさい．
\[ \biggl( \begin{array}{cc}
r \cos \theta & -r \sin \theta \\
r \sin \theta & r \cos \theta
\end{array} \biggr) \]
の表す1次変換とする．$\displaystyle \alpha= \left( \frac{45}{4} \right)^{\frac{1}{6}},\ r=\left( \frac{10}{3} \right)^{\frac{1}{6}},\ \theta=\frac{\pi}{6}$とするとき，次の問いに答えなさい．
(1)2点A，A$^{\prime}$の逆変換$f^{-1}$による像を焦点とし，焦点からの距離の差が2に等しい双曲線$C_1$の方程式を求めなさい．
(2)2点A，A$^\prime$の合成関数$f \circ f$による像を焦点とし，直線$x+2y=0$を漸近線にもつ双曲線$C_2$の方程式を求めなさい．
(3)双曲線$C_1$と$C_2$により囲まれた部分を$x$軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めなさい．
公立 公立はこだて未来大学 2010年 第7問行列
$A=\left( \begin{array}{cc}
1 & -1 \\
a & 0
\end{array} \right)$について，以下の問いに答えよ．ただし，$a>0$とする．
(1)$A$の逆行列を求めよ．
(2)$A$の表す1次変換によって，双曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x-1}$上のある点が，点$(-1,\ 1)$に移されるとする．このとき，$a$の値を求めよ．
$A=\left( \begin{array}{cc}
1 & -1 \\
a & 0
\end{array} \right)$について，以下の問いに答えよ．ただし，$a>0$とする．
(1)$A$の逆行列を求めよ．
(2)$A$の表す1次変換によって，双曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x-1}$上のある点が，点$(-1,\ 1)$に移されるとする．このとき，$a$の値を求めよ．