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(3ページ目:全33問中21問~30問を表示) 国立 福井大学 2013年 第4問
双曲線$\displaystyle C:\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$上に点$\displaystyle \mathrm{A} \left( \frac{4}{\cos \theta},\ 3 \tan \theta \right)$,$\mathrm{B}(4,\ 0)$をとる.ただし,$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする.$\mathrm{A}$における$C$の接線と$\mathrm{B}$における$C$の接線との交点を$\mathrm{D}$とし,$C$の焦点のうち$x$座標が正であるものを$\mathrm{F}$とおく.このとき,以下の問いに答えよ.
(1)$\mathrm{D}$の座標を求めよ.
(2)$\displaystyle \tan \frac{\theta}{2}=m$とおく.$\tan \angle \mathrm{DFB}$を$m$を用いて表せ.
(3)直線$\mathrm{DF}$は$\angle \mathrm{AFB}$を$2$等分することを証明せよ.
(1)$\mathrm{D}$の座標を求めよ.
(2)$\displaystyle \tan \frac{\theta}{2}=m$とおく.$\tan \angle \mathrm{DFB}$を$m$を用いて表せ.
(3)直線$\mathrm{DF}$は$\angle \mathrm{AFB}$を$2$等分することを証明せよ.
私立 昭和大学 2013年 第3問
次の各問に答えよ.
(1)双曲線$\displaystyle H:\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$について,次の問に答えよ.
(i) 双曲線$H$の焦点の座標を求めよ.
(ii) 双曲線$H$について正の傾きをもつ漸近線の方程式を求めよ.
(iii) $(ⅱ)$で求めた漸近線と直交する直線が$H$と接するとき,その接点の座標を求めよ.
(2)不等式$9a>b,\ \log_ab>\log_ba^4+3$をすべて満たす整数$a,\ b$の値を求めよ.
(3)直線$x-y+2=0$を$\ell$とし,直線$x+y-3=0$を$m$とする.$1$次変換$f$によって,直線$\ell$は$m$に移り,また直線$m$は$\ell$に移る.このとき,次の問に答えよ.
(i) $1$次変換$f$を表す行列$A$を求めよ.
(ii) $A^{2013}$を求めよ.
(1)双曲線$\displaystyle H:\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$について,次の問に答えよ.
(i) 双曲線$H$の焦点の座標を求めよ.
(ii) 双曲線$H$について正の傾きをもつ漸近線の方程式を求めよ.
(iii) $(ⅱ)$で求めた漸近線と直交する直線が$H$と接するとき,その接点の座標を求めよ.
(2)不等式$9a>b,\ \log_ab>\log_ba^4+3$をすべて満たす整数$a,\ b$の値を求めよ.
(3)直線$x-y+2=0$を$\ell$とし,直線$x+y-3=0$を$m$とする.$1$次変換$f$によって,直線$\ell$は$m$に移り,また直線$m$は$\ell$に移る.このとき,次の問に答えよ.
(i) $1$次変換$f$を表す行列$A$を求めよ.
(ii) $A^{2013}$を求めよ.
私立 金沢工業大学 2013年 第3問
座標平面において次の$2$つの$2$次曲線を考える.
(1)原点$\mathrm{O}$と直線$x=-2$からの距離が等しい点の軌跡の方程式は
\[ y^2=[ア](x+[イ]) \]
である.
(2)$2$直線$\displaystyle y=\frac{3}{4}x-\frac{9}{4}$,$\displaystyle y=-\frac{3}{4}x+\frac{9}{4}$を漸近線にもち,$2$つの焦点の座標が$(-2,\ 0)$,$(8,\ 0)$である双曲線の方程式は
\[ \frac{(x-[ウ])^2}{[エ][オ]}-\frac{y^2}{[カ]}=1 \]
である.
(3)$(1)$と$(2)$の$2$つの曲線の共有点は$[キ]$個ある.
(1)原点$\mathrm{O}$と直線$x=-2$からの距離が等しい点の軌跡の方程式は
\[ y^2=[ア](x+[イ]) \]
である.
(2)$2$直線$\displaystyle y=\frac{3}{4}x-\frac{9}{4}$,$\displaystyle y=-\frac{3}{4}x+\frac{9}{4}$を漸近線にもち,$2$つの焦点の座標が$(-2,\ 0)$,$(8,\ 0)$である双曲線の方程式は
\[ \frac{(x-[ウ])^2}{[エ][オ]}-\frac{y^2}{[カ]}=1 \]
である.
(3)$(1)$と$(2)$の$2$つの曲線の共有点は$[キ]$個ある.
公立 九州歯科大学 2013年 第1問
次の問いに答えよ.
(1)頂点間の距離が$24$であり,焦点が$(20,\ 0)$と$(-20,\ 0)$である双曲線の方程式を求めよ.
(2)初項を$a_1=4$とする数列$\{a_n\}$と初項を$b_1=1$とする数列$\{b_n\}$に対して,$c_n=\sqrt{a_nb_n}$,$\displaystyle d_n=\sqrt{\displaystyle\frac{a_n}{b_n}}$とおく.ただし,$a_n>0$,$b_n>0$とする.数列$\{c_n\}$が公差$2$の等差数列となり,数列$\{d_n\}$が公比$3$の等比数列となるとき,$a_5$と$b_5$の値を求めよ.
(3)関数$f(x)=Ax^5+Bx^4+Cx^3+Dx^2+Ex+F$が
\[ f(-x)=-f(x),\quad \lim_{x \to \infty}\frac{f(x)}{x^3}=6,\quad \int_0^1 f(x) \, dx=\frac{1}{2} \]
をみたすとき,定数$A,\ B,\ C,\ D,\ E,\ F$の値を求めよ.
(1)頂点間の距離が$24$であり,焦点が$(20,\ 0)$と$(-20,\ 0)$である双曲線の方程式を求めよ.
(2)初項を$a_1=4$とする数列$\{a_n\}$と初項を$b_1=1$とする数列$\{b_n\}$に対して,$c_n=\sqrt{a_nb_n}$,$\displaystyle d_n=\sqrt{\displaystyle\frac{a_n}{b_n}}$とおく.ただし,$a_n>0$,$b_n>0$とする.数列$\{c_n\}$が公差$2$の等差数列となり,数列$\{d_n\}$が公比$3$の等比数列となるとき,$a_5$と$b_5$の値を求めよ.
(3)関数$f(x)=Ax^5+Bx^4+Cx^3+Dx^2+Ex+F$が
\[ f(-x)=-f(x),\quad \lim_{x \to \infty}\frac{f(x)}{x^3}=6,\quad \int_0^1 f(x) \, dx=\frac{1}{2} \]
をみたすとき,定数$A,\ B,\ C,\ D,\ E,\ F$の値を求めよ.
国立 筑波大学 2012年 第6問
2つの双曲線$C:x^2-y^2=1,\ H:x^2-y^2=-1$を考える.双曲線$H$上の点$\mathrm{P}(s,\ t)$に対して,方程式$sx-ty=1$で定まる直線を$\ell$とする.
(1)直線$\ell$は点$\mathrm{P}$を通らないことを示せ.
(2)直線$\ell$と双曲線$C$は異なる$2$点$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$で交わることを示し,$\triangle \mathrm{PQR}$の重心$\mathrm{G}$の座標を$s,\ t$を用いて表せ.
(3)(2)における$3$点$\mathrm{G}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$に対して,$\triangle \mathrm{GQR}$の面積は点$\mathrm{P}(s,\ t)$の位置によらず一定であることを示せ.
(1)直線$\ell$は点$\mathrm{P}$を通らないことを示せ.
(2)直線$\ell$と双曲線$C$は異なる$2$点$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$で交わることを示し,$\triangle \mathrm{PQR}$の重心$\mathrm{G}$の座標を$s,\ t$を用いて表せ.
(3)(2)における$3$点$\mathrm{G}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$に対して,$\triangle \mathrm{GQR}$の面積は点$\mathrm{P}(s,\ t)$の位置によらず一定であることを示せ.
国立 香川大学 2012年 第2問
楕円$\displaystyle C_1:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$および双曲線$\displaystyle C_2:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$について,次の問に答えよ.ただし,$a>0,\ b>0$とする.
(1)楕円$C_1$上の点$(x_1,\ y_1)$における接線の方程式は
\[ \frac{x_1x}{a^2}+\frac{y_1y}{b^2}=1 \]
であることを示せ.
(2)楕円$C_1$の外部の点$(p,\ q)$を通る$C_1$の2本の接線の接点をそれぞれA$_1$,A$_2$とする.直線A$_1$A$_2$の方程式は
\[ \frac{px}{a^2}+\frac{qy}{b^2}=1 \]
であることを示せ.
(3)$(p,\ q)$が双曲線$C_2$上の点であるとき,直線$\displaystyle \frac{px}{a^2}+\frac{qy}{b^2}=1$は$C_2$に接することを示せ.
(1)楕円$C_1$上の点$(x_1,\ y_1)$における接線の方程式は
\[ \frac{x_1x}{a^2}+\frac{y_1y}{b^2}=1 \]
であることを示せ.
(2)楕円$C_1$の外部の点$(p,\ q)$を通る$C_1$の2本の接線の接点をそれぞれA$_1$,A$_2$とする.直線A$_1$A$_2$の方程式は
\[ \frac{px}{a^2}+\frac{qy}{b^2}=1 \]
であることを示せ.
(3)$(p,\ q)$が双曲線$C_2$上の点であるとき,直線$\displaystyle \frac{px}{a^2}+\frac{qy}{b^2}=1$は$C_2$に接することを示せ.
私立 関西大学 2012年 第4問
次の$[ ]$をうめよ.
(1)$\displaystyle \lim_{x \to -\infty}(\sqrt{x^2+3x}+x)$の値は$[$①$]$である.
(2)$\displaystyle \sum_{k=1}^n k \comb{n}{k}$を計算すると$[$②$]$となる.
(3)座標空間の原点を$\mathrm{O}$とし,$t$を実数とする.どのような$t$の値に対しても,点$\displaystyle \mathrm{P} \left( \cos t,\ \frac{-1+\sin t}{\sqrt{2}},\ \frac{1+\sin t}{\sqrt{2}} \right)$は原点を中心とする半径$[$③$]$の球面上にある.また,実数$s$に対して,点$\mathrm{Q}(0,\ s,\ -s)$とするとき,$\overrightarrow{\mathrm{OQ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{QP}}=0$となるような$s$の値は$s=0$と$s=[$④$]$である.
(4)媒介変数表示
\[ x=3^{t+1}+3^{-t+1}+1,\quad y=3^t-3^{-t} \]
で表される図形は,$x,\ y$についての方程式$[$⑤$]=1$で定まる双曲線$C$の$x>0$の部分である.また,$C$の漸近線で傾きが正の漸近線の方程式は$y=[$⑥$]$である.
(5)$\theta$の関数$\displaystyle \sin \theta \sin \left( \theta+\frac{\pi}{3} \right) \sin \left( \theta-\frac{\pi}{3} \right)$は,定数$a,\ b$を用いて$a \sin^3 \theta+b \sin \theta$と表すことができる.$a,\ b$の組$(a,\ b)$は$[$④chi$]$である.
(6)無限級数の和として定義される関数
\[ f(x)=x^2+\frac{x^2}{1+2x^2}+\frac{x^2}{(1+2x^2)^2}+\cdots +\frac{x^2}{(1+2x^2)^n}+\cdots \]
について,$\displaystyle \lim_{x \to 0}f(x)$の値は$[$\maruhachi$]$である.
(1)$\displaystyle \lim_{x \to -\infty}(\sqrt{x^2+3x}+x)$の値は$[$①$]$である.
(2)$\displaystyle \sum_{k=1}^n k \comb{n}{k}$を計算すると$[$②$]$となる.
(3)座標空間の原点を$\mathrm{O}$とし,$t$を実数とする.どのような$t$の値に対しても,点$\displaystyle \mathrm{P} \left( \cos t,\ \frac{-1+\sin t}{\sqrt{2}},\ \frac{1+\sin t}{\sqrt{2}} \right)$は原点を中心とする半径$[$③$]$の球面上にある.また,実数$s$に対して,点$\mathrm{Q}(0,\ s,\ -s)$とするとき,$\overrightarrow{\mathrm{OQ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{QP}}=0$となるような$s$の値は$s=0$と$s=[$④$]$である.
(4)媒介変数表示
\[ x=3^{t+1}+3^{-t+1}+1,\quad y=3^t-3^{-t} \]
で表される図形は,$x,\ y$についての方程式$[$⑤$]=1$で定まる双曲線$C$の$x>0$の部分である.また,$C$の漸近線で傾きが正の漸近線の方程式は$y=[$⑥$]$である.
(5)$\theta$の関数$\displaystyle \sin \theta \sin \left( \theta+\frac{\pi}{3} \right) \sin \left( \theta-\frac{\pi}{3} \right)$は,定数$a,\ b$を用いて$a \sin^3 \theta+b \sin \theta$と表すことができる.$a,\ b$の組$(a,\ b)$は$[$④chi$]$である.
(6)無限級数の和として定義される関数
\[ f(x)=x^2+\frac{x^2}{1+2x^2}+\frac{x^2}{(1+2x^2)^2}+\cdots +\frac{x^2}{(1+2x^2)^n}+\cdots \]
について,$\displaystyle \lim_{x \to 0}f(x)$の値は$[$\maruhachi$]$である.
公立 兵庫県立大学 2012年 第5問
双曲線$x^2-y^2=1$上に$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0)$,$\mathrm{B}(-1,\ 0)$,$\mathrm{P}(t,\ s)$をとる.ただし,$t,\ s$は$t>1$,$s>0$の範囲を動くとする.次の問いに答えよ.
(1)点$\mathrm{P}(t,\ s)$と点$\mathrm{B}(-1,\ 0)$を通る直線と,点$\mathrm{Q}(t,\ -s)$と点$\mathrm{A}(1,\ 0)$を通る直線の交点を$\mathrm{R}(u,\ v)$とする.$u,\ v$を$t$で表せ.
(2)点$\mathrm{R}(u,\ v)$の軌跡を求めよ.
(1)点$\mathrm{P}(t,\ s)$と点$\mathrm{B}(-1,\ 0)$を通る直線と,点$\mathrm{Q}(t,\ -s)$と点$\mathrm{A}(1,\ 0)$を通る直線の交点を$\mathrm{R}(u,\ v)$とする.$u,\ v$を$t$で表せ.
(2)点$\mathrm{R}(u,\ v)$の軌跡を求めよ.
私立 津田塾大学 2011年 第4問
次の問いに答えよ.
(1)$t$に関する関数$\displaystyle x=\frac{e^t+e^{-t}}{2} (t \geqq 0)$のグラフをかけ.
(2)$\displaystyle x=\frac{e^t+e^{-t}}{2} (t \geqq 0)$のとき,$\sqrt{x^2-1}$を$t$を用いて表せ.
(3)$\mathrm{O}$を原点とし,点$\mathrm{P}(a,\ b)$を双曲線$x^2-y^2=1$上にある第$1$象限内の点とする.$\displaystyle a=\frac{e^s+e^{-s}}{2} (s>0)$のとき,線分$\mathrm{OP}$と双曲線$x^2-y^2=1$と$x$軸とで囲まれた部分の面積を,$s$を用いて表せ.
(1)$t$に関する関数$\displaystyle x=\frac{e^t+e^{-t}}{2} (t \geqq 0)$のグラフをかけ.
(2)$\displaystyle x=\frac{e^t+e^{-t}}{2} (t \geqq 0)$のとき,$\sqrt{x^2-1}$を$t$を用いて表せ.
(3)$\mathrm{O}$を原点とし,点$\mathrm{P}(a,\ b)$を双曲線$x^2-y^2=1$上にある第$1$象限内の点とする.$\displaystyle a=\frac{e^s+e^{-s}}{2} (s>0)$のとき,線分$\mathrm{OP}$と双曲線$x^2-y^2=1$と$x$軸とで囲まれた部分の面積を,$s$を用いて表せ.
国立 島根大学 2010年 第3問
次の問いに答えよ.
(1)双曲線$C:x^2-y^2=-1$上の点$(1,\ \sqrt{2})$における接線$\ell$の方程式を求めよ.
(2)$C$と$\ell$および$y$軸で囲まれた図形を$y$軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ.
(1)双曲線$C:x^2-y^2=-1$上の点$(1,\ \sqrt{2})$における接線$\ell$の方程式を求めよ.
(2)$C$と$\ell$および$y$軸で囲まれた図形を$y$軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ.