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滋賀県立大学 公立 滋賀県立大学 2015年 第4問
次の問いに答えよ.

(1)双曲線$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$($a$と$b$は正の実数)の$x>0$の部分を$H$とする.このとき,点$(-a,\ 0)$を通る傾き$t$の直線と$H$との交点を考えることにより,$H$上の点$(x,\ y)$の$x$と$y$をそれぞれ$t$の分数式で表せ.
(2)$(1)$のやり方を用いて,$y=\sqrt{x^2-1} (x>1)$で表される曲線を媒介変数$t$の分数式で表示せよ.
(3)$(2)$の結果を用いて不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x^2-1}} \, dx$を求めよ.
大阪府立大学 公立 大阪府立大学 2015年 第3問
$a>0$,$b>0$とし,座標平面において,双曲線$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$を曲線$C$とする.曲線$C$の漸近線のうち傾きが正の漸近線を$\ell$とし,曲線$C$上の点$\mathrm{P}(p,\ q)$における曲線$C$の接線を$m$とする.ただし,$p>0$,$q>0$とする.また,漸近線$\ell$と接線$m$の交点を$\mathrm{Q}$とし,接線$m$と$x$軸の交点を$\mathrm{R}$とする.原点を$\mathrm{O}$とするとき,次の問いに答えよ.

(1)漸近線$\ell$の方程式を$a,\ b$を用いて表せ.
(2)接線$m$の方程式を$a,\ b,\ p$を用いて表せ.
(3)三角形$\mathrm{OQR}$の面積$S(p)$を$p$を用いて表せ.
(4)極限値$\displaystyle \lim_{p \to \infty} S(p)$を求めよ.
京都大学 国立 京都大学 2014年 第6問
双曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x}$の第$1$象限にある部分と,原点$\mathrm{O}$を中心とする円の第$1$象限にある部分を,それぞれ$C_1$,$C_2$とする.$C_1$と$C_2$は$2$つの異なる点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$で交わり,点$\mathrm{A}$における$C_1$の接線$\ell$と線分$\mathrm{OA}$のなす角は$\displaystyle \frac{\pi}{6}$であるとする.このとき,$C_1$と$C_2$で囲まれる図形の面積を求めよ.
筑波大学 国立 筑波大学 2014年 第6問
$xy$平面上に楕円
\[ C_1:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{9}=1 \quad (a>\sqrt{13}) \]
および双曲線
\[ C_2:\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{b^2}=1 \quad (b>0) \]
があり,$C_1$と$C_2$は同一の焦点をもつとする.また$C_1$と$C_2$の交点
\[ \mathrm{P} \left( 2 \sqrt{1+\frac{t^2}{b^2}},\ t \right) \quad (t>0) \]
における$C_1$,$C_2$の接線をそれぞれ$\ell_1$,$\ell_2$とする.

(1)$a$と$b$の間に成り立つ関係式を求め,点$\mathrm{P}$の座標を$a$を用いて表せ.
(2)$\ell_1$と$\ell_2$が直交することを示せ.
(3)$a$が$a>\sqrt{13}$を満たしながら動くときの点$\mathrm{P}$の軌跡を図示せよ.
山口大学 国立 山口大学 2014年 第2問
座標平面において,方程式$\displaystyle \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$が表す双曲線$C$と点$\mathrm{P}(a,\ 0)$がある.ただし,$a>3$とする.点$\mathrm{P}$を通り$y$軸に平行な直線と双曲線$C$との交点の一つである点$\mathrm{Q}(a,\ b)$をとる.ただし,$b>0$とする.さらに,点$\mathrm{Q}$における双曲線$C$の接線$\ell$と$x$軸との交点を$\mathrm{R}(c,\ 0)$とする.このとき,次の問いに答えなさい.

(1)$a$を用いて$b$を表しなさい.
(2)$a$を用いて接線$\ell$の方程式を表しなさい.
(3)$a$を用いて$c$を表しなさい.
(4)極限値$\displaystyle \lim_{a \to \infty} \frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{PR}}$を求めなさい.
早稲田大学 私立 早稲田大学 2014年 第2問
$x$-$y$平面の双曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x}$上の相異なる$3$点を,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$とし,その$x$座標を,それぞれ,$a,\ b,\ c$とする.このとき,次の各問に答えよ.

(1)空欄にあてはまる数式を求め,答のみ解答欄に記入せよ.

直線$\mathrm{AB}$に垂直な直線の傾きは$[ア]$である.$\triangle \mathrm{ABC}$の垂心を$\mathrm{H}$とするとき,$\mathrm{H}$の$x,\ y$座標を$a,\ b,\ c$を用いて表すと,$x=[イ]$,$y=[ウ]$である.よって,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$が双曲線上を動くとき,$\mathrm{H}$の軌跡は$x,\ y$の関係式$[エ]$で表され,$\mathrm{H}$はこの関係式で表される図形上のすべての点を動く.

(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{P}(x,\ y)$とする.

(i) $\mathrm{P}$の座標$x,\ y$を$a,\ b,\ c$を用いて表せ.
(ii) $a,\ b,\ c$が,$a+b=0$,$c=1$を満たすとき,$\mathrm{P}(x,\ y)$の軌跡を求め,その軌跡を解答欄の$x$-$y$平面に図示せよ.
杏林大学 私立 杏林大学 2014年 第2問
$[ツ]$の解答は解答群の中から最も適当なものを$1$つ選べ.

区間$\displaystyle \frac{\pi}{6} \leqq \theta \leqq \frac{2}{3} \pi$を定義域とする関数$f(\theta)=2 \sin^2 \theta+4 \sin \theta \cos \theta+4 \cos^2 \theta$について,以下の問いに答えよ.

(1)$f(\theta)$は次の形に変形できる.
\[ f(\theta)=\sqrt{[ア]} \sin (2\theta+\alpha)+[イ] \]
ただし,$\alpha$は$\displaystyle \tan \alpha=\frac{[ウ]}{[エ]}$を満たし,$\displaystyle \tan \frac{\alpha}{2}=\sqrt{[オ]}-[カ]$が成り立つ.
(2)$f(\theta)$は,$\displaystyle \theta=\frac{[キ]}{[ク]} \pi$のとき最小値$\displaystyle [ケ] \sqrt{[コ]}+\frac{[サ]}{[シ]}$をとり,
\[ \tan \theta=\frac{\sqrt{[ス]}-[セ]}{[ソ]} \]
を満たす$\theta$において最大値$\sqrt{[タ]}+[チ]$をとる.
(3)$k$を正の定数とすると,方程式$\displaystyle x^2+xy+\frac{1}{2}y^2=k$で表される図形は$[ツ]$である.この曲線と,
\[ x^2+y^2=4,\quad -1 \leqq x \leqq \sqrt{3},\quad y>0 \]
で表わされる弧が接するように$k$を定めると,$2$つの曲線の共通接線の傾きは$\displaystyle \frac{-\sqrt{[テ]}-[ト]}{[ナ]}$となる.

$[ツ]$の解答群
\[ ① \text{円} \qquad ② \text{放物線} \qquad ③ \text{楕円} \qquad ④ \text{双曲線} \]
武庫川女子大学 私立 武庫川女子大学 2014年 第2問
次の空欄$[$19$]$~$[$37$]$にあてはまる数字を入れよ.

$xy$平面上に,双曲線$x^2-y^2=1$がある.この双曲線と直線$y=ax+3$が点$\mathrm{P}$で接している.ただし$a>0$とする.このとき,

(1)$a=\sqrt{[$19$][$20$]}$

$\mathrm{P}$の座標は$\displaystyle \left( -\frac{\sqrt{[$21$][$22$]}}{[$23$]},\ -\frac{[$24$]}{[$25$]} \right)$である.

(2)この双曲線上に点$\mathrm{Q}(s,\ t)$がある.線分$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{M}$とすると,$\mathrm{M}$の座標は
\[ \left( \frac{s}{2}-\frac{\sqrt{[$26$][$27$]}}{[$28$]},\ \frac{t}{2}-\frac{[$29$]}{[$30$]} \right) \]
と表すことができる.また,$\mathrm{M}$の軌跡は双曲線$\displaystyle x^2-y^2=\frac{[$31$]}{[$32$]}$を

$x$軸方向に$\displaystyle -\frac{\sqrt{[$33$][$34$]}}{[$35$]}$,$y$軸方向に$\displaystyle -\frac{[$36$]}{[$37$]}$だけ平行移動して得られる双曲線である.
旭川医科大学 国立 旭川医科大学 2013年 第2問
$a$を正の実数とする.双曲線$C:x^2-a^2y^2+a^2=0$上の$4$点$\mathrm{A}_1(0,\ 1)$,$\mathrm{A}_2(0,\ -1)$,$\mathrm{A}_3(a,\ \sqrt{2})$,$\mathrm{A}_4(-2a,\ -\sqrt{5})$が与えられている.$\mathrm{A}_1$における$C$の接線を$\ell_1$,$\mathrm{A}_3$における$C$の接線を$\ell_3$とする.次の問いに答えよ.

(1)$\ell_1$と$\ell_3$の交点$\mathrm{S}$の座標を求めよ.
(2)直線$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2$と直線$\mathrm{A}_3 \mathrm{A}_4$の交点$\mathrm{U}$の座標,および直線$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_4$と直線$\mathrm{A}_2 \mathrm{A}_3$の交点$\mathrm{V}$の座標を求めよ.
(3)$3$点$\mathrm{S}$,$\mathrm{U}$,$\mathrm{V}$が同一線上にあることを示せ.
小樽商科大学 国立 小樽商科大学 2013年 第5問
双曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x}+\frac{4}{3}$を$C_1$,曲線$\displaystyle y=-\frac{1}{3}x^3+a$を$C_2$,$C_2$と$x$軸の交点を通る$y$軸と平行な直線を$L$とする.ただし$a$は実数とする.このとき,次の問いに答えよ.

(1)$C_1$と$C_2$が第一象限で接するとき,$a$の値を求めよ.
(2)$(1)$で求めた$a$に対して,$C_1$と$C_2$と$L$で囲まれた部分の面積を求めよ.
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