「参照」について
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国立 豊橋技術科学大学 2015年 第2問図$1$が示すように，平面上に互いに異なる$5$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$がある．ただし，$\mathrm{O}$は原点であり，他の$4$点の位置ベクトルを$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$，$\overrightarrow{d}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}$とする．媒介変数$t (0 \leqq t \leqq 1)$を用いて，線分$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CD}$を$t:1-t$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$とする．同様に，線分$\mathrm{EF}$，$\mathrm{FG}$を$t:1-t$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{H}$，$\mathrm{I}$とする．さらに，線分$\mathrm{HI}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{J}$とし，$t$が$0$から$1$まで変化するときの点$\mathrm{J}$の軌跡を曲線$K$とする（図$1$参照）．以下の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$および$t$を用いて位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を表せ．
(2)$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{d}$および$t$を用いて位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OJ}}$を表せ．
(3)特殊な条件として，一辺が$r$の正方形上に図$2$に示すように点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$を配置する．さらに，中心が$\mathrm{O}$で端点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{D}$とする円弧を$L$とする．線分$\mathrm{AB}$と線分$\mathrm{CD}$の長さはともに半径$r$の$s$倍（$0 \leqq s \leqq 1$）である．このとき，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{d}$および$s$を用いてベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を表せ．
(4)$(3)$において，$\displaystyle t=\frac{1}{2}$のときの点$\mathrm{J}$に対応する点を特に点$\mathrm{M}$とするとき，点$\mathrm{M}$が円弧$L$上にあるための条件を$s$の値で示せ．
（図は省略）
(1)$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$および$t$を用いて位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を表せ．
(2)$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{d}$および$t$を用いて位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OJ}}$を表せ．
(3)特殊な条件として，一辺が$r$の正方形上に図$2$に示すように点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$を配置する．さらに，中心が$\mathrm{O}$で端点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{D}$とする円弧を$L$とする．線分$\mathrm{AB}$と線分$\mathrm{CD}$の長さはともに半径$r$の$s$倍（$0 \leqq s \leqq 1$）である．このとき，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{d}$および$s$を用いてベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を表せ．
(4)$(3)$において，$\displaystyle t=\frac{1}{2}$のときの点$\mathrm{J}$に対応する点を特に点$\mathrm{M}$とするとき，点$\mathrm{M}$が円弧$L$上にあるための条件を$s$の値で示せ．
国立 埼玉大学 2014年 第2問$xy$平面の格子点上に駒「銀」が$1$枚ある．ただし，格子点とは$x$座標と$y$座標がともに整数となる点である．$1$回の操作で，次の$(\mathrm{a})$，$(\mathrm{b})$，$(\mathrm{c})$，$(\mathrm{d})$，$(\mathrm{e})$のいずれか$1$つを等しい確率で選び，駒「銀」を移動させるものとする（下図参照）．
$(\mathrm{a})$ $(x,\ y)$から$(x,\ y+1)$に移動させる．
$(\mathrm{b})$ $(x,\ y)$から$(x+1,\ y+1)$に移動させる．
$(\mathrm{c})$ $(x,\ y)$から$(x-1,\ y+1)$に移動させる．
$(\mathrm{d})$ $(x,\ y)$から$(x-1,\ y-1)$に移動させる．
$(\mathrm{e})$ $(x,\ y)$から$(x+1,\ y-1)$に移動させる．
最初に駒「銀」は原点$(0,\ 0)$にあるものとし，以下の問いに答えよ．
(1)$3$回の操作の後，駒が$(1,\ 1)$にある確率を求めよ．
(2)$n$回の操作の後，駒がある点の$y$座標は$n-1$とならないことを示せ．
(3)$n$回の操作の後，駒が$(n-1,\ 0)$にある確率を求めよ．
（図は省略）
$(\mathrm{a})$ $(x,\ y)$から$(x,\ y+1)$に移動させる．
$(\mathrm{b})$ $(x,\ y)$から$(x+1,\ y+1)$に移動させる．
$(\mathrm{c})$ $(x,\ y)$から$(x-1,\ y+1)$に移動させる．
$(\mathrm{d})$ $(x,\ y)$から$(x-1,\ y-1)$に移動させる．
$(\mathrm{e})$ $(x,\ y)$から$(x+1,\ y-1)$に移動させる．
最初に駒「銀」は原点$(0,\ 0)$にあるものとし，以下の問いに答えよ．
(1)$3$回の操作の後，駒が$(1,\ 1)$にある確率を求めよ．
(2)$n$回の操作の後，駒がある点の$y$座標は$n-1$とならないことを示せ．
(3)$n$回の操作の後，駒が$(n-1,\ 0)$にある確率を求めよ．
（図は省略）
国立 埼玉大学 2014年 第2問$xy$平面の格子点上に駒「銀」が$1$枚ある．ただし，格子点とは$x$座標と$y$座標がともに整数となる点である．$1$回の操作で，次の$(\mathrm{a})$，$(\mathrm{b})$，$(\mathrm{c})$，$(\mathrm{d})$，$(\mathrm{e})$のいずれか$1$つを等しい確率で選び，駒「銀」を移動させるものとする（下図参照）．
$(\mathrm{a})$ $(x,\ y)$から$(x,\ y+1)$に移動させる．
$(\mathrm{b})$ $(x,\ y)$から$(x+1,\ y+1)$に移動させる．
$(\mathrm{c})$ $(x,\ y)$から$(x-1,\ y+1)$に移動させる．
$(\mathrm{d})$ $(x,\ y)$から$(x-1,\ y-1)$に移動させる．
$(\mathrm{e})$ $(x,\ y)$から$(x+1,\ y-1)$に移動させる．
最初に駒「銀」は原点$(0,\ 0)$にあるものとし，以下の問いに答えよ．
(1)$3$回の操作の後，駒が$(1,\ 1)$にある確率を求めよ．
(2)$n$回の操作の後，駒がある点の$y$座標は$n-1$とならないことを示せ．
(3)$n$回の操作の後，駒が$(n-1,\ 0)$にある確率を求めよ．
（図は省略）
$(\mathrm{a})$ $(x,\ y)$から$(x,\ y+1)$に移動させる．
$(\mathrm{b})$ $(x,\ y)$から$(x+1,\ y+1)$に移動させる．
$(\mathrm{c})$ $(x,\ y)$から$(x-1,\ y+1)$に移動させる．
$(\mathrm{d})$ $(x,\ y)$から$(x-1,\ y-1)$に移動させる．
$(\mathrm{e})$ $(x,\ y)$から$(x+1,\ y-1)$に移動させる．
最初に駒「銀」は原点$(0,\ 0)$にあるものとし，以下の問いに答えよ．
(1)$3$回の操作の後，駒が$(1,\ 1)$にある確率を求めよ．
(2)$n$回の操作の後，駒がある点の$y$座標は$n-1$とならないことを示せ．
(3)$n$回の操作の後，駒が$(n-1,\ 0)$にある確率を求めよ．
（図は省略）
国立 香川大学 2014年 第4問$0<r<R$とし，半径$R$の円に半径$r$の小円をいくつか外接させる．ただし，小円どうしは接するか互いに交わらないものとする（図参照）．このときの小円の個数の最大値を$n$としたとき，次の問に答えよ．必要ならば，下の数表（三角関数表）を用いてよい．
（図は省略）
$*$ 三角関数表は省略した．
(1)$R=3r$のとき，$n$を求めよ．
(2)$\displaystyle n \leqq \pi \left( \frac{R}{r}+1 \right)$を示せ．
（図は省略）
$*$ 三角関数表は省略した．
(1)$R=3r$のとき，$n$を求めよ．
(2)$\displaystyle n \leqq \pi \left( \frac{R}{r}+1 \right)$を示せ．