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国立 三重大学 2014年 第3問$\mathrm{X}$大学では，オープンキャンパスに$40$名の高校生が参加を申し込んだ．この$40$名の高校生のために，黒色$20$本，青色$10$本，赤色$10$本，計$40$本のボールペンを参加の記念として用意した．この$40$名の中の特定の$2$名$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$について，下の問いに答えよ．ただし，オープンキャンパスにはこの$40$名の高校生が参加するとする．また，高校生$1$名に必ず$1$本のボールペンが渡され，渡されるボールペンの色は無作為に決定される．
(1)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$ともに黒色のボールペンを渡される確率を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が同じ色のボールペンを渡される確率を求めよ．
(1)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$ともに黒色のボールペンを渡される確率を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が同じ色のボールペンを渡される確率を求めよ．
国立 三重大学 2014年 第3問$\mathrm{X}$大学では，オープンキャンパスに$40$名の高校生が参加を申し込んだ．この$40$名の高校生のために，黒色$20$本，青色$10$本，赤色$10$本，計$40$本のボールペンを参加の記念として用意した．この$40$名の中の特定の$2$名$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$について，下の問いに答えよ．ただし，オープンキャンパスにはこの$40$名の高校生が参加するとする．また，高校生$1$名に必ず$1$本のボールペンが渡され，渡されるボールペンの色は無作為に決定される．
(1)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$ともに黒色のボールペンを渡される確率を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が同じ色のボールペンを渡される確率を求めよ．
(1)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$ともに黒色のボールペンを渡される確率を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が同じ色のボールペンを渡される確率を求めよ．
国立 福井大学 2014年 第1問総数$20$本のくじの中に，賞金$1000$円の$1$等が$1$本，賞金$500$円の$2$等が$2$本，賞金$100$円の$3$等が$3$本入っており，残りは全て賞金$0$円のはずれくじである．このくじを$2$本引くとき，次の問いに答えよ．
(1)$3$等が$1$本以上当たる確率を求めよ．
(2)得られる賞金の総額が$1000$円になる確率を求めよ．
(3)得られる賞金の総額の期待値を求めよ．
(4)このくじを$1$本引くのに参加料を$x$円払う必要があるとする．このくじを$2$本引くとき，$x$がいくらまでならば，「くじを引くこと」が得になるか答えよ．ここで，得られる賞金の総額の期待値よりも参加料の方が少ないとき，得であると判断することにする．
(1)$3$等が$1$本以上当たる確率を求めよ．
(2)得られる賞金の総額が$1000$円になる確率を求めよ．
(3)得られる賞金の総額の期待値を求めよ．
(4)このくじを$1$本引くのに参加料を$x$円払う必要があるとする．このくじを$2$本引くとき，$x$がいくらまでならば，「くじを引くこと」が得になるか答えよ．ここで，得られる賞金の総額の期待値よりも参加料の方が少ないとき，得であると判断することにする．
私立 同志社大学 2013年 第1問次の$[ ]$に適する数または式を記入せよ．
サッカーの国際大会に日本，$\mathrm{A}$国および$\mathrm{B}$国の$3$ヶ国が参加し，優勝国は次のように決定される．
(i) $3$つの国のうち$2$つの国が試合をする．勝った国が残りの$1$つの国と試合をし， $2$連勝する国が生じるまで試合を繰り返す．この連勝国を優勝国とし，大会を終了する．
(ii) 各試合において，引き分けは無く，必ず勝敗が決まる．
日本が$\mathrm{A}$国，$\mathrm{B}$国に勝つ確率をそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2},\ \frac{1}{3}$とし，$\mathrm{A}$国が$\mathrm{B}$国に勝つ確率は$\displaystyle \frac{2}{3}$とする．第$1$戦は日本と$\mathrm{A}$国が対戦する．
第$2$戦で日本が優勝する確率は$[ ]$であり，第$3$戦で日本が優勝する確率は$[ ]$であり，第$4$戦で日本が優勝する確率は$[ ]$であり，第$5$戦で日本が優勝する確率は$[ ]$である．ゆえに第$3n+2$戦（$n$は$0$以上の整数）で日本が優勝する確率$p_n$は$p_n=[ ]$となる．このとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n p_k=[ ]$となる．一方，第$7$戦で日本が優勝する確率は$[ ]$となる．第$3n+1$戦（$n$は$1$以上の整数）で日本が優勝する確率$q_n$は$q_n=[ ]$となる．このとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n q_k=[ ]$となる．また第$3n$戦（$n$は$1$以上の整数）で日本が優勝する確率$r_n$は$r_n=[ ]$となる．
サッカーの国際大会に日本，$\mathrm{A}$国および$\mathrm{B}$国の$3$ヶ国が参加し，優勝国は次のように決定される．
(i) $3$つの国のうち$2$つの国が試合をする．勝った国が残りの$1$つの国と試合をし， $2$連勝する国が生じるまで試合を繰り返す．この連勝国を優勝国とし，大会を終了する．
(ii) 各試合において，引き分けは無く，必ず勝敗が決まる．
日本が$\mathrm{A}$国，$\mathrm{B}$国に勝つ確率をそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2},\ \frac{1}{3}$とし，$\mathrm{A}$国が$\mathrm{B}$国に勝つ確率は$\displaystyle \frac{2}{3}$とする．第$1$戦は日本と$\mathrm{A}$国が対戦する．
第$2$戦で日本が優勝する確率は$[ ]$であり，第$3$戦で日本が優勝する確率は$[ ]$であり，第$4$戦で日本が優勝する確率は$[ ]$であり，第$5$戦で日本が優勝する確率は$[ ]$である．ゆえに第$3n+2$戦（$n$は$0$以上の整数）で日本が優勝する確率$p_n$は$p_n=[ ]$となる．このとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n p_k=[ ]$となる．一方，第$7$戦で日本が優勝する確率は$[ ]$となる．第$3n+1$戦（$n$は$1$以上の整数）で日本が優勝する確率$q_n$は$q_n=[ ]$となる．このとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n q_k=[ ]$となる．また第$3n$戦（$n$は$1$以上の整数）で日本が優勝する確率$r_n$は$r_n=[ ]$となる．
私立 早稲田大学 2012年 第2問ある競技の大会に，チーム$1$，チーム$2$，チーム$3$，チーム$4$が参加している．大会は予選と決勝戦からなる．まず，抽選によって，図のように$2$チームずつに分かれて予選を行う．次に，各予選の勝者が決勝戦を行う．過去の対戦成績から次のことが分かっている．
チーム$i$とチーム$j$（$1\leq i< j \leq 4$）が試合をするとき，確率$p$でチーム$j$が勝利し，確率$1-p$でチーム$i$が勝利する．ただし$0<p<1$である．
このとき，次の各問に答えよ．ただし，(1)，(2)，(3)は答のみ解答欄に記入せよ．
(1)チーム$1$が優勝する確率を求めよ．
(2)予選においてチーム$1$とチーム$2$が対戦する確率を求めよ．
(3)予選においてチーム$1$とチーム$2$が対戦するとき，チーム$2$が優勝する確率を求めよ．
(4)この大会においてチーム$2$が優勝する確率$f(p)$を求めよ．
(5)$f(p)$を最大にする$p$の値を求めよ．
（図は省略）
チーム$i$とチーム$j$（$1\leq i< j \leq 4$）が試合をするとき，確率$p$でチーム$j$が勝利し，確率$1-p$でチーム$i$が勝利する．ただし$0<p<1$である．
このとき，次の各問に答えよ．ただし，(1)，(2)，(3)は答のみ解答欄に記入せよ．
(1)チーム$1$が優勝する確率を求めよ．
(2)予選においてチーム$1$とチーム$2$が対戦する確率を求めよ．
(3)予選においてチーム$1$とチーム$2$が対戦するとき，チーム$2$が優勝する確率を求めよ．
(4)この大会においてチーム$2$が優勝する確率$f(p)$を求めよ．
(5)$f(p)$を最大にする$p$の値を求めよ．
（図は省略）
私立 慶應義塾大学 2012年 第4問次の問いに答えよ．
(1)自然数$a=[(43)],\ b=[(44)]$は
\[ \frac{31}{99}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{11ab} \]
をみたす．ただし$a<b$とする．
(2)$4$人でプレーするゲームの大会がある．全部で$v$人のプレーヤーがゲームを繰り返し行い，各プレーヤーは他のすべてのプレーヤーと必ず$1$回だけ対戦する．\\
\quad この大会の総ゲーム数を$b$とし，各プレーヤーは$r$回のゲームに参加するとする．たとえば$r=1$のとき，$v=[(45)],\ b=[(46)]$であるが，$r=2,\ 3$のときは条件をみたす大会は成立しない．$r=4$のとき，$v=[(47)][(48)],\ b=[(49)][(50)]$である．
(1)自然数$a=[(43)],\ b=[(44)]$は
\[ \frac{31}{99}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{11ab} \]
をみたす．ただし$a<b$とする．
(2)$4$人でプレーするゲームの大会がある．全部で$v$人のプレーヤーがゲームを繰り返し行い，各プレーヤーは他のすべてのプレーヤーと必ず$1$回だけ対戦する．\\
\quad この大会の総ゲーム数を$b$とし，各プレーヤーは$r$回のゲームに参加するとする．たとえば$r=1$のとき，$v=[(45)],\ b=[(46)]$であるが，$r=2,\ 3$のときは条件をみたす大会は成立しない．$r=4$のとき，$v=[(47)][(48)],\ b=[(49)][(50)]$である．
私立 成城大学 2012年 第1問あるイベントが，金曜日，土曜日，日曜日に，$1$日$1$回ずつ計$3$回開催される．参加するためには，当日に会場でチケット抽せん申し込みをして，その場で当せんする必要がある．また，一度当せんしたら，それ以降の開催日の抽せんには申し込みできない．当せん確率は，金曜日は$\displaystyle \frac{1}{3}$，土曜日は$\displaystyle \frac{1}{5}$，日曜日は$\displaystyle \frac{1}{7}$である．
$\mathrm{A}$は金曜日から抽せんに申し込み，金曜日にはずれたら必ず土曜日に，土曜日にはずれたら日曜日にも抽せん申し込みをする．
$\mathrm{B}$は土曜日から抽せんに申し込み，はずれたら必ず日曜日にも抽せん申し込みをする．
(1)$\mathrm{A}$がいずれかの日にイベントに参加できる確率を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が同日にイベントに参加できる確率を求めよ．
(3)各日のチケットの金額は，金曜日は$3000$円，土曜日は$5000$円，日曜日は$7000$円である．$\mathrm{A}$が支払う金額の期待値を求めよ．
$\mathrm{A}$は金曜日から抽せんに申し込み，金曜日にはずれたら必ず土曜日に，土曜日にはずれたら日曜日にも抽せん申し込みをする．
$\mathrm{B}$は土曜日から抽せんに申し込み，はずれたら必ず日曜日にも抽せん申し込みをする．
(1)$\mathrm{A}$がいずれかの日にイベントに参加できる確率を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が同日にイベントに参加できる確率を求めよ．
(3)各日のチケットの金額は，金曜日は$3000$円，土曜日は$5000$円，日曜日は$7000$円である．$\mathrm{A}$が支払う金額の期待値を求めよ．
公立 釧路公立大学 2012年 第2問以下の各問に答えよ．
(1)次の式の展開式における$x^3y^3$の項の係数を求めよ．$(x-2y)^6$
(2)アタリくじ$3$枚とハズレくじ$7$枚が入っている箱がある．この箱からくじを$3$枚同時に取り出し，取り出されたアタリくじ$1$枚について$500$円を受け取るゲームがある．このゲームの参加料が何円未満であれば，このゲームに参加することが得であるといえるか求めよ．
(3)$3$辺が$\mathrm{AB}=12$，$\mathrm{BC}=13$，$\mathrm{CA}=5$である$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円と辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$の接点を，それぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{BP}$の長さと内接円の半径を求めよ．
(1)次の式の展開式における$x^3y^3$の項の係数を求めよ．$(x-2y)^6$
(2)アタリくじ$3$枚とハズレくじ$7$枚が入っている箱がある．この箱からくじを$3$枚同時に取り出し，取り出されたアタリくじ$1$枚について$500$円を受け取るゲームがある．このゲームの参加料が何円未満であれば，このゲームに参加することが得であるといえるか求めよ．
(3)$3$辺が$\mathrm{AB}=12$，$\mathrm{BC}=13$，$\mathrm{CA}=5$である$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円と辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$の接点を，それぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{BP}$の長さと内接円の半径を求めよ．