次の$[　]$に適する答を記入せよ．

(1)等式$xy+3x-y-3=5$を満たす自然数$x,\ y$は$x=[　]$，$y=[　]$である．
(2)$\mathrm{O}$を原点とする座標平面に$2$点$\mathrm{A}(\cos \theta,\ \sin \theta)$と$\mathrm{B}(\cos 2\theta,\ \sin 2\theta) (0 \leqq \theta \leqq \pi)$がある．このとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が垂直になるのは$\theta=[　]$のときであり，$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=1$となるのは$\theta=[　]$のときである．
(3)$a,\ b$を実数の定数とする．方程式$x^3+ax+b=0$の$1$つの解が$1+\sqrt{2}i$であるとき，$a=[　]$である．また，この方程式の実数解は$[　]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．

原点をOとする座標平面上のベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$は$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=\sqrt{17},\ |\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=\sqrt{10}$を満たし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角$\theta$が$\displaystyle \cos \theta =- \frac{13}{\sqrt{170}}$を満たしている．ベクトル$\overrightarrow{u},\ \overrightarrow{v}$を$\displaystyle \overrightarrow{u} = \frac{\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}}{2},\ \overrightarrow{v}=\frac{\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}}}{2}$で定める．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)長さ$|\overrightarrow{u}|,\ |\overrightarrow{v}|$と内積$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}$を求めなさい．
(2)実数$t$に対して$\overrightarrow{\mathrm{OP}} = t \overrightarrow{u}+(1-t)\overrightarrow{v}$とおく．長さ$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$を最小にする$t$の値を求めなさい．また，そのときの長さ$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$を求めなさい．

$a,\ b$を正の実数とし，座標平面上の放物線$C : y = ax^2 +b$を考える．$t,\ s$は正の実数とし，点P$(t,\ at^2 +b)$における$C$の接線を$\ell_P$，点Q$(s,\ as^2 +b)$における$C$の接線を$\ell_Q$で表す．$\ell_P$は原点を通っているとする．次の問いに答えよ．

(1)$\ell_P$の傾きが1未満となるための必要十分条件を，$a$と$b$を用いて表せ．
(2)$\ell_P$の傾きは1未満とし，$\ell_P$と$x$軸がなす鋭角を$\theta$と表す．Qを$\ell_Q$と$x$軸のなす鋭角が$2\theta$になるようにとるとき，$\ell_Q$の傾きを$a$と$b$を用いて表せ．
(3)$a,\ b$が$\displaystyle a+b = \frac{1}{2}$をみたすとき，$\ell_P$の傾きは1未満であることを示せ．
(4)$a,\ b$は$\displaystyle a+b = \frac{1}{2}$をみたすものとし，Qを(2)のようにとる．$\ell_Q$の傾きが最大になるような$a,\ b$を求めよ．

$xy$平面上に，原点Oを中心とする半径1の円$C$があり，点Pは円$C$の周上を動く．また点Pを中心とする半径$r$の円$D$の周上には点Qがある．いま，点Pが点$(1,\ 0)$から円$C$上を反時計回りに動き，同時に点Qは点$(1+r,\ 0)$から円$D$上を時計回りに動く．ただし，点Pは円$C$上で，点Qは円$D$上でともに等速円運動を行い，点Pが円$C$を一周したとき点Qも円$D$を一周する．次の問いに答えよ．

(1)点Pが円$C$を一周したとき，点Qの軌跡はどのような図形になるか，図示せよ．
(2)$(1)$の図形を$y$軸のまわりに回転させた時にできる立体の体積$V$を$r$の関数として表し，そのグラフの概形を描け．

原点をOとする座標平面上に2点P$(a,\ c)$およびQ$(b,\ d)$をとり，$\triangle$OPQを考える．線分OPが$x$軸の正の部分となす角を$\theta$とする．ただし，$\theta$は時計の針の回転と逆の向きを正とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\sin \theta$と$\cos \theta$を$a,\ c$の式で表せ．
(2)点Qを原点の周りに$-\theta$だけ回転させた点を$(x,\ y)$とするとき，$x,\ y$を$a,\ b,\ c,\ d$で表せ．
(3)$\triangle$OPQの面積を$a,\ b,\ c,\ d$で表せ．
(4)一次変換
\[ A=\biggl( \begin{array}{cc}
\sqrt{2}+\sqrt{5} & 3 \\
1 & \sqrt{2}-\sqrt{5}
\end{array} \biggr) \]
によって，点P，Qがそれぞれ点P$^\prime$，Q$^\prime$に移されるものとする．$\triangle$OP$^\prime$Q$^\prime$の面積は$\triangle$OPQの何倍か．

Oを原点とする座標平面において，曲線$y=x^3$上の点P$(t,\ t^3)$から$x$軸に下ろした垂線と$x$軸との交点をHとする．ただし，$t>0$である．Hを通り線分OPに垂直な直線と$y$軸との交点をQとし，線分HQと線分OPの交点をRとする．$\triangle$ORQの面積を$S_1$，$\triangle$HPRの面積を$S_2$とする．以下の問いに答えよ．

(1)点Qの$y$座標を求めよ．
(2)点Rの$x$座標を求めよ．
(3)$S_1$と$S_2$を$t$の式で表せ．
(4)$\displaystyle \lim_{t \to \infty} S_1S_2$の値を求めよ．
(5)$S_1+S_2$の最小値を求めよ．

座標空間内に原点Oを通らない平面$\alpha$がある．原点から平面$\alpha$に垂線OHを下ろす．このとき，次の問いに答えよ．

(1)Pを平面$\alpha$上の点とする．$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OH}}=\overrightarrow{\mathrm{OH}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OH}}$を示せ．
(2)平面$\alpha$が3点A$(1,\ 1,\ 1)$，B$(3,\ 0,\ 1)$，C$(-1,\ 1,\ 0)$を通るとき，点Hの座標を求めよ．

2次の正方行列$A$の表す1次変換を$f$とする．(すなわち，行列$A$で表される座標平面上の点の移動を$f$とする．) \ $f$により，点$(1,\ 1)$は点$(2,\ 2)$に移り，点$(1,\ -1)$は点$(-1,\ 1)$に移る．次の問いに答えよ．

(1)行列$A$を求めよ．
(2)$f$によって自分自身に移る点は原点のみであることを証明せよ．
(3)直線$y=ax$上のすべての点が$f$によって$x$軸上に移る．このとき，$a$を求めよ．

$2$つの放物線$\ell_1:y=x^2$と$\ell_2:y=-2x^2+3x+k$（$k$は定数）がある．以下の問に答えよ．

(1)$\ell_1$と$\ell_2$が接するときの$k$の値と，接点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(2)$\ell_1$と$\ell_2$が接するとき，$\mathrm{OQ}=\mathrm{PQ}$となるような$\ell_2$上の点$\mathrm{Q}$の$x$座標を求めよ．ただし，$\mathrm{O}$は原点である．

空間の3点A，B，Cは同一直線上にはないものとし，原点をOとする．空間の点Pの位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$が，$x+y+z=1$を満たす正の実数$x,\ y,\ z$を用いて，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=x \overrightarrow{\mathrm{OA}}+y \overrightarrow{\mathrm{OB}} +z\overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
と表されているとする．

(1)直線APと直線BCは交わり，その交点をDとすれば，DはBCを$z:y$に内分し，PはADを$(1-x):x$に内分することを示せ．
(2)$\triangle$PAB，$\triangle$PBCの面積をそれぞれ$S_1,\ S_2$とすれば，
\[ \frac{S_1}{z}=\frac{S_2}{x} \]
が成り立つことを示せ．