座標平面上の$2$直線$\ell:x \sin \theta-y \cos \theta=0$（ただし$0^\circ \leqq \theta<180^\circ$），$\displaystyle m:y=\frac{1}{\sqrt{3}}x$を考える．$\ell$，$m$に関する対称移動をそれぞれ$f,\ g$とする．

(1)対称移動$f$を表す行列を求めよ．
(2)移動の合成$f \circ g$が原点のまわりの回転移動となることを示せ．また，その回転角を$\theta$を用いて表せ．
(3)移動の合成$f \circ g$を表す行列と$g \circ f$を表す行列が一致するときの$\theta$を求めよ．ただし，$f$と$g$は異なる移動とする．

$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上で曲線$C:y=x |x-k|$（ただし$k$は正の定数）と直線$\ell:y=mx$が原点以外に$2$点$\mathrm{P}(\alpha,\ m \alpha)$，$\mathrm{Q}(\beta,\ m \beta)$で交わっている．ただし$0<\alpha<\beta$とする．

(1)$m$の範囲を$k$で表せ．
(2)$C$と$\ell$で囲まれた$2$つの図形の面積の和$S$を$m$と$k$で表せ．
(3)$S$が最小となるときの$m$を$k$で表せ．
(4)$(3)$のとき，$\displaystyle \frac{\mathrm{OQ}}{\mathrm{OP}}=\sqrt{2}$であることを示せ．

$x$-$y$平面上の$3$点を
\[ \mathrm{A}(0,\ 9),\quad \mathrm{B}(-3,\ 0),\quad \mathrm{C}(2,\ 0) \]
とし，原点を$\mathrm{O}$とする．このとき，次の各問に答えよ．空欄にあてはまる最もかんたんな数値を解答欄に記入せよ．

(1)$\mathrm{AC}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{D}$とし，$\mathrm{BD}$が$y$軸と交わる点を$\mathrm{E}$とするとき，$\mathrm{OE}:\mathrm{EA}=[　]:[　]$である．
(2)$\mathrm{CE}$を延長して，$\mathrm{AB}$と交わる点を$\mathrm{F}$とするとき，$\triangle \mathrm{AFC}$の面積は，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積の$\displaystyle\frac{[　]}{[　]}$である．

$\mathrm{O}$を原点とする座標平面に点$\mathrm{A}(4,\ 6)$，$\mathrm{B}(6,\ -4)$がある．直線$y=x$に関して点$\mathrm{A}$と対称な点を$\mathrm{P}$，点$\mathrm{B}$に関して点$\mathrm{A}$と対称な点を$\mathrm{Q}$とする．

(1)点$\mathrm{P}$の座標は$([ク],\ [ケ])$である．
(2)点$\mathrm{Q}$の座標は$([コ],\ [サシス])$である．
(3)$\triangle \mathrm{PAB}$の面積は$[セ]$である．
(4)$\triangle \mathrm{PAQ}$の面積は$[ソタ]$である．

$2$平面$\pi_1$，$\pi_2$がある．$\pi_1$は$3$点$(1,\ 1,\ 7)$，$(2,\ 1,\ 5)$，$(1,\ 2,\ 5)$を通り，$\pi_2$は$3$点$(2,\ 1,\ 5)$，$(2,\ 3,\ 4)$，$(6,\ 0,\ 5)$を通る．

(1)平面$\pi_2$上の点$(x,\ y,\ z)$は関係式$x+[ソ]y+[タ]z-[$4$][チ]=0$を満たす．
(2)$2$平面$\pi_1$，$\pi_2$の交線は点$\mathrm{A}(-2,\ [ツ],\ [テ])$を通る．
(3)$2$平面の交線に垂直で平面$\pi_1$に平行なベクトル$\overrightarrow{a}$は$([ト],\ [ナ],\ -2)$で，$2$平面の交線に垂直で平面$\pi_2$に平行なベクトル$\overrightarrow{b}$は$([$1$][ニ],\ 10,\ -[ヌ])$である．
(4)$\mathrm{O}$を原点とすると，$2$平面$\pi_1$，$\pi_2$に接する半径$15$の球面の中心$\mathrm{P}$が
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}} = \overrightarrow{\mathrm{OA}} + s\overrightarrow{a} + t\overrightarrow{b} \quad (s>0,\ t>0) \]
を満たすとき，$\mathrm{P}$の座標は$([$2$][ネ],\ [$1$][ノ],\ -22)$である．

数列$\{a_n\}$を初項$1$，公差$\displaystyle \frac{1}{2}$の等差数列，$\{b_n\}$を初項$2$，公比$\displaystyle \frac{1}{2}$の等比数列とし，$\{c_n\}$を$c_1=3$，$c_{n+1}-c_n=n+1$で定まる数列とする．また，$\mathrm{O}$を原点とする座標空間の点$(a_n,\ b_n,\ c_n)$を$\mathrm{P}_n$とする．

(1)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}_n}=\left( \frac{[キ]}{[ク]} (n+[ケ]),\ 2^{[コ]-n},\ \frac{[サ]}{[シ]}(n^2+n+[ス]) \right)$である．

(2)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1}}=\left( \frac{[セ]}{[ソ]},\ -[タ]^{1-n},\ n+[チ] \right)$である．

(3)$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1}}|>100$となるような最小の自然数$n$は$[ツテ]$である．

座標平面上に

円$C:x^2+y^2=10$
直線$\ell:y=-x+4$

があり，円$C$と直線$\ell$の交点を$\mathrm{P}(x_1,\ y_1)$，$\mathrm{Q}(x_2,\ y_2)$とする．ただし，$x_1>x_2$とする．

(1)$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の座標をそれぞれ求めよ．また，線分$\mathrm{PQ}$の長さを求めよ．
(2)$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$における円$C$の接線をそれぞれ$\ell_1$，$\ell_2$とおく．$\ell_1$と$\ell_2$の方程式を求めよ．また，$\ell_1$，$\ell_2$の交点$\mathrm{R}$の座標と線分$\mathrm{PR}$の長さを求めよ．
(3)原点$\mathrm{O}$と直線$\ell$の距離$d$を求めよ．また，三角形$\mathrm{OPQ}$の面積$S$を求めよ．

$xy$平面上に直線
\[ (5k+3)x-(3k+5)y-10k+10=0 \]
がある．ただし，$k$は実数とする．

(1)$k=1$と$k=2$のときの直線の方程式をそれぞれ求め，さらに，これら$2$直線の交点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．
(2)$k=0$のときの直線に垂直で，かつ点$\mathrm{A}$を通る直線$\ell_1$の方程式を求めよ．
(3)原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{A}$を結ぶ線分$\mathrm{OA}$を$2:3$に内分する点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．また，点$\mathrm{B}$を通り，直線$\ell_1$に平行な直線$\ell_2$の方程式を求めよ．

曲線$C:y=e^{ax} (a \neq 0)$について次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)$C$上の点$(t,\ e^{at})$における接線の方程式を求めよ．さらに，この接線が原点$\mathrm{O}$を通るとき，この接線を$\ell$と表す．接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)接線$\ell$，曲線$C$および$y$軸で囲まれた図形$D$の面積が$1$となるような$a$の値を求めよ．
(3)図形$D$を$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積が$\pi$となるような$a$の値を求めよ．

$xy$平面上に直線
\[ (5k+3)x-(3k+5)y-10k+10=0 \]
がある．ただし，$k$は実数とする．

(1)$k=1$と$k=2$のときの直線の方程式をそれぞれ求め，さらに，これら$2$直線の交点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．
(2)$k=0$のときの直線に垂直で，かつ点$\mathrm{A}$を通る直線$\ell_1$の方程式を求めよ．
(3)原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{A}$を結ぶ線分$\mathrm{OA}$を$2:3$に内分する点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．また，点$\mathrm{B}$を通り，直線$\ell_1$に平行な直線$\ell_2$の方程式を求めよ．