$xy$平面上の原点を中心として半径1の円$C$を考える．$\displaystyle 0 \leqq \theta < \frac{\pi}{2}$とし，$C$上の点$(\cos \theta,\ \sin \theta)$をPとする．Pで$C$に接し，さらに$y$軸と接する円でその中心が円$C$の内部にあるものを$S$とし，その中心Qの座標を$(u,\ v)$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$u$と$v$をそれぞれ$\cos \theta$と$\sin \theta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle 0 \leqq \theta < \frac{\pi}{2}$としたとき，点Qの軌跡の式を求めよ．さらに，その軌跡を図示せよ．
(3)円$S$の面積を$D(\theta)$とするとき，次の値を求めよ．
\[ \lim_{\theta \to \frac{\pi}{2}} \frac{D(\theta)}{\left( \displaystyle \frac{\pi}{2}-\theta \right)^2} \]

原点をOとする座標平面上，長方形ABCDが図のように頂点Aは$y$軸の正の部分に，頂点Bは$x$軸の正の部分に，頂点C，Dは第1象限内におかれている．$\text{AB}=2,\ \text{BC}=1$とし$\angle \text{OAB}=t$とおく．ただし，$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)長方形ABCDの周で$y \leqq 1$にある部分の長さを$f(t)$とおく．$f(t)$を求めよ．
(2)$f(t)=3$が成り立つときの$\cos t,\ \sin t$の値を求めよ．
(3)$t$が$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$f(t)$の最小値とそのときの$t$の値を求めよ．

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（図は省略）

原点を中心とする半径1の円を$C_1$とする．$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{4}$を満たす定数$\theta$に対して，$C_1$上に点P$(\sin \theta,\ \cos \theta)$，点Q$(-\cos \theta,\ -\sin \theta)$，点R$(-\sin \theta,\ -\cos \theta)$をとる．さらに，Pを中心とし，Qを通る円を$C_2$，Rを中心とし，Qを通る円を$C_3$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$C_2$と$C_3$の2つの交点のうち，Qと異なる点をSとする．このとき，$C_1$はSを通ることを証明せよ．
(2)Sの座標を$\theta$を用いて表せ．
(3)$C_2$と$C_3$で囲まれた部分の面積を求めよ．

原点のまわりの角$\alpha$の回転移動$f$を表す行列を$F$とおき，$0^\circ \leqq \beta <90^\circ$として，直線$y=(\tan \beta)x$に関する対称移動$g$を表す行列を$G$とおく．また，合成移動$g \circ f$を表す行列を$H$とおく．

(1)$H$を求めよ．
(2)$\alpha=\alpha_1$のときの$H$を$H_1$，$\alpha=\alpha_2$のときの$H$を$H_2$とするとき，行列の積$H_2H_1$を求めよ．
(3)$n$を自然数とする．$\alpha=30^\circ,\ \beta=45^\circ$のときの$(FG)^n$を求めよ．

Oを原点とする座標空間の2点A$(0,\ 0,\ 2)$，P$(\cos \theta,\ 2+\sin \theta,\ 1)$に対して，直線AP上の点で原点Oから最も近い点をQ$(X,\ Y,\ Z)$とする．$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$として，次に答えよ．

(1)$X,\ Y,\ Z$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$\theta$が$\displaystyle 0,\ \pi,\ \frac{3}{2}\pi$のときの点Qの位置ベクトルをそれぞれ$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$とする．$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$のとき，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}+u\overrightarrow{c}$をみたす実数$s,\ t,\ u$を$\theta$を用いて表せ．また，$s+t+u$の値を求めよ．
(3)点Qから$xy$平面にひいた垂線と$xy$平面の交点をR$(X,\ Y,\ 0)$とする．$\theta$が$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$の範囲を動くとき，$xy$平面における点Rの軌跡を求めよ．

座標平面における4分の1円：$x^2+y^2 \leqq 1 \ (x \geqq 0,\ y \geqq 0)$を，原点を通り$x$軸の正の向きと$\theta$の角をなす直線のまわりに1回転させてできる立体の体積を$V(\theta)$とおく．

(1)$\displaystyle V(0),\ V \left( \frac{\pi}{4} \right)$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$のとき$V(\theta)$を求めよ．
(3)$\theta$が$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$V(\theta)$が最小となる$\theta$を求めよ．

座標平面における4分の1円：$x^2+y^2 \leqq 1 \ (x \geqq 0,\ y \geqq 0)$を，原点を通り$x$軸の正の向きと$\theta$の角をなす直線のまわりに1回転させてできる立体の体積を$V(\theta)$とおく．

(1)$\displaystyle V(0),\ V \left( \frac{\pi}{4} \right)$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$のとき$V(\theta)$を求めよ．
(3)$\theta$が$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$V(\theta)$が最小となる$\theta$を求めよ．

座標平面における4分の1円：$x^2+y^2 \leqq 1 \ (x \geqq 0,\ y \geqq 0)$を，原点を通り$x$軸の正の向きと$\theta$の角をなす直線のまわりに1回転させてできる立体の体積を$V(\theta)$とおく．

(1)$\displaystyle V(0),\ V \left( \frac{\pi}{4} \right)$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$のとき$V(\theta)$を求めよ．
(3)$\theta$が$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$V(\theta)$が最小となる$\theta$を求めよ．

座標空間の原点を$\mathrm{O}$とし，$2$点$\mathrm{A}(2,\ -1,\ 4)$，$\mathrm{B}(k,\ -k,\ 2)$について，線分$\mathrm{AB}$を$1:4$に内分する点を$\mathrm{P}$とする．このとき，次の問いに答えよ．ただし，$k$は定数で$k>0$とする．

(1)点$\mathrm{P}$の座標を$k$を用いて表せ．
(2)直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{OP}$が直交するとき，$k$の値を求めよ．
(3)(2)で求めた$k$について，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を求めよ．

$n$を自然数とするとき，次の問いに答えよ．

(1)不定積分$\displaystyle \int \pi (x+\pi) \sin \pi x \, dx$を求めよ．
(2)下の図のように，曲線$y = \pi(x+ \pi) \sin \pi x \ (0 \leqq x \leqq 2n-1)$と$x$軸とで囲まれた図形の$x$軸より上側にある部分を，原点側から順にP$_1$，P$_2$，P$_3$，$\cdots$，P$_n$と分けるとき，図形P$_k$の面積$S_k \ (k = 1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ n)$を$k$の式で表せ．
（図は省略）
(3)(2)の$S_k$に対して，$\displaystyle \sum_{k=1}^n S_k$を$n$の式で表せ．