「原点」について
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国立 長崎大学 2010年 第4問$a$を$a>1$を満たす定数とする．原点Oと点P$(1,\ 0)$を線分で結び，点Pと点Q$(a,\ \log a)$を曲線$y=\log x$で結ぶ．このようにして得られる曲線OPQを，$y$軸の周りに1回転させてできる立体の容器を考える．ただし，OPを含む部分を底面として，水平に置くものとする．次の問いに答えよ．
(1)この容器の容積$V$を$a$を用いて表せ．
(2)$m$を正の定数とする．この容器に，単位時間あたり$m$の水を一定の割合で注ぎ入れる．ただし，最初は水が全く入っていない状態とする．注ぎ始めてから時間$\displaystyle t \ \left( 0<t<\frac{V}{m} \right)$が経過したとき，底面から水面までの高さを$h$，水面の上昇する速度を$v$とする．$h$および$v$を$m,\ t$を用いて表せ．
(1)この容器の容積$V$を$a$を用いて表せ．
(2)$m$を正の定数とする．この容器に，単位時間あたり$m$の水を一定の割合で注ぎ入れる．ただし，最初は水が全く入っていない状態とする．注ぎ始めてから時間$\displaystyle t \ \left( 0<t<\frac{V}{m} \right)$が経過したとき，底面から水面までの高さを$h$，水面の上昇する速度を$v$とする．$h$および$v$を$m,\ t$を用いて表せ．
国立 千葉大学 2010年 第6問数直線の原点上にある点が，以下の規則で移動する試行を考える． \\
\quad （規則） サイコロを振って出た目が奇数の場合は，正の方向に1移動し，出た目が偶数の場合は，負の方向に1移動する． \\
$k$回の試行の後の，点の座標を$X(k)$とする．
(1)$X(10)=0$である確率を求めよ．
(2)$X(1) \neq 0,\ X(2) \neq 0,\ \cdots,\ X(5) \neq 0$であって，かつ，$X(6)=0$となる確率を求めよ．
(3)$X(1) \neq 0,\ X(2) \neq 0,\ \cdots,\ X(9) \neq 0$であって，かつ，$X(10)=0$となる確率を求めよ．
\quad （規則） サイコロを振って出た目が奇数の場合は，正の方向に1移動し，出た目が偶数の場合は，負の方向に1移動する． \\
$k$回の試行の後の，点の座標を$X(k)$とする．
(1)$X(10)=0$である確率を求めよ．
(2)$X(1) \neq 0,\ X(2) \neq 0,\ \cdots,\ X(5) \neq 0$であって，かつ，$X(6)=0$となる確率を求めよ．
(3)$X(1) \neq 0,\ X(2) \neq 0,\ \cdots,\ X(9) \neq 0$であって，かつ，$X(10)=0$となる確率を求めよ．
国立 宮崎大学 2010年 第1問座標平面上に原点O$(0,\ 0)$と点A$(3,\ 0)$がある．自然数$n$に対して，点B$_n(0,\ n)$をとり，$\triangle$AB$_n$Oの境界を除いた内部に含まれる格子点の個数を$a_n$とする．ただし，$x$座標と$y$座標がともに整数の点を格子点という．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$a_1,\ a_2,\ a_3$の値を求めよ．
(2)自然数$k$に対して，$n=3k$とする．このとき，$\triangle$AB$_n$Oの境界を除いた内部に含まれる格子点のうち，$x$座標が1であるものの個数を，$k$を用いて表せ．
(3)自然数$k$に対して，$a_{3k}$を，$k$を用いて表せ．
(4)$S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n$とする．自然数$m$に対して，$S_{3m}$を，$m$を用いて表せ．
(1)$a_1,\ a_2,\ a_3$の値を求めよ．
(2)自然数$k$に対して，$n=3k$とする．このとき，$\triangle$AB$_n$Oの境界を除いた内部に含まれる格子点のうち，$x$座標が1であるものの個数を，$k$を用いて表せ．
(3)自然数$k$に対して，$a_{3k}$を，$k$を用いて表せ．
(4)$S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n$とする．自然数$m$に対して，$S_{3m}$を，$m$を用いて表せ．
国立 東京医科歯科大学 2010年 第3問$xy$平面において，次の円$C$と楕円$E$を考える．
\begin{eqnarray}
& & C:x^2+y^2=1 \nonumber \\
& & E:x^2+\frac{y^2}{2}=1 \nonumber
\end{eqnarray}
また，$C$上の点$\mathrm{P}(s,\ t)$における$C$の接線を$\ell$とする．このとき以下の各問いに答えよ．
(1)$\ell$の方程式を$s,\ t$を用いて表せ．
以下，$t>0$とし，$E$が$\ell$から切り取る線分の長さを$L$とする．
(2)$L$を$t$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{P}$が動くとき，$L$の最大値を求めよ．
(4)$L$が(3)で求めた最大値をとるとき，$\ell$と$E$が囲む領域のうち，原点を含まない領域の面積を$A$とする．$A$の値を求めよ．
\begin{eqnarray}
& & C:x^2+y^2=1 \nonumber \\
& & E:x^2+\frac{y^2}{2}=1 \nonumber
\end{eqnarray}
また，$C$上の点$\mathrm{P}(s,\ t)$における$C$の接線を$\ell$とする．このとき以下の各問いに答えよ．
(1)$\ell$の方程式を$s,\ t$を用いて表せ．
以下，$t>0$とし，$E$が$\ell$から切り取る線分の長さを$L$とする．
(2)$L$を$t$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{P}$が動くとき，$L$の最大値を求めよ．
(4)$L$が(3)で求めた最大値をとるとき，$\ell$と$E$が囲む領域のうち，原点を含まない領域の面積を$A$とする．$A$の値を求めよ．
国立 東京医科歯科大学 2010年 第3問$xy$平面において，次の円$C$と楕円$E$を考える．
\begin{eqnarray}
& & C:x^2+y^2=1 \nonumber \\
& & E:x^2+\frac{y^2}{2}=1 \nonumber
\end{eqnarray}
また，$C$上の点P$(s,\ t)$における$C$の接線を$\ell$とする．このとき以下の各問いに答えよ．
(1)$\ell$の方程式を$s,\ t$を用いて表せ．
以下，$t>0$とし，$E$が$\ell$から切り取る線分の長さを$L$とする．
(2)$L$を$t$を用いて表せ．
(3)Pが動くとき，$L$の最大値を求めよ．
(4)$L$が(3)で求めた最大値をとるとき，$\ell$と$E$が囲む領域のうち，原点を含まない領域の面積を$A$とする．$A$の値を求めよ．
\begin{eqnarray}
& & C:x^2+y^2=1 \nonumber \\
& & E:x^2+\frac{y^2}{2}=1 \nonumber
\end{eqnarray}
また，$C$上の点P$(s,\ t)$における$C$の接線を$\ell$とする．このとき以下の各問いに答えよ．
(1)$\ell$の方程式を$s,\ t$を用いて表せ．
以下，$t>0$とし，$E$が$\ell$から切り取る線分の長さを$L$とする．
(2)$L$を$t$を用いて表せ．
(3)Pが動くとき，$L$の最大値を求めよ．
(4)$L$が(3)で求めた最大値をとるとき，$\ell$と$E$が囲む領域のうち，原点を含まない領域の面積を$A$とする．$A$の値を求めよ．
国立 徳島大学 2010年 第1問放物線$\displaystyle y=\frac{2}{3}x^2$を$C_1$とし，円$x^2+y^2=1$の$y \geqq 0$を満たす部分を$C_2$とする．$C_1$と$C_2$の交点をP，Qとし，原点をOとする．
(1)P，Qの座標を求めよ．
(2)扇形OPQの面積を求めよ．
(3)$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)P，Qの座標を求めよ．
(2)扇形OPQの面積を求めよ．
(3)$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．
国立 大分大学 2010年 第3問曲線$y=x^2$を$C$とする．$k>0$について，直線$y=kx$を$\ell_1$とし，原点を通り直線$\ell_1$に垂直な直線を$\ell_2$とする．
(1)曲線$C$と直線$\ell_2$の交点の座標を求めなさい．
(2)曲線$C$と直線$\ell_1$とで囲まれる部分の面積を$S_1$，曲線$C$と直線$\ell_2$とで囲まれる部分の面積を$S_2$とする．$S_1,\ S_2$をそれぞれ$k$の式で表しなさい．
(3)$S_1+S_2$の最小値を求めなさい．
(1)曲線$C$と直線$\ell_2$の交点の座標を求めなさい．
(2)曲線$C$と直線$\ell_1$とで囲まれる部分の面積を$S_1$，曲線$C$と直線$\ell_2$とで囲まれる部分の面積を$S_2$とする．$S_1,\ S_2$をそれぞれ$k$の式で表しなさい．
(3)$S_1+S_2$の最小値を求めなさい．
国立 大分大学 2010年 第2問曲線$y=x^2$を$C$とする．$k>0$について，直線$y=kx$を$\ell_1$とし，原点を通り直線$\ell_1$に垂直な直線を$\ell_2$とする．
(1)曲線$C$と直線$\ell_2$の交点の座標を求めなさい．
(2)曲線$C$と直線$\ell_1$とで囲まれる部分の面積を$S_1$，曲線$C$と直線$\ell_2$とで囲まれる部分の面積を$S_2$とする．$S_1,\ S_2$をそれぞれ$k$の式で表しなさい．
(3)$S_1+S_2$の最小値を求めなさい．
(1)曲線$C$と直線$\ell_2$の交点の座標を求めなさい．
(2)曲線$C$と直線$\ell_1$とで囲まれる部分の面積を$S_1$，曲線$C$と直線$\ell_2$とで囲まれる部分の面積を$S_2$とする．$S_1,\ S_2$をそれぞれ$k$の式で表しなさい．
(3)$S_1+S_2$の最小値を求めなさい．
国立 福井大学 2010年 第3問$k$は実数で，$k>1$とする．このとき，Oを原点とする座標平面上の2つの曲線
\[ C_1:x^2+y^2=1,\quad C_2:y=kx^2-\frac{5}{4} \]
は，$x$座標が正となる2つの交点A，Bを持つ．以下の問いに答えよ．
(1)A，Bの$x$座標をそれぞれ$\alpha,\ \beta$とおく．$\alpha^2+\beta^2$および$\alpha^2 \beta^2$を$k$を用いて表せ．
(2)線分ABの長さを求めよ．
(3)$\angle \text{AOB}=150^\circ$のとき，$k$の値を求めよ．
\[ C_1:x^2+y^2=1,\quad C_2:y=kx^2-\frac{5}{4} \]
は，$x$座標が正となる2つの交点A，Bを持つ．以下の問いに答えよ．
(1)A，Bの$x$座標をそれぞれ$\alpha,\ \beta$とおく．$\alpha^2+\beta^2$および$\alpha^2 \beta^2$を$k$を用いて表せ．
(2)線分ABの長さを求めよ．
(3)$\angle \text{AOB}=150^\circ$のとき，$k$の値を求めよ．
国立 福井大学 2010年 第4問$k$を実数とする．Oを原点とする座標平面上の曲線$C:y=\log x -k$について，$C$の接線のうちOを通るものを$\ell_1$とし，その接点をPとする．以下の問いに答えよ．
(1)$\ell_1$の方程式を，$k$を用いて表せ．
(2)点Pにおける$C$の法線を$\ell_2$とし，$\ell_2$と$x$軸との交点の$x$座標を$\alpha$とおく．$\alpha$を$k$を用いて表せ．さらに，$\alpha$が最小となる$k$の値および$\alpha$の最小値を求めよ．
(3)$k$を(2)で求めた値とするとき，$C$と$\ell_1$および$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)$\ell_1$の方程式を，$k$を用いて表せ．
(2)点Pにおける$C$の法線を$\ell_2$とし，$\ell_2$と$x$軸との交点の$x$座標を$\alpha$とおく．$\alpha$を$k$を用いて表せ．さらに，$\alpha$が最小となる$k$の値および$\alpha$の最小値を求めよ．
(3)$k$を(2)で求めた値とするとき，$C$と$\ell_1$および$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．