座標平面上を運動する点Pの時刻$t$における座標を
\[ x=e^t \cos t, y=e^t \sin t \]
とするとき，次の問に答えよ．

(1)時刻$t$における点Pの速度$\overrightarrow{v}$およびその大きさ$|\overrightarrow{v}|$を求めよ．
(2)$\displaystyle t=\frac{\pi}{2}$のとき，ベクトル$\overrightarrow{v}$が$x$軸の正の向きとのなす角$\alpha$を求めよ．
(3)原点をOとするとき，ベクトル$\overrightarrow{v}$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$のなす角$\theta$は一定であることを示し，$\theta$を求めよ．

行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
-b & c
\end{array} \biggr)$で表される座標平面上の点の移動を考える．原点を通る直線$\ell$上のすべての点が$\ell$上の点に移されるとき，この移動によって$\ell$はそれ自身に移されるということにする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)原点を通る直線で，この移動によってそれ自身に移されるものがちょうど2つ存在するための必要十分条件を，$a,\ b,\ c$を用いて表せ．
(2)$a,\ b,\ c$が(1)の条件をみたすとき，(1)の2つの直線は，直線$y=x$に関して対称であることを証明せよ．

原点を中心とする半径2の円を$C$とする．$a$を実数とし，点$(a,\ 4)$から円$C$へ2本の接線を引き，その接点をP$_1$，P$_2$とする．P$_1$，P$_2$を通る直線が$a$の値にかかわらず定点を通ることを示せ．また，その定点の座標を求めよ．

原点をOとする．$A=\left( \begin{array}{cc}
1 & 2 \\
2 & 1
\end{array} \right)$で表される移動を$f$とし，$f$により点$\mathrm{P}(\cos \theta,\ \sin \theta)$は点$\mathrm{Q}$に移るとする．ただし，$0<\theta<\pi$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)線分$\mathrm{OQ}$の長さのとりうる値の範囲を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積の最大値およびそのときの$\theta$の値を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$から直線$\mathrm{OQ}$に引いた垂線の長さを$\theta$を用いて表せ．
(4)$\mathrm{P}_1=\mathrm{P},\ \mathrm{P}_2=\mathrm{Q}$とし，$f$により点$\mathrm{P}_{n-1}$が移る点を$\mathrm{P}_n \ (n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots)$とおく．点$\mathrm{P}_1,\ \mathrm{P}_2,\ \mathrm{P}_3,\ \cdots,\ \mathrm{P}_n,\ \cdots$が1直線上にあるとき，$\theta$の値を求めよ．

座標平面に原点O$(0,\ 0)$，点A$(-1,\ 3)$，点B$(4,\ 8)$がある．さらに，2次関数$y=f(x)$のグラフ$G$と円$C$はそれぞれ3点O，A，Bを通るものとする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)$f(x)$を求めよ．
(2)円$C$の中心の座標および半径を求めよ．
(3)グラフ$G$と円$C$との交点のうち，3点O，A，B以外の点の座標を求めよ．

座標平面に原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，点$\mathrm{A}(-1,\ 3)$，点$\mathrm{B}(4,\ 8)$がある．さらに，2次関数$y=f(x)$のグラフ$G$と円$C$はそれぞれ3点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通るものとする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)$f(x)$を求めよ．
(2)円$C$の中心の座標および半径を求めよ．
(3)グラフ$G$と円$C$との交点のうち，3点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$以外の点の座標を求めよ．

座標平面に原点O$(0,\ 0)$，点A$(-1,\ 3)$，点B$(4,\ 8)$がある．さらに，2次関数$y=f(x)$のグラフ$G$と円$C$はそれぞれ3点O，A，Bを通るものとする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)$f(x)$を求めよ．
(2)円$C$の中心の座標および半径を求めよ．
(3)グラフ$G$と円$C$との交点のうち，3点O，A，B以外の点の座標を求めよ．

原点をOとし，空間内に3点A$(4,\ 0,\ 0)$，B$(1,\ 2,\ 0)$，C$(2,\ 1,\ 2)$をとる．線分BCを$t:(1-t) \ (0<t<1)$に内分する点をPとおく．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\triangle$OAPの面積を最小にする$t$の値を求めよ．
(2)Cを通り，3点O，A，Pを通る平面に垂直な直線と$xy$平面との交点をDとする．Dが$\triangle$OABの内部にあるとき，$t$の範囲を求めよ．

座標平面上に原点O$(0,\ 0)$と点A$(3,\ 0)$がある．自然数$n$に対して，点B$_n(0,\ n)$をとり，$\triangle$AB$_n$Oの境界を除いた内部に含まれる格子点の個数を$a_n$とする．ただし，$x$座標と$y$座標がともに整数の点を格子点という．このとき，次の各問に答えよ．

(1)$a_1,\ a_2,\ a_3$の値を求めよ．
(2)自然数$k$に対して，$n=3k$とする．このとき，$\triangle$AB$_n$Oの境界を除いた内部に含まれる格子点のうち，$x$座標が1であるものの個数を，$k$を用いて表せ．
(3)自然数$k$に対して，$a_{3k}$を，$k$を用いて表せ．
(4)$S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n$とする．自然数$m$に対して，$S_{3m}$を，$m$を用いて表せ．

原点を中心とする半径1の円を$C_1$とし，原点を中心とする半径$\displaystyle \frac{1}{2}$の円を$C_2$とする．$C_1$上に点P$_1(\cos \theta,\ \sin \theta)$があり，また，$C_2$上に点P$_2 \displaystyle (\frac{1}{2} \cos 3\theta,\ \frac{1}{2} \sin 3\theta)$がある．ただし，$\displaystyle 0 \leqq \theta < \frac{\pi}{2}$であるとする．線分P$_1$P$_2$の中点をQとし，点Qの原点からの距離を$r(\theta)$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)点Qの$x$座標の取りうる範囲を求めよ．
(2)点Qが$y$軸上にあるときの$\theta$の値を$\alpha$とする．このとき，$\alpha$および定積分
\[ \int_0^\alpha \{r(\theta)\}^2 \, d\theta \]
を求めよ．