点$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上の点$\mathrm{P}_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$の座標を$(x_n,\ y_n)$とする．行列$\left( \begin{array}{cc}
-1 & 2 \\
-1 & 1
\end{array} \right)$で表される移動により，点$\mathrm{P}_n$が点$\mathrm{P}_{n+1}$に移るとき，次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P}_{n+1}$の座標を，$x_n,\ y_n$を用いて表せ．
(2)$(x_1,\ y_1)=(2,\ 1)$とする．すべての$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，
\[ (x_n,\ y_n) = \left(2\sin \frac{n\pi}{2},\ \sin \frac{n\pi}{2}+\cos \frac{n\pi}{2} \right) \]
が成り立つことを，数学的帰納法を用いて証明せよ．

$xy$平面上を原点$(0,\ 0)$から出発して動く点Pがある．1個のさいころを投げ，$1,\ 2$のいずれかの目が出れば点Pを$x$軸の正の方向に1動かし，$3,\ 4,\ 5,\ 6$のいずれかの目が出れば点Pを$y$軸の正の方向に1動かす．これを点Pの$x$座標，$y$座標のいずれか一方が3になるまでくり返すことを操作Aとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)操作Aによって点Pが点$(3,\ 0),\ (3,\ 1),\ (3,\ 2)$に到達する経路はそれぞれ何通りあるか．
(2)操作Aによって点Pの$x$座標が3になる確率を求めよ．
(3)操作Aによって点Pが動く経路の長さの期待値を求めよ．

曲線$y=-x^2+3x$について，以下の問いに答えよ．

(1)曲線$y=-x^2+3x$と$x$軸で囲まれる図形の面積を求めよ．
(2)$a$を$0<a<3$をみたす定数とする．このとき，直線$y=ax$と曲線$y=-x^2+3x$との交点の$x$座標を求めよ．
(3)(1)の図形の面積を二等分する原点を通る直線を求めよ．

点Oを原点とする座標平面上に，2点A$(1,\ 0)$，B$(\cos \theta,\ \sin \theta) \ (90^\circ<\theta<180^\circ)$をとり，以下の条件をみたす2点C，Dを考える．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=1, \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}}=0, \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=0, \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}}=1 \]
また，$\triangle$OABの面積を$S_1$，$\triangle$OCDの面積を$S_2$とおく．

(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OC}},\ \overrightarrow{\mathrm{OD}}$の成分を求めよ．
(2)$S_2=2S_1$が成り立つとき，$\theta$と$S_1$の値を求めよ．
(3)$S=4S_1+3S_2$を最小にする$\theta$と，そのときの$S$の値を求めよ．

$a$を実数とし，$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a+1 & a \\
3 & a+2
\end{array} \biggr)$とする．2点P$(x,\ y)$，Q$(X,\ Y)$について
\[ \biggl( \begin{array}{c}
X \\
Y
\end{array} \biggr) = A \biggl( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \biggr) \]
が成り立つとき，Pは$A$によりQに移るという．

(1)原点以外の点で，$A$によりそれ自身に移るものが存在するとき，$a$を求めよ．
(2)次の条件$(*)$をみたす$a,\ k$を求めよ．
\[ (*) \quad \text{直線} \ell:y=kx+1 \text{上のすべての点は，} \ A \text{により} \ell \text{上の点に移る．} \]
(3)$(*)$をみたす$a,\ k$に対し，直線$\ell$上の点で，$A$によりそれ自身に移るものを求めよ．

放物線$\displaystyle y=\frac{2}{3}x^2$を$C_1$とし，円$x^2+y^2=1$の$y \geqq 0$を満たす部分を$C_2$とする．$C_1$と$C_2$の交点をP，Qとし，原点をOとする．

(1)P，Qの座標を求めよ．
(2)扇形OPQの面積を求めよ．
(3)$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．

直線$y=a(x+2)$と円$x^2+y^2-4x=0$は異なる2点P，Qで交わっているとする．また，線分PQの中点をRとする．

(1)定数$a$の値の範囲を求めよ．
(2)Rの座標を$a$を用いて表せ．
(3)原点Oと点Rの距離を求めよ．
(4)$a$の値が(1)で求めた範囲を動くとき，点Rの軌跡を求めよ．

$xy$平面上を原点$(0,\ 0)$から出発して動く点Pがある．1個のさいころを投げ，$1,\ 2$のいずれかの目が出れば点Pを$x$軸の正の方向に1動かし，$3,\ 4,\ 5,\ 6$のいずれかの目が出れば点Pを$y$軸の正の方向に1動かす．これを点Pの$x$座標，$y$座標のいずれか一方が3になるまでくり返すことを操作Aとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)操作Aによって点Pが点$(3,\ 0),\ (3,\ 1),\ (3,\ 2)$に到達する経路はそれぞれ何通りあるか．
(2)操作Aによって点Pの$x$座標が3になる確率を求めよ．
(3)操作Aによって点Pが動く経路の長さの期待値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)次の連立不等式を解け．
\[ \left\{
\begin{array}{l}
4x^2-4x-15<0 \\
x^2-2x \geqq 0
\end{array}
\right. \]
(2)鈍角三角形ABCにおいて，$\text{BC}=1,\ \text{CA}=\sqrt{3},\ \angle \text{A}=30^\circ$であるとき，ABの長さを求めよ．
(3)原点O，および3点A$(1,\ 0,\ 0)$，B$(0,\ 1,\ 0)$，C$(0,\ 0,\ 1)$がある．$0<s<1$に対して，線分AB，線分CAを$s:(1-s)$に内分する点を，それぞれP，Qとするとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$s$を用いて表せ．
(4)方程式$\displaystyle \left( \log_2\sqrt{x}+\log_2x^2+\log_2\frac{1}{x} \right)^2=9$を解け．
(5)数列$1,\ a,\ b,\ c$はこの順に等差数列であり，数列$a,\ b,\ 1,\ c$はこの順に等比数列であるとする．このとき，$c=1$であることを示せ．

$a$を正の実数とし，$f(x)=x^3-3a^2x$とおく．曲線$C:y=f(x)$の原点Oにおける接線を$\ell_1$，原点以外の任意の点P$(p,\ f(p))$における接線を$\ell_2$とし，2つの直線$\ell_1,\ \ell_2$の交点をQとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)2直線$\ell_1,\ \ell_2$の方程式を求めよ．
(2)点Qの座標を求めよ．
(3)$\triangle$OPQは曲線$C$によって2つの部分に分けられる．このうち，曲線$C$と線分OPで囲まれた図形の面積を$S$，曲線$C$と2直線$\ell_1,\ \ell_2$で囲まれた図形の面積を$T$とするとき，比$S:T$は一定であることを示せ．