座標平面において，原点を中心とする半径$3$の円を$C$，点$(0,\ -1)$を中心とする半径$8$の円を$C^{\, \prime}$とする．$C$と$C^{\, \prime}$にはさまれた領域を$D$とする．

(1)$0 \leqq k \leqq 3$とする．直線$\ell$と原点との距離が一定値$k$であるように$\ell$が動くとき，$\ell$と$D$の共通部分の長さの最小値を求めよ．
(2)直線$\ell$が$C$と共有点をもつように動くとき，$\ell$と$D$の共通部分の長さの最小値を求めよ．

$a$を正の定数とする．原点をOとする座標平面上に定点A = A$(a,\ 0)$と，Aと異なる動点P = P$(x,\ y)$をとる．次の条件
\begin{eqnarray}
& & \text{AからPに向けた半直線上の点Qに対し} \nonumber \\
& & \frac{\text{AQ}}{\text{AP}} \leqq 2 \quad \text{ならば} \quad \frac{\text{QP}}{\text{OQ}} \leqq \frac{\text{AP}}{\text{OA}} \nonumber
\end{eqnarray}
を満たすPからなる領域を$D$とする．$D$を図示せよ．

$xy$平面上の点Aを次のルール($*$)に従って動かす試行を繰り返す．
\[ (*) \left\{
\begin{array}{l}
1 \text{個のさいころを投げ，} \\
(\text{A}) \; \text{1または2の目が出たとき，} \ x \text{軸の正の方向に1動かす．} \\
(\text{B}) \; \text{3または4の目が出たとき，} \ y \text{軸の正の方向に1動かす．} \\
(\text{C}) \; \text{5または6の目が出たとき，動かさない．}
\end{array}
\right. \]
Aは始め原点Oにある．直線$x+y=3$を$\ell$として，次の問いに答えよ．

(1)5回の試行後，Aが$(2,\ 1)$にある確率を求めよ．
(2)$n \geqq 3$に対し，$n$回の試行後，Aが$\ell$上にある確率を求めよ．
(3)Aが$\ell$上に来たとき，または(C)が合計2回生じたとき，試行を終了する．

(4)Aが$\ell$上に来て試行が終了する確率を求めよ．
(5)終了までの試行回数の期待値を求めよ．

1個のいびつなさいころがある．$1,\ 2,\ 3,\ 4$の目が出る確率はそれぞれ$\displaystyle \frac{p}{2}$であり，$5,\ 6$の目が出る確率はそれぞれ$\displaystyle \frac{1-2p}{2}$である．ただし，$\displaystyle 0<p<\frac{1}{2}$とする．このさいころを投げて，$xy$平面上の点Qを次のように動かす．

\mon[(i)] 1または2の目が出たときには，Qを$x$軸の正の方向に1だけ動かす．
\mon[(ii)] 3または4の目が出たときには，Qを$y$軸の正の方向に1だけ動かす．
\mon[(iii)] 5または6の目が出たときには，Qを動かさない．

Qは最初原点$(0,\ 0)$にある．このさいころを$(n+1)$回投げ，Qが通った点(原点およびQの最終位置の点を含む)の集合を$S$とする．ただし，$n$は自然数とする．次の問いに答えよ．

(1)さいころを$(n+1)$回投げたとき，$S$が点$(1,\ n-1)$を含む確率を求めよ．
(2)さいころを$(n+1)$回投げたとき，$S$が領域$x+y<n$に含まれる確率を求めよ．
(3)さいころを$(n+1)$回投げたとき，$S$が点$(k,\ n-k)$を含むならば得点$2^k$点$(k=0,\ 1,\ \cdots,\ n)$が与えられ，$S$が領域$x+y<n$に含まれるならば得点0点が与えられるとする．得点の期待値を求めよ．

数直線上を動く点Pが，はじめ原点の位置にある．さいころを投げて，偶数の目が出ればPは正の向きに出た目の数だけ進み，奇数の目が出ればPは負の向きに出た目の数だけ進む．さいころを続けて4回投げるとき，次の確率を求めよ．

(1)少なくとも2回は2の目が出て，最後にPの座標が2になる確率
(2)最後にPの座標が2になる確率

$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上の曲線
\[ C:\quad y=\frac{1}{2}x+\sqrt{\frac{1}{4}x^2+2} \]
と，その上の相異なる$2$点$\mathrm{P}_1(x_1,\ y_1)$，$\mathrm{P}_2(x_2,\ y_2)$を考える．

(1)$\mathrm{P}_i \ (i=1,\ 2)$を通る$x$軸に平行な直線と，直線$y=x$との交点を，それぞれ$\mathrm{H}_i \ (i=1,\ 2)$とする．このとき$\triangle \mathrm{OP}_1 \mathrm{H}_1$と$\triangle \mathrm{OP}_2 \mathrm{H}_2$の面積は等しいこと示せ．
(2)$x_1<x_2$とする．このとき$C$の$x_1\leqq x\leqq x_2$の範囲にある部分と，線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{O}$，$\mathrm{P}_2 \mathrm{O}$で囲まれる図形の面積を，$y_1$，$y_2$を用いて表せ．

$xy$平面上の長方形ABCDが次の条件(a)，(b)，(c)を満たしているとする．

\mon[(a)] 対角線ACとBDの交点は原点Oに一致する．
\mon[(b)] 直線ABの傾きは2である．
\mon[(c)] Aの$y$座標は，B，C，Dの$y$座標より大きい．

このとき，$a>0,\ b>0$として，辺ABの長さを$2\sqrt{5}a$，BCの長さを$2\sqrt{5}b$とおく．

(1)A，B，C，Dの座標を$a,\ b$で表せ．
(2)長方形ABCDが領域$x^2+(y-5)^2 \leqq 100$に含まれるための$a,\ b$に対する条件を求め，$ab$平面上に図示せよ．

Oを原点とする座標平面上に点A$(-3,\ 0)$をとり，
$0^\circ<\theta<120^\circ$の範囲にある$\theta$に対して，次の条件(i)，(ii)をみたす2点B，Cを考える．

\mon[(i)] Bは$y>0$の部分にあり，$\text{OB}=2$かつ$\angle \text{AOB}=180^\circ-\theta$である．
\mon[(ii)] Cは$y<0$の部分にあり，$\text{OC}=1$かつ$\angle \text{BOC}=120^\circ$である．ただし$\triangle \text{ABC}$はOを含むものとする．

\quad 次の問(1)，(2)に答えよ．

(1)$\triangle \text{OAB}$と$\triangle \text{OAC}$の面積が等しいとき，$\theta$の値を求めよ．
(2)$\theta$を$0^\circ<\theta<120^\circ$の範囲で動かすとき，$\triangle \text{OAB}$と$\triangle \text{OAC}$の面積の和の最大値と，そのときの$\sin \theta$の値を求めよ．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$は零行列ではなく，$A^2$が零行列となるとする．次の問に答えよ．

(1)$a+d=ad-bc=0$を示せ．
(2)行列$A$が表す一次変換によって，座標平面上の原点と任意の点P，Qは同一直線上に移ることを示せ．

次の2つの曲線の両方に接する傾きが正の直線$\ell$が原点を通っているとする．
\begin{eqnarray}
& & y = mx^2+a \quad (m > 0,\ a > 0) \nonumber \\
& & y = nx^2+b \quad (n < 0,\ b < 0) \nonumber
\end{eqnarray}
このとき，次の問に答えよ．

(1)$m,\ n,\ a,\ b$の間に成り立つ関係式を求めよ．
(2)曲線$y = mx^2+a$と$\ell$および$y$軸で囲まれた図形の面積を$S_1$とし，曲線$y = nx^2+b$と$\ell$および$y$軸で囲まれた図形の面積を$S_2$とする．$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$を$a,\ b$で表せ．