$a$を正の定数とする．原点をOとし，曲線$y=x^3$上に点P$(a,\ a^3)$をとり，線分OPと曲線によって囲まれた部分をAとする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)Aを$x$軸のまわりに1回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．
(2)Aを$y$軸のまわりに1回転してできる回転体の体積$W$を求めよ．
(3)直線OPの傾きを$m$とするとき，$\displaystyle \frac{mW}{V}$の値を求めよ．

座標平面上の点$(1,\ 0)$に物体$\mathrm{A}$がある．さいころを振り，$1$から$4$の目が出たら原点から距離$1$だけ遠ざけ，$5$または$6$の目が出たときには原点のまわりに$15$度時計方向と逆回りに回転させる．物体$\mathrm{A}$が$y$軸に達するまでこれを続ける．次の問いに答えよ．

(1)物体$\mathrm{A}$が点$(0,\ n) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$に達する確率$P_n$を求めよ．
(2)$P_n$を最大にする$n$を求めよ．

座標平面上で原点$\mathrm{O}$を中心に一定の角$\theta$で回転移動する$1$次変換を$f$とし，一定の正の数$r$で各点$(x,\ y)$を点$(rx,\ ry)$に移す相似変換を$g$とする．また，$g$と$f$の合成変換$g \circ f$を表す行列を$K(r,\ \theta)$とする．原点$\mathrm{O}$と異なる座標平面上の点$\mathrm{P}(a,\ b)$に対して，点$\mathrm{Q}(c,\ d)$を次で定める：
\[ \left( \begin{array}{c}
c \\
d
\end{array} \right)=K(r,\ \theta) \left( \begin{array}{c}
a \\
b
\end{array} \right) \]
次の問に答えなさい．

(1)$K(r,\ \theta)$を求めなさい．$r$を$a,\ b,\ c,\ d$を用いて表しなさい．
(2)$0^\circ<\theta<180^\circ$ならば，$ad-bc>0$であることを示しなさい．
(3)$0^\circ<\theta<180^\circ$ならば，$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積が$\displaystyle \frac{1}{2}(ad-bc)$に等しくなる．このことを用いて，図のように，点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$を時計の針が回る方向と反対回りに順番に配置した三角形$\triangle \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3$の面積が
\[ \frac{1}{2} \sum_{i=1}^3 (x_i-x_{i+1})(y_i+y_{i+1}) \]
に等しいことを示しなさい．ただし，$x_4=x_1$，$y_4=y_1$とする．
（図は省略）

座標平面において原点を中心とする半径$1$の円を$C_1$とし，点$(1,\ 0)$を中心とする半径$3$の円を$C_2$とする．動点$\mathrm{P}$は$C_1$上を反時計回りに$1$秒間に$2$回転の速さで等速円運動をし，動点$\mathrm{Q}$は$C_2$上を反時計回りに$1$秒間に$1$回転の速さで等速円運動をしている．時刻$t=0$のとき，$\mathrm{P}$は$(0,\ 1)$にあり，$\mathrm{Q}$は$(4,\ 0)$にあるものとする．$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$間の距離の$2$乗の最大値と最小値，およびそれらをとる$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

平面上の点$\mathrm{A}$を中心とする半径$a$の円から，中心角が${60}^\circ$で$\mathrm{AP}=\mathrm{AQ}=a$となる扇形$\mathrm{APQ}$を切り取る．つぎに線分$\mathrm{AP}$と$\mathrm{AQ}$を貼り合わせて，$\mathrm{A}$を頂点とする直円錐$K$を作り，これを点$\mathrm{O}$を原点とする座標空間におく．

$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$はそれぞれ$z$軸，$x$軸上の正の位置にとり，扇形$\mathrm{APQ}$の弧$\mathrm{PQ}$は$xy$平面上の$\mathrm{O}$を中心とする円$S$になるようにする．
また弦$\mathrm{PQ}$から定まる$K$の側面上の曲線を$C$とする．
（図は省略）
以下の問いに答えよ．

(1)$S$の半径を$b$とする．$S$上の点$\mathrm{R}(b \cos \theta,\ b \sin \theta,\ 0) (0 \leqq \theta \leqq 2\pi)$に対し，$K$上の母線$\mathrm{AR}$と$C$の交点を$\mathrm{M}$とする．$b$と線分$\mathrm{AM}$の長さを$a$と$\theta$を用いて表せ．
(2)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$を$xy$平面に正射影したベクトルの長さを$r$とする．$r$を$a$と$\theta$を用いて表し，定積分
\[ \int_0^{2\pi} \frac{1}{2} \{r(\theta)\}^2 \, d\theta \]
を求めよ．ただし，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=(a_1,\ a_2,\ a_3)$を$xy$平面に{\bf 正射影したベクトル}とは$\overrightarrow{\mathrm{OE}^\prime}=(a_1,\ a_2,\ 0)$のことである．

$xy$平面において原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を中心とする半径$1$の円を$S$とし，円$S$の任意の点$\mathrm{P}$に対して，点$\mathrm{P}$における円$S$の接線を$L(\mathrm{P})$とおく．
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right) \]
を全ての成分が実数からなる$2$行$2$列の行列とし，$A$によって定まる$xy$平面の一次変換
\[ \left( \begin{array}{c}
x^\prime \\
y^\prime
\end{array} \right)=A \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right) \]
を$\varphi$とおく．このとき，円$S$の任意の点$\mathrm{P}$に対して円$S$の点$\mathrm{Q}$が存在し，接線$L(\mathrm{P})$のいかなる点も$\varphi$によって接線$L(\mathrm{Q})$の点に移されると仮定する．

(1)円$S$の点$\mathrm{P}$の座標を$(s,\ t)$として，接線$L(\mathrm{P})$の方程式を求めよ．
(2)行列$A$は逆行列を持つことを証明せよ．
(3)円$S$の点$\mathrm{Q}$は円$S$の点$\mathrm{P}$により一意的に定まることを示し，点$\mathrm{Q}$の座標$(u,\ v)$を点$\mathrm{P}$の座標$(s,\ t)$及び行列$A$の成分$a,\ b,\ c,\ d$を用いて表示せよ．
(4)$xy$平面の一次変換$\varphi$は，原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を中心とする回転か，または原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を通るある直線$\ell$を対称軸とする対称変換のいずれかであることを証明せよ．

座標平面上の楕円$C_1:4x^2+y^2=4$について，以下の問いに答えよ．

(1)$C_1$を$x$軸方向に$p$，$y$軸方向に$1$だけ平行移動した楕円を$C_2$とする．$1 \leqq k \leqq 2$を満たすすべての$k$に対して，直線$\ell:y=kx-3$と$C_2$が$2$個の共有点をもつとき，$p$の値の範囲を求めよ．
(2)$a,\ b,\ c,\ d,\ e$を定数とする．$C_1$を原点まわりに${75}^\circ$回転した$2$次曲線を
\[ C_3:x^2+axy+by^2+cx+dy+e=0 \]
とするとき，$a,\ b$の値を求めよ．

$n$を$5$以上の整数とする．座標平面上に原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$n$の円$C_1$と，点$\mathrm{A}$を中心とする半径$1$の円$C_2$がある．$C_2$が$C_1$に外接しながらすべることなく反時計回りに転がるとき，$C_2$上の点$\mathrm{P}$が描く曲線を考える．はじめに$\mathrm{A}$は$(n+1,\ 0)$，$\mathrm{P}$は$(n,\ 0)$の位置にあるものとする．$\mathrm{P}$が$(n,\ 0)$から出発し，再び$(n,\ 0)$に戻るまで，$\mathrm{P}$が描く曲線を$C$とする．線分$\mathrm{OA}$と$x$軸の正の部分のなす角が$\theta (0 \leqq \theta \leqq 2\pi)$であるときの$\mathrm{P}$の座標を$(x(\theta),\ y(\theta))$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$x(\theta),\ y(\theta)$を$\theta$を用いて表せ．
(2)区間$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{2\pi}{n}$で$x(\theta)$の増減を調べよ．
(3)$C$によって囲まれた部分の面積を求めよ．

原点をOとする$xyz$空間内で，$x$軸上の点A，$xy$平面上の点B，$z$軸上の点Cを，次をみたすように定める．
\[ \angle \text{OAC} = \angle \text{OBC} = \theta, \quad \angle \text{AOB} = 2\theta, \quad \text{OC}=3 \]
ただし，Aの$x$座標，Bの$y$座標，Cの$z$座標はいずれも正であるとする．さらに，$\triangle$ABC内の点のうち，Oからの距離が最小の点をHとする．また，$t = \tan \theta$とおく．

(1)線分OHの長さを$t$の式で表せ．
(2)Hの$z$座標を$t$の式で表せ．

数直線上を動く点Pがある．裏表の出る確率が等しい硬貨を2枚投げて，2枚とも表が出たらPは正の向きに1だけ移動し，2枚とも裏が出たらPは負の方向に1だけ移動し，それ以外のときはその位置にとどまるものとする．Pが原点Oを出発点として，このような試行を$n$回繰り返して到着した位置を$S_n$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$S_2 = -1$となる確率を求めよ．
(2)$S_3 = 1$となる確率を求めよ．
(3)試行を$n$回繰り返して出た表の総数を$i$とするとき，$S_n$を求めよ．
(4)$k$を整数とするとき，$S_n = k$となる確率を求めよ．