「原点」について
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私立 大阪薬科大学 2011年 第2問次の問いに答えなさい．
原点を$\mathrm{O}$とする$xy$座標平面上に，$2$点$\mathrm{P}(1,\ 2)$，$\mathrm{Q}(2,\ 0)$がある．$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を通る$2$次関数のグラフを$C$，また，$C$の$\mathrm{O}$における接線を$\ell$とする．
(1)$C$の方程式は，$y=[ ]$である．
(2)$C$と$x$軸で囲まれる図形の面積は$[ ]$である．
(3)$\ell$の方程式は，$y=[ ]$である．
(4)$\ell$と線分$\mathrm{OP}$のなす角を$\theta$とするとき，$\tan \theta=[ ]$である．ただし，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．
(5)$C$を$x$軸方向に$a$，$y$軸方向に$b$だけ平行移動して得られる曲線を$C^\prime$とする．$\ell$が$C^\prime$の接線であるとき，$a,\ b$が満たす条件を求めなさい．
原点を$\mathrm{O}$とする$xy$座標平面上に，$2$点$\mathrm{P}(1,\ 2)$，$\mathrm{Q}(2,\ 0)$がある．$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を通る$2$次関数のグラフを$C$，また，$C$の$\mathrm{O}$における接線を$\ell$とする．
(1)$C$の方程式は，$y=[ ]$である．
(2)$C$と$x$軸で囲まれる図形の面積は$[ ]$である．
(3)$\ell$の方程式は，$y=[ ]$である．
(4)$\ell$と線分$\mathrm{OP}$のなす角を$\theta$とするとき，$\tan \theta=[ ]$である．ただし，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．
(5)$C$を$x$軸方向に$a$，$y$軸方向に$b$だけ平行移動して得られる曲線を$C^\prime$とする．$\ell$が$C^\prime$の接線であるとき，$a,\ b$が満たす条件を求めなさい．
私立 京都薬科大学 2011年 第3問次の$[ ]$にあてはまる数または式を記入せよ．
$t>0$とする．放物線$y=x^2$上の点$\mathrm{P}(t,\ t^2)$における接線$\ell_1$と$x$軸との交点$\mathrm{A}$の$x$座標は$[ ]$である．原点$\mathrm{O}$および$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{A}$を通る放物線の方程式は$y=[ ]x^2-[ ]x$であり，この放物線の原点における接線$\ell_2$の方程式は$y=-[ ]x$である．$2$直線$\ell_1$，$\ell_2$の交点の座標は$([ ],\ -[ ])$であり，放物線$y=x^2$と$2$直線$\ell_1$，$\ell_2$で囲まれた図形の面積は$[$*$]$である．
点$\mathrm{P}$を通り，$\ell_1$に垂直な直線$\ell_3$の方程式は$y=-[ ]x+[ ]$であり，$\ell_3$と$y$軸および曲線$y=x^2 (x \geqq 0)$で囲まれた図形の面積は$[$**$]$である．そして，$[$**$]:[$*$]=6:1$となるのは，$t=[ ]$のときである．
$t>0$とする．放物線$y=x^2$上の点$\mathrm{P}(t,\ t^2)$における接線$\ell_1$と$x$軸との交点$\mathrm{A}$の$x$座標は$[ ]$である．原点$\mathrm{O}$および$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{A}$を通る放物線の方程式は$y=[ ]x^2-[ ]x$であり，この放物線の原点における接線$\ell_2$の方程式は$y=-[ ]x$である．$2$直線$\ell_1$，$\ell_2$の交点の座標は$([ ],\ -[ ])$であり，放物線$y=x^2$と$2$直線$\ell_1$，$\ell_2$で囲まれた図形の面積は$[$*$]$である．
点$\mathrm{P}$を通り，$\ell_1$に垂直な直線$\ell_3$の方程式は$y=-[ ]x+[ ]$であり，$\ell_3$と$y$軸および曲線$y=x^2 (x \geqq 0)$で囲まれた図形の面積は$[$**$]$である．そして，$[$**$]:[$*$]=6:1$となるのは，$t=[ ]$のときである．
私立 関西学院大学 2011年 第2問座標空間において，原点を$\mathrm{O}$とし，点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$をとる．また，$xy$平面上にあり，中心が原点，半径が$1$の円を$C$とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)$C$の$y \geqq 0$の部分にある点$\mathrm{P}$について$\angle \mathrm{AOP}=t (0 \leqq t \leqq \pi)$とする．このとき，点$\mathrm{P}$の座標を$t$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{Q}$を$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=-\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を満たす点とし，点$\mathrm{B}(\sqrt{3},\ 1,\ 1)$をとる．このとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{BP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BQ}}$を求めよ．また，$|\overrightarrow{\mathrm{BP}}|^2=m-n \sin (t+\alpha)$となるような定数$\displaystyle m,\ n,\ \alpha \left( \text{ただし，} 0 \leqq \alpha \leqq \frac{\pi}{2} \right)$を求めよ．
(3)$\angle \mathrm{PBQ}=\theta$とおくとき，$\cos \theta$の最大値と最小値，およびそれらのときの$t$の値を求めよ．
(4)$\cos \theta$が上で求めた最小値をとるとき，三角形$\mathrm{PBQ}$の面積を求めよ．
(1)$C$の$y \geqq 0$の部分にある点$\mathrm{P}$について$\angle \mathrm{AOP}=t (0 \leqq t \leqq \pi)$とする．このとき，点$\mathrm{P}$の座標を$t$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{Q}$を$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=-\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を満たす点とし，点$\mathrm{B}(\sqrt{3},\ 1,\ 1)$をとる．このとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{BP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BQ}}$を求めよ．また，$|\overrightarrow{\mathrm{BP}}|^2=m-n \sin (t+\alpha)$となるような定数$\displaystyle m,\ n,\ \alpha \left( \text{ただし，} 0 \leqq \alpha \leqq \frac{\pi}{2} \right)$を求めよ．
(3)$\angle \mathrm{PBQ}=\theta$とおくとき，$\cos \theta$の最大値と最小値，およびそれらのときの$t$の値を求めよ．
(4)$\cos \theta$が上で求めた最小値をとるとき，三角形$\mathrm{PBQ}$の面積を求めよ．
私立 関西学院大学 2011年 第1問次の文章中の$[ ]$に適する式または数値を記入せよ．
(1)$m$を実数とするとき，$2$つの$2$次方程式
$2x^2+8x+2m=0$ $\cdots\cdots①$
$x^2+mx+2m-4=0$ $\cdots\cdots②$
が共通の解をもつのは，$m=[$*$]$または$m=[$**$]$のときである．ただし，$[$*$]>[$**$]$とする．$m=[$*$]$のとき，$①$と$②$の共通の解は$x=[ ]$であり，$m=[$**$]$のとき，$①$と$②$の共通の解は$x=[ ]$である．
(2)座標平面上に点$\mathrm{P}$がある．サイコロを投げて，偶数の目がでたら$\mathrm{P}$は$x$軸の正の方向に$1$動き，$1$または$5$の目がでたら$y$軸の正の方向に$1$動き，$3$の目がでたときには動かないとする．最初$\mathrm{P}$が原点にあったとする．サイコロを$5$回投げた後，$\mathrm{P}$が座標$(4,\ 1)$にある確率は$[ ]$，$(3,\ 1)$にある確率は$[ ]$，$(2,\ 1)$にある確率は$[ ]$である．また，$n$を$3$以上の自然数とし，サイコロを$n$回投げた後，$\mathrm{P}$が$(n-3,\ 1)$にある確率は$[ ]$である．
(1)$m$を実数とするとき，$2$つの$2$次方程式
$2x^2+8x+2m=0$ $\cdots\cdots①$
$x^2+mx+2m-4=0$ $\cdots\cdots②$
が共通の解をもつのは，$m=[$*$]$または$m=[$**$]$のときである．ただし，$[$*$]>[$**$]$とする．$m=[$*$]$のとき，$①$と$②$の共通の解は$x=[ ]$であり，$m=[$**$]$のとき，$①$と$②$の共通の解は$x=[ ]$である．
(2)座標平面上に点$\mathrm{P}$がある．サイコロを投げて，偶数の目がでたら$\mathrm{P}$は$x$軸の正の方向に$1$動き，$1$または$5$の目がでたら$y$軸の正の方向に$1$動き，$3$の目がでたときには動かないとする．最初$\mathrm{P}$が原点にあったとする．サイコロを$5$回投げた後，$\mathrm{P}$が座標$(4,\ 1)$にある確率は$[ ]$，$(3,\ 1)$にある確率は$[ ]$，$(2,\ 1)$にある確率は$[ ]$である．また，$n$を$3$以上の自然数とし，サイコロを$n$回投げた後，$\mathrm{P}$が$(n-3,\ 1)$にある確率は$[ ]$である．
私立 津田塾大学 2011年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle f(x)=e^{-x}+\int_0^x e^{-(x-t)} \sin t \, dt$とする．このとき，$f^\prime(x)+f(x)=\sin x$が成り立つことを示せ．
(2)座標空間において，原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{A}(1,\ 1,\ 1)$を通る直線を$\ell$とし，原点$\mathrm{O}$を通り直線$\ell$とのなす角が$\displaystyle \frac{\pi}{3}$である直線の$1$つを$m$とする．直線$m$を直線$\ell$のまわりに$1$回転してできる図形を$S$とする．点$\mathrm{P}(x,\ y,\ z)$が$S$上にあるならば，
\[ x^2+y^2+z^2+8xy+8yz+8zx=0 \]
が成り立つことを示せ．
(1)$\displaystyle f(x)=e^{-x}+\int_0^x e^{-(x-t)} \sin t \, dt$とする．このとき，$f^\prime(x)+f(x)=\sin x$が成り立つことを示せ．
(2)座標空間において，原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{A}(1,\ 1,\ 1)$を通る直線を$\ell$とし，原点$\mathrm{O}$を通り直線$\ell$とのなす角が$\displaystyle \frac{\pi}{3}$である直線の$1$つを$m$とする．直線$m$を直線$\ell$のまわりに$1$回転してできる図形を$S$とする．点$\mathrm{P}(x,\ y,\ z)$が$S$上にあるならば，
\[ x^2+y^2+z^2+8xy+8yz+8zx=0 \]
が成り立つことを示せ．
私立 津田塾大学 2011年 第4問次の問いに答えよ．
(1)$t$に関する関数$\displaystyle x=\frac{e^t+e^{-t}}{2} (t \geqq 0)$のグラフをかけ．
(2)$\displaystyle x=\frac{e^t+e^{-t}}{2} (t \geqq 0)$のとき，$\sqrt{x^2-1}$を$t$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{O}$を原点とし，点$\mathrm{P}(a,\ b)$を双曲線$x^2-y^2=1$上にある第$1$象限内の点とする．$\displaystyle a=\frac{e^s+e^{-s}}{2} (s>0)$のとき，線分$\mathrm{OP}$と双曲線$x^2-y^2=1$と$x$軸とで囲まれた部分の面積を，$s$を用いて表せ．
(1)$t$に関する関数$\displaystyle x=\frac{e^t+e^{-t}}{2} (t \geqq 0)$のグラフをかけ．
(2)$\displaystyle x=\frac{e^t+e^{-t}}{2} (t \geqq 0)$のとき，$\sqrt{x^2-1}$を$t$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{O}$を原点とし，点$\mathrm{P}(a,\ b)$を双曲線$x^2-y^2=1$上にある第$1$象限内の点とする．$\displaystyle a=\frac{e^s+e^{-s}}{2} (s>0)$のとき，線分$\mathrm{OP}$と双曲線$x^2-y^2=1$と$x$軸とで囲まれた部分の面積を，$s$を用いて表せ．
私立 津田塾大学 2011年 第3問次の問に答えよ．
(1)不定積分$\displaystyle \int {(\log x)}^2 \, dx$を求めよ．
(2)関数$y=\log x$のグラフを$C$とする．$C$に接し，かつ原点を通る直線$\ell$の式を求めよ．
(3)$C$と$\ell$と$x$軸とで囲まれた図形を$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．
(1)不定積分$\displaystyle \int {(\log x)}^2 \, dx$を求めよ．
(2)関数$y=\log x$のグラフを$C$とする．$C$に接し，かつ原点を通る直線$\ell$の式を求めよ．
(3)$C$と$\ell$と$x$軸とで囲まれた図形を$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．
私立 津田塾大学 2011年 第4問原点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$と点$\mathrm{A}(1,\ 1,\ 1)$を通る直線上に点$\mathrm{M}$をとり，$xy$平面上に点$\mathrm{P}$をとる．$3$条件
(i) $\overrightarrow{\mathrm{MP}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OA}}$
(ii) $\angle \mathrm{POA}={60}^\circ$
(iii) $\mathrm{MP}=1$
が同時に成り立つとき，点$\mathrm{M}$と点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(i) $\overrightarrow{\mathrm{MP}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OA}}$
(ii) $\angle \mathrm{POA}={60}^\circ$
(iii) $\mathrm{MP}=1$
が同時に成り立つとき，点$\mathrm{M}$と点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
公立 首都大学東京 2011年 第3問原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に点$\mathrm{A}(3,\ 0)$を中心とし半径が$r_1$の円$C_1$と，点$\mathrm{B}(1,\ 0)$を中心とし半径が$r_2$の円$C_2$がある．$C_1$上に$y$座標が正である点$\mathrm{P}_1$をとり，$\angle \mathrm{OAP}_1 = \theta$とする．$C_2$上に$y$座標が負である点$\mathrm{P}_2$を，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}_1}$と$\overrightarrow{\mathrm{BP}_2}$が平行であるようにとるとき，以下の問いに答えなさい．
(1)$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$の座標を$r_1,\ r_2,\ \theta$でそれぞれ表しなさい．
(2)$r_1+r_2 < 2$とする．$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$を通る直線が$C_1$と$C_2$の両方に接するとき，$\cos \theta$を求めなさい．
(3)$(2)$の条件のもとで$\triangle \mathrm{OP}_1 \mathrm{P}_2$の面積を$r_1,\ r_2$で表しなさい．
(1)$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$の座標を$r_1,\ r_2,\ \theta$でそれぞれ表しなさい．
(2)$r_1+r_2 < 2$とする．$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$を通る直線が$C_1$と$C_2$の両方に接するとき，$\cos \theta$を求めなさい．
(3)$(2)$の条件のもとで$\triangle \mathrm{OP}_1 \mathrm{P}_2$の面積を$r_1,\ r_2$で表しなさい．
公立 大阪市立大学 2011年 第1問座標平面において，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円を$C$とし，点$\mathrm{P}(p,\ q)$は$p^2 +q^2 > 1$をみたすものとする．$\mathrm{P}$から$C$へ接線をひき，その接点を$\mathrm{T}(s,\ t)$とする．$\mathrm{P}$を中心とし$\mathrm{T}$を通る円を$D$として，$D$は点$\mathrm{A}(a,\ 0)$を通るものとする．次の問いに答えよ．
(1)$(a-p)^2 = p^2-1$であることを示せ．
(2)$0<a<1$のとき$p>1$であることを示し，$a$を$p$を用いて表せ．
(1)$(a-p)^2 = p^2-1$であることを示せ．
(2)$0<a<1$のとき$p>1$であることを示し，$a$を$p$を用いて表せ．