$a$を正の定数とする．座標平面上に曲線$C_1:y=ax^2$と曲線$C_2:x=y^2$がある．次の問いに答えよ．

(1)曲線$C_1$と$C_2$の交点のうち，原点と異なる点の座標を求めよ．
(2)曲線$C_1$と$C_2$で囲まれた図形を$D$とする．$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を$V_1$とする．また，$D$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を$V_2$とする．$V_1$と$V_2$をそれぞれ$a$を用いて表せ．
(3)$(2)$で求めた$V_1$と$V_2$について，$V_1 \geqq V_2$となるような$a$の値の範囲を求めよ．また，$V_1-V_2$を最大にする$a$の値を求めよ．

次の$[　]$をうめよ．

(1)実数$x,\ y,\ z$が$\displaystyle \frac{x+y}{5}=\frac{y+2z}{4}=\frac{z+3x}{10}$を満たしている．$x^3+y^3+z^3=-36$が成り立つのは，
\[ \frac{x+y}{5}=\frac{y+2z}{4}=\frac{z+3x}{10} \]
の値が$[$①$]$のときである．

(2)$\displaystyle x-y=\frac{\pi}{3}$であるとき，$\displaystyle \frac{\sin x-\sin y}{\cos x+\cos y}$の値は$[$②$]$である．

(3)座標空間における$2$点$\mathrm{A}(0,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ 3,\ 0)$を通る直線$\ell$を考える．$\ell$上の点$\mathrm{P}$において，原点$\mathrm{O}$と$\mathrm{P}$を結ぶ直線が直線$\ell$と垂直に交わるとき，点$\mathrm{P}$の$y$座標は$[$③$]$である．
(4)連立方程式$\left\{ \begin{array}{l}
4(\log_2x)^2+2 \log_2y=1 \\
x^2y=2
\end{array} \right.$を解くと，$x=[$④$]$，$y=[$⑤$]$である．
(5)$2$桁の自然数を$N$とし，$N$の$1$の位と$10$の位の$2$つの数の和を$T$とする．$\displaystyle \frac{N}{T}$の最小値は$[$⑥$]$である．

$3$次関数$f(x)=x^3-20x+16$について，以下の問いに答えよ．

(1)導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$y=f(x)$上の点$(a,\ f(a))$における接線の方程式を求めよ．
(3)$(2)$で求めた接線のうち，原点を通るものを求めよ．
(4)$y=f(x)$の接線で，$(3)$で求めた接線と傾きの等しいものが，もう$1$つある．その接線の方程式を求めよ．

座標平面上で，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C$に，この円の外にある点$\mathrm{P}$から$2$本の接線をひき，それらのなす角のうち$C$を挟むものの大きさを$\theta$とする．さらに，線分$\mathrm{OP}$の長さを$r$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \cos \frac{\theta}{2}$を$r$を用いて表せ．

(2)$\cos \theta$を$r$を用いて表せ．

(3)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$を満たす点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．

(4)$\displaystyle \frac{\pi}{3} \leqq \theta \leqq \frac{2\pi}{3}$を満たす点$\mathrm{P}$の存在する領域の面積を求めよ．
（図は省略）

次の$[　]$にあてはまる数字または符号を記入せよ．

(1)$\displaystyle -2<\log_8 x<\frac{5}{3}$を満たす$x$は$\displaystyle \frac{[　]}{[　]}<x<[　]$である．
(2)$x^3+ax^2+x+b=0$が$1$と$-2$を解にもつとき，もう$1$つの解は$[　]$である．
(3)$7$個の数字$1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 4,\ 4$を$1$列に並べる．このとき，偶数番目がすべて奇数になるような並べ方は$[　]$通りある．
(4)$2$点$(2,\ 0,\ 1)$，$(1,\ 1,\ 2)$を通る直線がある．原点$\mathrm{O}$からこの直線に下ろした垂線の足を$\mathrm{A}$とする．点$\mathrm{A}$の座標は$\displaystyle \left( \frac{[　]}{[　]},\ \frac{[　]}{[　]},\ \frac{[　]}{[　]} \right)$であり，原点から点$\mathrm{A}$までの距離は$\displaystyle \frac{\sqrt{[　]}}{[　]}$である．

原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$3$の円を$C$とする．点$\mathrm{A}(5 \sqrt{2},\ 2 \sqrt{2})$を通り円$C$に接する直線で傾きが正のものを$\ell$とし，$C$と$\ell$の接点を$\mathrm{P}$とする．

(1)$\mathrm{OA}$，$\mathrm{AP}$を求めよ．
(2)直線$\mathrm{OA}$と$x$軸のなす角を$\displaystyle \alpha \left( 0<\alpha<\frac{\pi}{2} \right)$とし，$\angle \mathrm{OAP}=\beta$とおく．$\tan \alpha$，$\tan \beta$を求めよ．
(3)$\ell$の傾きを求めよ．

空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを記入しなさい．

(1)角$\theta$が$0^\circ \leqq \theta \leqq {90}^\circ$，$\displaystyle \tan \theta=\frac{4}{3}$を満たすとき，$\displaystyle \tan \frac{\theta}{2}$の値は$[　]$である．
(2)$4$次方程式$2x^4+7x^3+4x^2+7x+2=0$の実数解のうち最大のものは$[　]$である．
(3)数列の極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \{ \sqrt[3]{(n^3-n^2)^2}-2n \sqrt[3]{n^3-n^2}+n^2 \}$の値は$[　]$である．
(4)円$x^2-8x+y^2-8y+30=0$に接する傾き$1$の$2$つの直線を$\ell_1$，$\ell_2$とする．放物線$y=2x^2+3x-2$と$2$直線$\ell_1$，$\ell_2$によって囲まれる図形の面積は$[　]$である．ただし，この図形は原点を含むものとする．
(5)$x$を正の実数とするとき，関数$\displaystyle y=\left( \frac{2}{x} \right)^x$の導関数$\displaystyle \frac{dy}{dx}$は$[　]$である．
(6)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-2 \sin 2x+3 \cos^2 x} \, dx$の値は$[　]$である．
(7)バスケットボールのフリースローを，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$2$人がそれぞれ$3$回ずつ試みて，成功した回数が多い方が勝ちとする．$\mathrm{A}$の成功率は$\displaystyle \frac{1}{2}$，$\mathrm{B}$の成功率は$\displaystyle \frac{2}{3}$であるとき，$\mathrm{A}$が勝つ確率は$[　]$である．ただし，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の試行は独立な試行と考える．
(8)$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7$の数字が書かれた$8$枚のカードがある．カードをもとに戻すことなく，$1$枚ずつ$8$枚すべてを取り出し，左から順に横に一列に並べる．このとき，数字$k$のカードの左側に並んだ$k$より小さい数字のカードの枚数が$k-1$である確率は$[　]$である．ただし，$k$は$1$から$7$までの整数のいずれかとする．

関数$f(x)=x^{-2} \log x (x>0)$について次の問いに答えよ．

(1)$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$f(x)$の極値を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$上の点$(p,\ f(p))$における接線の方程式を求めよ．また，原点を通る接線$\ell$の方程式を求めよ．
(4)$m \neq -1$に対して，不定積分$\displaystyle \int x^m \log x \, dx$を求めよ．また，曲線$y=f(x)$，直線$\ell$，および$x$軸で囲まれる部分の面積$S$を求めよ．

原点を$\mathrm{O}$とする座標空間内の$3$点$\mathrm{A}(a,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ b,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ c)$に対し，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の定める平面を$\pi$とおく．ただし，$a>0$，$b>0$，$c>0$とする．次の問いに答えなさい．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}+u \overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおく．点$\mathrm{P}$が平面$\pi$上にあって，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$が平面$\pi$と垂直になるように，実数$s,\ t,\ u$の値をそれぞれ$a,\ b,\ c$を用いて表しなさい．
(2)線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とし，点$\mathrm{Q}$は$\overrightarrow{\mathrm{CQ}}=r \overrightarrow{\mathrm{CM}}$を満たす点であるとする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$の大きさ$|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|$を最小にする実数$r$の値と，そのときの$|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|$の値を，それぞれ$a,\ b,\ c$を用いて表しなさい．
(3)$\triangle \mathrm{OAB}$，$\triangle \mathrm{OBC}$，$\triangle \mathrm{OCA}$の面積を，それぞれ$S_1,\ S_2,\ S_3$とするとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$を$S_1,\ S_2,\ S_3$を用いて表しなさい．

次の$[　]$をうめよ．

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{M}$，辺$\mathrm{AC}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{N}$，線分$\mathrm{BN}$と$\mathrm{CM}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=[　]$となる．さらに，$\mathrm{AB}=9$，$\mathrm{AC}=6$，$\mathrm{AP}=4$のとき，$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$の内積$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$の値は$[　]$である．
(2)点$(2,\ -3)$を点$(1,\ -1)$に移し，点$(-1,\ 4)$を点$(7,\ -2)$に移す$1$次変換$f$を表す行列$A$を求めると，$A=[　]$である．また，原点を中心として一定の角だけ回転する回転移動$g$が点$(3,\ 3)$を点$(1+2 \sqrt{2},\ 1-2 \sqrt{2})$に移すとき，$g$を表す行列$B$を求めると，$B=[　]$である．
(3)数列$\{a_n\}$を$\displaystyle a_1=\frac{1}{2}$，$a_2=1$，$a_{n+2}=a_{n+1}-a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定めるとき，$a_7,\ a_8$の値を求めると，$(a_7,\ a_8)=[　]$である．また，$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac{a_k}{2^k}$の値は$[　]$である．