曲線$C:y=2x^2-2x$の原点における接線を$\ell$とする．直線$\ell$，直線$x=1$および曲線$C$で囲まれる領域を$D$とする．

(1)直線$\ell$の方程式を求めなさい．
(2)領域$D$と不等式$x+y \leqq 0$の表す領域$E$との共通部分の面積を求めなさい．

$xy$平面上にある$3$つの半直線
\[ y=0 (x \geqq 0),\quad y=x\tan \theta (x \geqq 0),\quad y=-\sqrt{3}x (x \leqq 0) \]
と，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$r (r \geqq 1)$の円が交わる点をそれぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とする．ただし$\displaystyle\frac{\pi}{6} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{3}$である．

(1)四角形$\mathrm{OABC}$の面積が半径$1$の円に内接する正六角形の面積の$\displaystyle\frac{1}{3}$に等しいとき，$r^2$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}r^2\,d\theta$を求めよ．

原点をOとする座標空間において，2点A(3,\ 3,\ 4),\ B(1,\ 0,\ 0)がある．\\
次の条件を満たす点Pの集合を$C$とする．
\[ |\overrightarrow{\mathrm{AP}}| = 1, \quad \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AP}} = 0 \]
また，次の条件を満たす点Qの集合を$S$とする．
\[ |\overrightarrow{\text{OQ}}| = 1 \]
次の設問に答えよ．

(1)点Qを$S$上の点とするとき，$|\overrightarrow{\text{AQ}}|$の最大値と最小値を求めよ．
(2)点Pを$C$上の点とし，点Qを$S$上の点とするとき，$|\overrightarrow{\text{PQ}}|$の最大値と最小値を求めよ．

$xy$-平面上の原点を$\mathrm{O}$とし，楕円$\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \quad (a>b>0)$を$E$とする．$E$上の点$\mathrm{P}(s,\ t)$における$E$の法線と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{P}$が$s>0,\ t>0$の範囲を動くとき，$\angle \mathrm{OPQ}$が最大になる点$\mathrm{P}$を求めよ．

次の各問の$[　]$にあてはまる数を記入せよ．

(1)$z^2 = -2i$のとき，$z$を求めると，
\[ z= [ア]-[イ]i,\ z=-[ウ]+[エ]i \]
である．ただし，$i^2=-1$である．
(2)$2$次方程式$x^2-px+p-1=0$の$2$つの解の比が$1:3$であるとき，
\[ \text{定数}p\text{の値は}[ア],\ \text{または}\frac{[イ]}{[ウ]}\text{である} \]
(3)不等式$\log_{0.5}(5-x)<2\log_{0.5}(x-3)$の解は，
\[ [ア]<x<[イ] \]
である．
(4)放物線$y=ax^2 (a>0)$と直線$y=bx (b>0)$とで囲まれた部分の面積を$S_1$とし，交点をそれぞれ$\mathrm{O}$（原点），$\mathrm{A}$とする．$\mathrm{A}$から$x$軸に垂線$\mathrm{AH}$を下ろし，$\triangle \mathrm{AOH}$の面積を$S_2$とすると，
\[ \frac{S_1}{S_2} = \frac{[ア]}{[イ]} \]
である．
(5)事象$\mathrm{A}$の起こる確率が$\displaystyle\frac{4}{5}$，事象$\mathrm{B}$の起こる確率が$\displaystyle\frac{3}{5}$，事象$\mathrm{A}$と事象$\mathrm{B}$のどちらか一方だけが起こる確率が$\displaystyle\frac{2}{5}$であるとする．このとき，事象$\mathrm{A}$と事象$\mathrm{B}$がともに起こる確率は$\displaystyle\frac{[ア]}{[イ]}$である．
(6)$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{AC}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{E}$とし，$\mathrm{CD}$と$\mathrm{BE}$との交点を$\mathrm{O}$とするとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OD}} = \frac{[ア]}{[イ]}\overrightarrow{\mathrm{CA}} + \frac{[ウ]}{[エ]}\overrightarrow{\mathrm{CB}} \]
である．

$\mathrm{O}$を原点とする平面において，$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$を$2$辺とし，$\mathrm{OC}$を対角線とする平行四辺形$\mathrm{OACB}$があり，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくと，それぞれのベクトルの大きさは
\[ |\overrightarrow{a}|=2,\quad |\overrightarrow{b}|=3,\quad |\overrightarrow{c}|=\sqrt{19} \]
である．このとき，

(1)$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=[ア]$であり，$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{[イ]}$である．

(2)ベクトル$\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$が$\overrightarrow{b}$に直交する$t$の値を$t_0$とすると，$\displaystyle t_0=\frac{[ウエ]}{[オ]}$であり，$|\overrightarrow{a}+t_0 \overrightarrow{b}|=\sqrt{[カ]}$である．

(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]} \sqrt{[ケ]}$である．

$xyz$空間内の正四面体$\mathrm{ABCD}$を考える．頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$はすべて原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の球面$S$上にある．$\mathrm{A}$の座標は$(0,\ 0,\ 1)$であり，$\mathrm{B}$の$x$座標は正，$y$座標は$0$である．また，$\mathrm{C}$の$y$座標は$\mathrm{D}$の$y$座標より大きい．

(1)$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$の$z$座標は$\displaystyle \frac{[ニ]}{[ヌ]}$である．

(2)$\mathrm{C}$の$x$座標は$\displaystyle \frac{[ネ]}{[ノ]} \sqrt{[ハ]}$である．

(3)$\mathrm{O}$を端点とし$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を通る半直線が$S$と交わる点を$\mathrm{P}$とする．線分$\mathrm{AP}$の長さは$\displaystyle \frac{[ヒ]}{[フ]} \sqrt{[ヘ]}$，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$の内積は$[ホ]$である．

以後，四面体$\mathrm{PABC}$を$V_\mathrm{p}$で表す．

(4)$\triangle \mathrm{APB}$の面積は$\displaystyle \frac{[マ]}{[ミ]}$である．

(5)$(3)$で$\triangle \mathrm{ABC}$に対して点$\mathrm{P}$および四面体$V_\mathrm{p}$を定めたときと同様に，$\triangle \mathrm{ACD}$，$\triangle \mathrm{ABD}$，$\triangle \mathrm{BCD}$に対してそれぞれ点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{T}$および四面体$V_\mathrm{Q}$，$V_\mathrm{R}$，$V_\mathrm{T}$を定める．四面体$\mathrm{ABCD}$と$V_\mathrm{P}$，$V_\mathrm{Q}$，$V_\mathrm{R}$，$V_\mathrm{T}$をあわせた立体を$V$とすると，$V$の表面積は$[ム]$であり，$V$の体積は$\displaystyle \frac{[メ]}{[モ]} \sqrt{[ヤ]}$である．

$2$次関数$y=3x^2-9x+5$のグラフを$C$とする．次の問いに答えよ．

(1)$C$の頂点の座標を求めよ．
(2)$y$軸に関して$C$と対称な放物線をグラフとする$2$次関数を求めよ．
(3)$C$を$x$軸方向に$a$，$y$軸方向に$-3a-2$平行移動すると原点を通る放物線$C_1$が得られた．このとき，$a$の値と$C_1$をグラフとする$2$次関数を求めよ．
(4)(3)で得られた$2$次関数の$0 \leqq x \leqq 1$における最小値を求めよ．

次の各問題の$[　]$に適する答えを記入せよ．

(1)$2 \log_2x-\log_2 (3x-2) \geqq 0$を満たす$x$の範囲は$[ア]$である．
(2)$3$つのサイコロを同時にふるとき，目の和の合計が$16$以上となる確率は$[イ]$である．
(3)原点を$\mathrm{O}$とし，$\mathrm{A}(0,\ 0,\ 2)$，$\mathrm{B}(1,\ 1,\ 0)$に対し直線$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{P}$が$\mathrm{OP} \perp \mathrm{AB}$を満たすとする．このとき$\mathrm{P}$の座標は$[ウ]$である．

次の空欄$[ア]$から$[キ]$に当てはまるものを入れよ．

行列$M$を$M=\left( \begin{array}{rr}
-1 & -1 \\
1 & -1
\end{array} \right)$で定める．このとき
\[ M=\sqrt{2} \left( \begin{array}{cc}
\cos \frac{[ア]}{[イ]} \pi & -\sin \frac{[ア]}{[イ]} \pi \\ \\
\sin \frac{[ア]}{[イ]} \pi & \cos \frac{[ア]}{[イ]} \pi
\end{array} \right) \]
である．
次に$\left( \begin{array}{c}
a_n \\
b_n
\end{array} \right)=M^n \left( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \right) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおき，点$(a_n,\ b_n)$を$\mathrm{P}_n$で表す．このとき点$\mathrm{P}_n$と原点$\mathrm{O}$との距離は$[ウ]^{\frac{n}{2}}$である．またベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}_n}$と$\overrightarrow{\mathrm{OP}_{n+2}}$のなす角は$\displaystyle \theta=\frac{[エ]}{[オ]}\pi$である．ただし，$0 \leqq \theta \leqq \pi$とする．
$3$点$\mathrm{P}_n$，$\mathrm{P}_{n+1}$，$\mathrm{P}_{n+2}$を頂点とする三角形の面積は$[カ] \times [キ]^{n-1}$である．
ただし
\[ \left( \begin{array}{cc}
\cos \alpha & -\sin \alpha \\
\sin \alpha & \cos \alpha
\end{array} \right) \left( \begin{array}{cc}
\cos \beta & -\sin \beta \\
\sin \beta & \cos \beta
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc}
\cos (\alpha+\beta) & -\sin (\alpha+\beta) \\
\sin (\alpha+\beta) & \cos (\alpha+\beta)
\end{array} \right) \]
となることは使ってよい．