「原点」について
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(76ページ目:全992問中751問~760問を表示) 国立 鳥取大学 2011年 第3問
曲線$C:y=\log x \ (x>0)$について,次の問いに答えよ.ただし,$\log x$は$x$の自然対数である.
(1)不定積分$\displaystyle \int \log x \, dx$を求めよ.
(2)原点から曲線$C$に引いた接線$\ell$の方程式および接点の座標を求めよ.
(3)曲線$C$と(2)で求めた接線$\ell$および$x$軸とで囲まれた部分の面積を求めよ.
(4)曲線$C$と(2)で求めた接線$\ell$および$x$軸とで囲まれた部分を$x$軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めよ.
(1)不定積分$\displaystyle \int \log x \, dx$を求めよ.
(2)原点から曲線$C$に引いた接線$\ell$の方程式および接点の座標を求めよ.
(3)曲線$C$と(2)で求めた接線$\ell$および$x$軸とで囲まれた部分の面積を求めよ.
(4)曲線$C$と(2)で求めた接線$\ell$および$x$軸とで囲まれた部分を$x$軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めよ.
国立 鳥取大学 2011年 第3問
曲線$C:y=\log x \ (x>0)$について,次の問いに答えよ.ただし,$\log x$は$x$の自然対数である.
(1)不定積分$\displaystyle \int \log x \, dx$を求めよ.
(2)原点から曲線$C$に引いた接線$\ell$の方程式および接点の座標を求めよ.
(3)曲線$C$と(2)で求めた接線$\ell$および$x$軸とで囲まれた部分の面積を求めよ.
(4)曲線$C$と(2)で求めた接線$\ell$および$x$軸とで囲まれた部分を$x$軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めよ.
(1)不定積分$\displaystyle \int \log x \, dx$を求めよ.
(2)原点から曲線$C$に引いた接線$\ell$の方程式および接点の座標を求めよ.
(3)曲線$C$と(2)で求めた接線$\ell$および$x$軸とで囲まれた部分の面積を求めよ.
(4)曲線$C$と(2)で求めた接線$\ell$および$x$軸とで囲まれた部分を$x$軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めよ.
国立 山口大学 2011年 第2問
座標平面において,2点A$(1,\ 0)$,B$(2,\ 0)$を原点のまわりに$\theta$だけ回転した点をそれぞれC,Dとおく,ただし,$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする.点Cを通り直線CDと垂直に交わる直線を$\ell$とし,点Dを通り直線CDと垂直に交わる直線を$m$とする.また,直線$\ell$と直線$m$によりはさまれた領域を$S$とし,不等式$0 \leqq y \leqq x$の表す領域を$T$とする.このとき,次の問いに答えなさい.
(1)直線$\ell,\ m$の方程式を求めなさい.
(2)$\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき,領域$S$と領域$T$の共通部分の面積を最小にする$\theta$の値を求めなさい.
(1)直線$\ell,\ m$の方程式を求めなさい.
(2)$\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき,領域$S$と領域$T$の共通部分の面積を最小にする$\theta$の値を求めなさい.
国立 大分大学 2011年 第1問
曲線$C:y=2x^2-2x$の原点における接線を$\ell$とする.直線$\ell$,直線$x=1$および曲線$C$で囲まれる領域を$D$とする.
(1)直線$\ell$の方程式を求めなさい.
(2)領域$D$と不等式$x+y \leqq 0$の表す領域$E$との共通部分の面積を求めなさい.
(1)直線$\ell$の方程式を求めなさい.
(2)領域$D$と不等式$x+y \leqq 0$の表す領域$E$との共通部分の面積を求めなさい.
国立 東京医科歯科大学 2011年 第2問
座標平面において,原点をOとし,次のような3点P,Q,Rを考える.
\mon[(a)] 点Pは$x$軸上にあり,その$x$座標は正である.
\mon[(b)] 点Qは第1象限にあって,$\text{OQ}=\text{QP}=1$を満たす.
\mon[(c)] 点Rは第1象限にあって,$\text{OR}+\text{RP}=2$を満たし,かつ線分RPが$x$軸に垂直となる.
ただし,座標軸は第1象限に含めないものとする.このとき以下の各問いに答えよ.
(1)上の条件を満たす2点Q,Rが存在するような,点Pの$x$座標が取りうる値の範囲を求めよ.
(2)(1)の範囲を点Pが動くとき,線分QRが通過する領域を図示し,その面積を求めよ.
(3)線分OPの中点をMとする.(1)の範囲を点Pが動くとき,四角形MPRQの面積を最大にする点Pの$x$座標を求めよ.
\mon[(a)] 点Pは$x$軸上にあり,その$x$座標は正である.
\mon[(b)] 点Qは第1象限にあって,$\text{OQ}=\text{QP}=1$を満たす.
\mon[(c)] 点Rは第1象限にあって,$\text{OR}+\text{RP}=2$を満たし,かつ線分RPが$x$軸に垂直となる.
ただし,座標軸は第1象限に含めないものとする.このとき以下の各問いに答えよ.
(1)上の条件を満たす2点Q,Rが存在するような,点Pの$x$座標が取りうる値の範囲を求めよ.
(2)(1)の範囲を点Pが動くとき,線分QRが通過する領域を図示し,その面積を求めよ.
(3)線分OPの中点をMとする.(1)の範囲を点Pが動くとき,四角形MPRQの面積を最大にする点Pの$x$座標を求めよ.
国立 佐賀大学 2011年 第3問
$xy$平面上の原点をOとし,放物線$y=k-x^2$を$C$とする.ただし,$k$は$\displaystyle \frac{1}{2}$より大きい定数とする.$C$上の点P$(t,\ k-t^2)$が$t \geqq 0$の範囲で動くときOPの長さが最小となるPをP$_0$とおく.
(1)P$_0$の座標を求めよ.
(2)OとP$_0$を通る直線と,P$_0$における$C$の接線が直交することを示せ.
(3)OとP$_0$を通る直線の傾きが1のとき,$k$の値を求めよ.
(4)OとP$_0$を通る直線の傾きが1のとき,$xy$平面の第1象限にあって,$x$軸,$y$軸および放物線$C$に接する円のうち小さい方の半径を求めよ.
(1)P$_0$の座標を求めよ.
(2)OとP$_0$を通る直線と,P$_0$における$C$の接線が直交することを示せ.
(3)OとP$_0$を通る直線の傾きが1のとき,$k$の値を求めよ.
(4)OとP$_0$を通る直線の傾きが1のとき,$xy$平面の第1象限にあって,$x$軸,$y$軸および放物線$C$に接する円のうち小さい方の半径を求めよ.
国立 愛知教育大学 2011年 第4問
原点から曲線$C:y=e^{2x}$へひいた接線と$C$との接点をP$(a,\ b)$とするとき,以下の問いに答えよ.
(1)点Pの座標$(a,\ b)$を求めよ.
(2)点$(0,\ 1)$から点Pまで曲線$C$に沿って点Qが動く.$C$の点Qにおける接線を$\ell$,点Pから$x$軸に下ろした垂線と$\ell$との交点をHとし,Qの$x$座標を$t$とする.$0 \leqq x \leqq a$の範囲で曲線$C$より下,かつ,直線$\ell$より上の部分の面積を$S(t)$とするとき,$0<t<a$における$S(t)$の最小値と,そのときの$t$の値を求めよ.
(1)点Pの座標$(a,\ b)$を求めよ.
(2)点$(0,\ 1)$から点Pまで曲線$C$に沿って点Qが動く.$C$の点Qにおける接線を$\ell$,点Pから$x$軸に下ろした垂線と$\ell$との交点をHとし,Qの$x$座標を$t$とする.$0 \leqq x \leqq a$の範囲で曲線$C$より下,かつ,直線$\ell$より上の部分の面積を$S(t)$とするとき,$0<t<a$における$S(t)$の最小値と,そのときの$t$の値を求めよ.
国立 大分大学 2011年 第2問
曲線$C:y=2x^2-2x$の原点における接線を$\ell$とする.直線$\ell$,直線$x=1$および曲線$C$で囲まれる領域を$D$とする.
(1)直線$\ell$の方程式を求めなさい.
(2)領域$D$と不等式$x+y \leqq 0$の表す領域$E$との共通部分の面積を求めなさい.
(1)直線$\ell$の方程式を求めなさい.
(2)領域$D$と不等式$x+y \leqq 0$の表す領域$E$との共通部分の面積を求めなさい.
国立 九州工業大学 2011年 第2問
実数$a$と行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a-2 & -2a \\
4a & -2a+2
\end{array} \biggr)$がある.$A$が表す座標平面上の点の移動に関する以下の二つの条件を考える.
条件1: 原点O以外のある点Pが$A$によってP自身に移される.
条件2: 原点O以外のある点Qが$A$によって線分OQ上のQ以外の点に移される.
以下の問いに答えよ.
(i) 条件1がみたされるとき,$a$の値を求めよ.
(ii) 条件1,条件2の両方がみたされるとき,$a$の値を求めよ.
(iii) $a$は$(ⅱ)$で求めた値とする.自然数$n$に対して,点R$_n$を次のように定める.
\begin{itemize}
R$_1$の座標を$(4,\ 5)$とする.
$A$によってR$_{n-1}$が移される先をR$_n \ (n \geqq 2)$とする.
\end{itemize}
R$_n$の座標を$(x_n,\ y_n)$とするとき,$\displaystyle x_n=\frac{12}{2^n}-2,\ y_n=\frac{16}{2^n}-3$であることを数学的帰納法を用いて証明せよ.
a-2 & -2a \\
4a & -2a+2
\end{array} \biggr)$がある.$A$が表す座標平面上の点の移動に関する以下の二つの条件を考える.
条件1: 原点O以外のある点Pが$A$によってP自身に移される.
条件2: 原点O以外のある点Qが$A$によって線分OQ上のQ以外の点に移される.
以下の問いに答えよ.
(i) 条件1がみたされるとき,$a$の値を求めよ.
(ii) 条件1,条件2の両方がみたされるとき,$a$の値を求めよ.
(iii) $a$は$(ⅱ)$で求めた値とする.自然数$n$に対して,点R$_n$を次のように定める.
\begin{itemize}
R$_1$の座標を$(4,\ 5)$とする.
$A$によってR$_{n-1}$が移される先をR$_n \ (n \geqq 2)$とする.
\end{itemize}
R$_n$の座標を$(x_n,\ y_n)$とするとき,$\displaystyle x_n=\frac{12}{2^n}-2,\ y_n=\frac{16}{2^n}-3$であることを数学的帰納法を用いて証明せよ.
国立 東京学芸大学 2011年 第2問
座標平面上で円$C:x^2+(y-4)^2=16$上の異なる2点P,Qに対し,線分PQを$1:3$に内分する点をMとする.下の問いに答えよ.
(1)点Pを原点に固定して,点Qを円$C$上で動かしたときの点Mの軌跡を求めよ.
(2)2点P,Qが円$C$上を動くとき,点Mが動く範囲を図示せよ.
(1)点Pを原点に固定して,点Qを円$C$上で動かしたときの点Mの軌跡を求めよ.
(2)2点P,Qが円$C$上を動くとき,点Mが動く範囲を図示せよ.