座標平面上に点$\mathrm{A}(3,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 4)$をとる．また，原点$\mathrm{O}$と$\mathrm{A}$ \\
の中点を$\mathrm{L}$，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の中点を$\mathrm{M}$，$\mathrm{B}$と$\mathrm{O}$の中点を$\mathrm{N}$とする． \\
さらに，$\triangle \mathrm{OAB}$の内接円を$C_1$，$\triangle \mathrm{LMN}$の外接円を$C_2$とする． \\
次の問いに答えよ．
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(1)円$C_1$の半径$r_1$と中心$\mathrm{P}_1$の座標を求めよ．
(2)円$C_2$の半径$r_2$と中心$\mathrm{P}_2$の座標を求めよ．
(3)円$C_1$と円$C_2$が接することを示せ．

$n$を自然数とする．$xy$平面上で行列$\left( \begin{array}{cc}
1-n & 1 \\
-n(n+1) & n+2
\end{array} \right)$の表す1次変換(移動ともいう)を$f_n$とする．以下の問に答えよ．

(1)原点O$(0,\ 0)$を通る直線で，その直線上のすべての点が$f_n$により同じ直線上に移されるものが2本あることを示し，この2直線の方程式を求めよ．
(2)(1)で得られた2直線と曲線$y = x^2$によって囲まれる図形の面積$S_n$を求めよ．
(3)$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{S_n-\frac{1}{6}}$を求めよ．

定数$k$は$k > 1$をみたすとする．$xy$平面上の点A$(1,\ 0)$を通り$x$軸に垂直な直線の第1象限に含まれる部分を，2点X，Yが$\text{AY} = k \text{AX}$をみたしながら動いている．原点O$(0,\ 0)$を中心とする半径1の円と線分OX，OYが交わる点をそれぞれP，Qとするとき，$\triangle$OPQの面積の最大値を$k$を用いて表せ．

$xy$平面上に直線$\ell$がある．行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr)$の表す1次変換$f$は，次の(i)，(ii)，(iii)を満たす．

\mon[(i)] 平面の点の$f$による像はすべて$\ell$上にある．
\mon[(ii)] $f$は$\ell$の点をすべて原点に移す．
\mon[(iii)] 点Pが円$x^2-2x+y^2-2y+1=0$上を動くとき，$f$によるPの像の$x$座標は最大値$1+\sqrt{5}$，最小値$1-\sqrt{5}$をとる．

次の問いに答えよ．

(1)$A$を求めよ．また$\ell$の方程式を求めよ．
(2)(iii)で最大値$1+\sqrt{5}$をとるときのPの座標を求めよ．

Oを原点とする$xy$平面において，直線$y = 1$の$| \, x \, | \geqq 1$を満たす部分を$C$とする．

(1)$C$上に点A$(t,\ 1)$をとるとき，線分OAの垂直二等分線の方程式を求めよ．
(2)点Aが$C$全体を動くとき，線分OAの垂直二等分線が通過する範囲を求め，それを図示せよ．

$d$を正の定数とする．2点A$(-d,\ 0)$，B$(d,\ 0)$からの距離の和が$4d$である点Pの軌跡として定まる楕円$E$を考える．点A，点B，原点Oから楕円$E$上の点Pまでの距離をそれぞれAP，BP，OPと書く．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)楕円$E$の長軸と短軸の長さを求めよ．
(2)$\text{AP}^2+\text{BP}^2$および$\text{AP} \cdot \text{BP}$を，OPと$d$を用いて表せ．
(3)点Pが楕円$E$全体を動くとき，$\text{AP}^3+\text{BP}^3$の最大値と最小値を$d$を用いて表せ．

座標平面上の原点Oを中心とする半径1の円周上に，点Pがある．ただし，Pは第1象限の点である．点Pから$x$軸に下ろした垂線と$x$軸との交点をQ，線分PQを$2:1$に内分する点をRとする．$\theta=\angle \text{QOP}$のときの$\tan \angle \text{QOR}$と$\tan \angle \text{ROP}$の値をそれぞれ$f(\theta),\ g(\theta)$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)$f(\theta)$と$g(\theta)$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$g(\theta)$の$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$における最大値と，そのときの$\theta$の値を求めよ．

座標平面上の点$(1,\ 0)$をAとする．原点O$(0,\ 0)$を中心とし半径が1の円周上の2点P，Qは，$\displaystyle \angle \text{AOP}=\theta,\ \angle \text{AOQ}=\theta+\frac{\pi}{3},\ 0<\theta<\frac{2\pi}{3}$を満たす．また，点Pから$x$軸に引いた垂線と$x$軸の交点をBとし，点Cを四角形BPQCが平行四辺形になるように定める．ただし，点P，Qの$y$座標は正とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)点Cの座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)四角形BPQCの面積の最大値を求めよ．また，そのときの$\theta$の値を求めよ．

$p,\ q$を定数とし，$p$は$0$でないとする．$2$つの放物線$y=4x^2+3px+5q$と$y=3x^2+2px+4q$が，異なる$2$点$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$で交わっているとき，次の問いに答えよ．

(1)直線$\mathrm{MN}$の傾きを$p$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{OM}=\mathrm{ON}$となるとき，$q$を$p$の式で表せ．ただし，$\mathrm{O}$は座標平面の原点を表す．

次の問いに答えよ．

(1)すべての実数$x$について$x^2+k>|x|$が成立するような，定数$k$の範囲を求めよ．
(2)放物線$C_1:y=x^2+k$を考える．ただし，定数$k$は(1)の範囲にあるとする．直線$y=x$に関して$C_1$と対称な曲線を$C_2$とする．$C_1$上に点P$_1$を，$C_2$上に点P$_2$をとる．点P$_1$の$x$座標を$s$，点P$_2$の$y$座標を$t$とする．また原点をO$(0,\ 0)$とする．

(3)$\triangle$OP$_1$P$_2$の面積を$A$とおく．$A$を$s$と$t$を用いて表せ．ただし，3点O$(0,\ 0)$，L$(a,\ b)$，M$(c,\ d)$が同一直線上にないとき，その3点を頂点とする$\triangle$OLMの面積が$\displaystyle \frac{1}{2}|ad-bc|$であることは使ってよい．
(4)$t$を固定する．$s$が実数全体を動くときの$A$の最小値を$B$とする．$B$を$t$を用いて表せ．
(5)$t$が実数全体を動くときの$B$の最小値を求めよ．