$xy$平面上において，原点$\mathrm{O}$を中心とする正六角形$\mathrm{ABCDEF}$の$3$つの頂点の座標が，$\mathrm{A}(0,\ 2)$，$\mathrm{B}(\sqrt{3},\ 1)$，$\mathrm{C}(\sqrt{3},\ -1)$であるとき，次の問いに答えよ．

(1)辺$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{L}$，線分$\mathrm{AL}$の中点を$\mathrm{M}$とし，直線$\mathrm{FM}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{N}$とする．$\mathrm{FM}:\mathrm{MN}$，$\mathrm{BN}:\mathrm{NC}$の比の値をそれぞれ求めよ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{BP}}+\overrightarrow{\mathrm{FP}}|=|\overrightarrow{\mathrm{BF}}|$を満たす点$\mathrm{P}$の描く図形の方程式を求めよ．
(3)$\mathrm{BF}$上の点$\mathrm{Q}(q,\ 1)$が$-\sqrt{3} \leqq q \leqq \sqrt{3}$を満たす任意の点であるとき，$\triangle \mathrm{QCE}$の垂心$\mathrm{H}$の描く図形の方程式を求めよ．

数直線上の点$\mathrm{P}$を，サイコロを投げ，偶数の目が出たら正の方向に出た目の数だけ動かし，奇数の目が出たら負の方向に出た目の数だけ動かす．$\mathrm{P}$を最初原点$0$に置き，サイコロを$2$回投げたとき，$\mathrm{P}$の位置する場所について，次の問いに答えよ．ただし，サイコロは$1$から$6$までのどの目も同じ確率で出るものとする．

(1)$\mathrm{P}$が位置する可能性がある点（存在する確率が正の点）をすべて書け．
(2)$\mathrm{P}$が位置する可能性が最も高い点を求めよ．
(3)$\mathrm{P}$の座標の期待値を求めよ．

次の空欄$[ハ]$から$[マ]$にあてはまる数や式を書きなさい．

$\mathrm{O}$を原点とする座標空間において，$3$点
\[ \mathrm{A} \left( \frac{1}{a},\ 0,\ 0 \right),\quad \mathrm{B} \left( 0,\ \frac{1}{b},\ 0 \right),\quad \mathrm{C} \left( 0,\ 0,\ \frac{1}{c} \right) \]
$(a,\ b,\ c>0)$をとる．平面$\mathrm{ABC}$上に点$\mathrm{H}$をとり，$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=t \overrightarrow{\mathrm{AB}}+u \overrightarrow{\mathrm{AC}}$（$t,\ u$は定数）とおく．このとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OH}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=[ハ],\quad \overrightarrow{\mathrm{OH}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=[ヒ] \]
となる．
したがって，$\mathrm{OH}$が平面$\mathrm{ABC}$に垂直であるとすると，$\mathrm{H}$の座標は
\[ \left( [フ],\ [ヘ],\ [ホ] \right) \]
となる．また，このとき$\overrightarrow{\mathrm{AH}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=[マ]$となる．

$xy$平面上の点$\mathrm{P}_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$は放物線$y=x^2$上にあり，直線$\mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1}$の傾きは$\displaystyle \frac{1}{n(n+2)}$である．点$\mathrm{P}_n$の$x$座標を$x_n$とし，点$\mathrm{P}_1$が原点$\mathrm{O}$であるとき，次の問いに答えよ．

(1)$x_{n+1}+x_n$を$n$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle y_n=x_n-\frac{1}{2n(n+1)}$とおくとき，数列$\{y_n\}$は等比数列であることを示せ．
(3)$x_n$を求めよ．

数直線上の点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$は，さいころ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を同時に投げた結果によって移動する．点$\mathrm{P}$は，さいころ$\mathrm{A}$の出る目が偶数ならば$+3$だけ移動し，奇数ならば$-1$だけ移動する．点$\mathrm{Q}$は，さいころ$\mathrm{B}$の出る目が$2$以下ならば$+3$だけ移動し，$3$以上ならば$+1$だけ移動する．点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$は最初に原点にあるものとし，このような操作をくり返すとき，次の問いに答えよ．

(1)$8$回目の操作で，点$\mathrm{P}$が原点に戻る確率$p_1$を求めよ．
(2)$6$回目の操作で，点$\mathrm{Q}$の座標が$14$以上である確率$p_2$を求めよ．
(3)$4$回目の操作で，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の座標が同じである確率$p_3$を求めよ．

$\mathrm{O}$を原点とする$xyz$空間内に$2$点$\mathrm{A}(5,\ 3,\ -3)$，$\mathrm{B}(4,\ 2,\ -1)$をとる．中心が$\mathrm{C}(5,\ 2,\ -2)$，半径が$r$の球面を$S$とし，$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線を$\ell$とする．$\mathrm{O}$から$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の定める平面に垂線$\mathrm{OH}$を下ろす．$\ell$と$S$が平面$z=1$で交点$\mathrm{D}$をもつ．以下の問いに答えよ．

(1)$r$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{CD}}=s \overrightarrow{\mathrm{CA}}+t \overrightarrow{\mathrm{CB}}$となる実数$s,\ t$の値を求めよ．
(3)垂線$\mathrm{OH}$の長さを求めよ．
(4)$\triangle \mathrm{ACD}$の面積を求めよ．

以下の各問いに答えよ．

(1)$e$は自然対数の底とし，$a$は正の実数とする．以下の問いに答えよ．

(i) $x>0$で定義された関数$f(x)=a \log x-x$の増減を調べ，極値を求めよ．
(ii) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} x^a e^{-2x}=0$を示せ．
(iii) 極限値$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \int_0^x t^2e^{-2t} \, dt$を求めよ．

(2)$0<t<\pi$とする．曲線$\displaystyle C:y=\sin \frac{x}{2} (0 \leqq x \leqq \pi)$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( t,\ \sin \frac{t}{2} \right)$における$C$の接線を$\ell_1$，点$\mathrm{P}$と原点を通る直線を$\ell_2$とする．以下の問いに答えよ．

(i) 接線$\ell_1$と$x$軸との交点の$x$座標を$t$を用いて表せ．
(ii) $j=1,\ 2$について，直線$\ell_j$，$x$軸および直線$x=t$で囲まれた三角形を$x$軸のまわりに回転させてできた円錐の体積を$V_j$とする．また，曲線$C$，$x$軸および直線$x=t$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに回転させてできた回転体の体積を$V$とする．$V_1$，$V_2$および$V$を$t$を用いて表せ．
(iii) 極限値$\displaystyle \lim_{\theta \to 0} \frac{\theta-\sin \theta}{\theta^3}$を求めよ．ただし，$\displaystyle \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta}=1$は利用してよい．

赤球$2$個，青球$3$個，緑球$1$個が入った白い箱がある．この白い箱から無作為に$1$個の球を取り出し，球の色を確認後，球を白い箱に戻す作業を試行$\mathrm{A}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)試行$\mathrm{A}$を$5$回繰り返すときに，取り出される$5$個の球のうち，$3$個が青球である確率を求めよ．
(2)試行$\mathrm{A}$を$4$回繰り返すときに，少なくとも赤球が$2$個出る確率を求めよ．
次に，赤い箱，青い箱，緑の箱に数字の書かれたカードが$4$枚ずつ入っていて，それぞれの箱のカードに書かれた数字と枚数は次の通りとする．
\begin{itemize}
赤い箱：$1$が$2$枚，$2$が$1$枚，$3$が$1$枚
青い箱：$1$が$1$枚，$2$が$2$枚，$3$が$1$枚
緑の箱：$1$が$2$枚，$2$が$2$枚
\end{itemize}
試行$\mathrm{A}$を$1$回実施し，取り出した球と同じ色の箱から無作為に$1$枚のカードを取り出し，カードに書かれた数字を確認後，カードを元の箱に戻す作業を試行$\mathrm{B}$とする．
(3)試行$\mathrm{B}$を$1$回実施するときに，出る数字の期待値を求めよ．
(4)試行$\mathrm{B}$を$2$回繰り返すときに，出る$2$個の数字の合計が偶数である確率を求めよ．
(5)動点$\mathrm{P}$は数直線上の原点から出発し，奇数回目の試行$\mathrm{B}$で出た数字の分だけ正の方向に動き，偶数回目の試行$\mathrm{B}$で出た数字の分だけ負の方向に動くこととする．試行$\mathrm{B}$を$4$回繰り返したとき，動点$\mathrm{P}$の座標が$3$である確率を求めよ．

$a,\ b,\ c$を実数とし，$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上において，行列$\left(
\begin{array}{ccc}
a & 1 \\
b & c
\end{array}
\right)$に
よって表される$1$次変換を$T$とする．この$1$次変換$T$が$2$つの条件

(1)点$(1,\ 2)$を点$(1,\ 2)$に移す
(2)点$(1,\ 0)$と点$(0,\ 1)$が$T$によって点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$にそれぞれ移るとき，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積が$\displaystyle\frac{1}{2}$である

を満たすとき，$a,\ b,\ c$を求めよ．

$xyz$空間で，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$\sqrt{6}$の球面$S$と$3$点$(4,\ 0,\ 0)$，$(0,\ 4,\ 0)$，$(0,\ 0,\ 4)$を通る平面$\alpha$が共有点を持つことを示し，点$(x,\ y,\ z)$がその共有点全体の集合を動くとき，積$xyz$が取り得る値の範囲を求めよ．