座標平面上に点$\mathrm{A}(0,\ 2)$，点$\mathrm{B}(0,\ b)$，点$\mathrm{C}(c,\ 0)$がある．ただし，$b>2$，$c>2$とする．また，原点を$\mathrm{O}$とし，$\angle \mathrm{OCA}=\alpha$，$\angle \mathrm{OCB}=\beta$，$\angle \mathrm{ACB}=\theta$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\tan \alpha$を$c$で表せ．また，$\tan \beta$を$b,\ c$で表せ．
(2)$\tan \theta$を$b,\ c$で表せ．
(3)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{4}$のとき，$b$を$c$で表せ．
(4)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{4}$のとき，$b$と$c$がともに整数となるような$(b,\ c)$の組をすべて求めよ．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)$3$つの行列$A=\left( \begin{array}{cc}
5 & 3 \\
2 & 1
\end{array} \right)$，$B=\left( \begin{array}{rr}
1 & -3 \\
-2 & 5
\end{array} \right)$，$C=\left( \begin{array}{rr}
2 & -3 \\
-4 & 5
\end{array} \right)$がある．$A$の逆行列$A^{-1}$を求めると，$A^{-1}=[ア]$である．$B^2A^3CA$を求めると，$B^2A^3CA=[イ]$である．
(2)$k>1$とする．$2$次方程式$kx^2+(1-2k)x-2=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．$2$次方程式$x^2-2(k+1)x+4k=0$の解の$1$つは$\beta$であり，もう$1$つの解を$\gamma$とする．このとき，$\beta$を求めると$\beta=[ウ]$である．さらに，$\beta-\alpha=\gamma-\beta$が成り立つとき，$k$の値を求めると$k=[エ]$である．
(3)$y=e^x+e^{-x}$とする．$y=3$のとき，$\displaystyle e^{\frac{x}{2}}+e^{-\frac{x}{2}}$の値は$\displaystyle e^{\frac{x}{2}}+e^{-\frac{x}{2}}=[オ]$である．また，$y=4$のとき，$x=[カ]$である．
(4)原点$\mathrm{O}$からの距離と点$\mathrm{A}(1,\ 1)$からの距離の比が$\sqrt{2}:1$である点$\mathrm{P}(x,\ y)$の軌跡は方程式$[キ]$で与えられる．この図形上の点$\mathrm{Q}(s,\ t)$における接線の傾きが$2$であるとき，$\mathrm{Q}$の座標は$(s,\ t)=[ク]$である．
(5)区別できない$9$個の球を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$の$4$つの箱のいずれかに入れる．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$に入れた球の個数をそれぞれ$a,\ b,\ c,\ d$とし，$X=1000a+100b+10c+d$とする．$X$のとりうる値を小さい順に並べたときに$31$番目にくる値を求めると$[ケ]$であり，$X$が$4$桁の数となる球の入れ方は$[コ]$通りある．

原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C$と直線$\ell:y=x$がある．$C$上に点$\mathrm{P}$があり，$x$軸の正の部分を始線として，動径$\mathrm{OP}$の表す正の角を$\theta$とする．ただし，$\displaystyle \frac{1}{4}\pi<\theta<\pi$である．

(1)$\ell$に関して$\mathrm{P}$と対称な点$\mathrm{Q}$をとる．$\mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)$x$軸に関して$\mathrm{P}$と対称な点$\mathrm{R}$をとる．三角形$\mathrm{PQR}$の面積$S$を$\theta$を用いて表せ．
(3)$S$が最大になるときの$\theta$と$S$の値を求めよ．

原点を$\mathrm{O}$とする空間に四面体$\mathrm{OPQR}$がある．$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$の位置ベクトルをそれぞれ，$\overrightarrow{p}$，$\overrightarrow{q}$，$\overrightarrow{r}$とするとき，$\triangle \mathrm{PQR}$の重心$\mathrm{G}$の位置ベクトル$\overrightarrow{g}$は，$\displaystyle \overrightarrow{g}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{p}+\overrightarrow{q}+\overrightarrow{r})$となることを示せ．

原点を$\mathrm{O}$とする空間に$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$があり，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする．$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角が$0^\circ$より大きく$90^\circ$未満のとき，以下の問に答えよ．

(1)$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{OB}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}_1$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}_1$を$\overrightarrow{a}$および$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)さらに$\mathrm{B}$から直線$\mathrm{OA}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}_2$とする．$\overrightarrow{a}=(1,\ 1,\ 1)$，$\overrightarrow{b}=(2,\ 2,\ 1)$であるとき，線分$\mathrm{H}_1 \mathrm{H}_2$の長さを求めよ．

座標空間の原点を$\mathrm{O}$とし，座標空間内に$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{C}(1,\ 1,\ 1)$をとる．また$0<s<1$，$0<t<1$とし，線分$\mathrm{AB}$を$s:(1-s)$に内分する点を$\mathrm{P}$，線分$\mathrm{OC}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標を，それぞれ$s,\ t$を用いて表しなさい．
(2)$\displaystyle s=\frac{1}{4}$，$\displaystyle t=\frac{1}{2}$のときの$\angle \mathrm{APQ}$の大きさを$\theta$とする．このとき$\cos \theta$の値を求めなさい．ただし，$0^\circ<\theta<180^\circ$とする．
(3)線分$\mathrm{PQ}$の長さを$l$とする．このとき$s,\ t$が，それぞれ$0<s<1$，$0<t<1$の範囲を動くときの$l$の最小値を求めなさい．

$\mathrm{O}$を原点とする座標平面において，点$(1,\ 1)$を点$(5,\ 5)$に，点$(1,\ -7)$を点$(-3,\ 21)$に移す$1$次変換を$f$とする．$f$による点$\mathrm{P}$の像を点$\mathrm{Q}$とするとき，$\mathrm{P}$に対して内積の条件
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=0 (*) \]
を考える．

(1)$f$を表す行列を求めよ．
(2)条件$(*)$を満たす点$\mathrm{P}(x,\ y)$の軌跡は$2$直線となる．この$2$直線の方程式を求めよ．
実数$a \geqq 0$に対して，
「点$(a,\ 0)$を中心とする半径$1$の円周上の点$\mathrm{P}$で，条件$(*)$を満たすものがちょうど$2$つある」 $(**)$
とする．この$2$点を$\mathrm{P}_1(x_1,\ y_1)$，$\mathrm{P}_2(x_2,\ y_2)$とするとき，$i=1,\ 2$に対して，$\mathrm{P}_i$の$f$による像を$\mathrm{Q}_i$とし，$\triangle \mathrm{OP}_i \mathrm{Q}_i$の面積を$S_i$とする．
(3)上の条件$(**)$を満たす$a$の値の範囲を求めよ．
(4)$S_i$を$y_i$を用いて表せ．また，和$S_1+S_2$の値を$a$を用いて表せ．

$k>0$として，座標平面上の曲線$C:y=e^{kx}$を考える．曲線$C$上の点$\mathrm{P}$を，$\mathrm{P}$における$C$の接線$\ell_1$が原点$\mathrm{O}$を通るようにとる．また，点$\mathrm{P}$を通リ$\ell_1$と直交する直線を$\ell_2$とし，図のように，曲線$C$，直線$\ell_2$，$x$軸，$y$軸の$4$つで囲まれた図形を$A$とする．ただし，$e$は自然対数の底である．
（図は省略）

(1)点$\mathrm{P}$の座標と，直線$\ell_2$と$x$軸との交点の座標を求めよ．
(2)図形$A$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．
(3)$k$が$k>0$を動くとき，$(2)$で求めた$V$の最小値と，それを与える$k$の値を求めよ．

$p,\ a,\ b$を実数，ただし$p>0$，$a>0$とする．直線$L:y=px$と直線$L^\prime$が原点で直交している．放物線$C:y=ax^2+bx+1$は$L$と$L^\prime$に同時に接している．

(1)$a$と$b$を，$p$を用いて表せ．
(2)$p=2$のとき，$L$と$L^\prime$と$C$で囲まれた部分の面積を求めよ．

平面上の点で，その座標が両方とも整数であるものを格子点と呼ぶ．原点を$\mathrm{O}$とし，$\mathrm{O}$以外の格子点$\mathrm{P}$に対して，線分$\mathrm{OP}$上にある$\mathrm{O}$と$\mathrm{P}$以外の格子点の個数を$n(\mathrm{P})$で表す．たとえば，点$\mathrm{P}(2,\ 3)$については$n(\mathrm{P})=0$である．条件
\[ 1 \leqq a \leqq 30 \quad \text{かつ} \quad 1 \leqq b \leqq 30 \quad \text{かつ} \quad n(\mathrm{P})=4 \]
をみたす格子点$\mathrm{P}(a,\ b)$の個数を求めよ．