原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の$2$点$\mathrm{A}(2,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 2)$に対して，線分$\mathrm{OA}$上の点$\mathrm{P}$と線分$\mathrm{OB}$上の点$\mathrm{Q}$を，直線$\mathrm{PQ}$が三角形$\mathrm{OAB}$の面積を二等分するようにとる．下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{Q}$の$y$座標が$t$のとき，直線$\mathrm{PQ}$の方程式と$t$の値の範囲を求めよ．
(2)(1)で求めた範囲で$t$を動かすとき，直線$\mathrm{PQ}$が通る点全体の領域を求め，図示せよ．

原点を中心とする半径1の円上の異なる3点P$_0(1,\ 0)$，P$_1(x_1,\ y_1)$，P$_2(x_2,\ y_2)$を$y_1>0$かつ$\triangle$P$_0$P$_1$P$_2$が正三角形になるようにとる．このとき，次の問いに答えよ．

(1)P$_1$の座標$(x_1,\ y_1)$とP$_2$の座標$(x_2,\ y_2)$を求めよ．
(2)$A \left( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \right)$と$A \left( \begin{array}{c}
x_1 \\
y_1
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
x_2 \\
y_2
\end{array} \right)$をみたす2次の正方行列$A$を求めよ．
(3)$B \left( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
x_1 \\
y_1
\end{array} \right)$と$B \left( \begin{array}{c}
x_1 \\
y_1
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
x_2 \\
y_2
\end{array} \right)$をみたす2次の正方行列$B$を求めよ．
(4)(2)，(3)で求めた行列$A,\ B$と正の整数$n$に対して，$(AB+BABA)^n$を求めよ．

原点を中心とする半径1の円上の異なる3点P$_0(1,\ 0)$，P$_1(x_1,\ y_1)$，P$_2(x_2,\ y_2)$を$y_1>0$かつ$\triangle$P$_0$P$_1$P$_2$が正三角形になるようにとる．このとき，次の問いに答えよ．

(1)P$_1$の座標$(x_1,\ y_1)$とP$_2$の座標$(x_2,\ y_2)$を求めよ．
(2)$A \left( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \right)$と$A \left( \begin{array}{c}
x_1 \\
y_1
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
x_2 \\
y_2
\end{array} \right)$をみたす2次の正方行列$A$を求めよ．
(3)$B \left( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
x_1 \\
y_1
\end{array} \right)$と$B \left( \begin{array}{c}
x_1 \\
y_1
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
x_2 \\
y_2
\end{array} \right)$をみたす2次の正方行列$B$を求めよ．
(4)(2)，(3)で求めた行列$A,\ B$と正の整数$n$に対して，$(AB+BABA)^n$を求めよ．

座標空間内において，4点$(2,\ 0,\ 0)$，$(2,\ 1,\ 0)$，$(-2,\ 1,\ 0)$，$(-2,\ 0,\ 0)$を頂点とする長方形を$x$軸のまわりに回転してできる円柱と，原点を中心とする半径2の球との共通部分の体積を求めよ．

座標平面上の2点A$(6,\ 0)$，B$(-2,\ 4)$を結ぶ線分AB上を点Tが移動する．原点Oと点Tを頂点とし，2辺がそれぞれ$x$軸と$y$軸上にある長方形の面積を$S$とする．また，点Tの座標を$(x,\ f(x))$とし，$S$を$x$の関数として$S(x)$と表す．次の各問に解答しなさい．

(1)$f(x)$と$S(x)$を$x$で表しなさい．さらに，区間$-2 \leqq x \leqq 6$における$y=S(x)$のグラフの概形を図示しなさい．
(2)直線$x=-2$と曲線$y=S(x)$および$x$軸で囲まれた図形の面積を求めなさい．
(3)区間$-2 \leqq x \leqq 4$における任意の$x$の値について，区間$x \leqq t \leqq x+2$における関数$S(t)$の最大値を$x$の関数として$M(x)$と定義する．関数$M(x)$を$x$で表し，さらに$y=M(x)$のグラフの概形を図示しなさい．

$t$を1以上の実数とし，$f(x)=x^3+x^2-(t^2+t)x-t$とする．曲線$C:y=f(x)$を原点に関して対称移動して得られる曲線を$C_1$，$C$を$x$軸方向に1だけ平行移動して得られる曲線を$C_2$とする．また，$0 \leqq x \leqq 3$の範囲で，曲線$C_1,\ C_2,\ y$軸および直線$x=3$で囲まれた部分の面積を$S(t)$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)曲線$C_1$と$C_2$の交点の座標をすべて求めよ．
(2)$S(t)$を$t$を用いて表せ．
(3)$t$が$t \geqq 1$の範囲を動くとき，$S(t)$の最小値とそのときの$t$の値を求めよ．

原点$\mathrm{O}$を中心とし，半径1の円を$C$とする．次の問いに答えよ．

(1)直線$y=2$上の点$\mathrm{P}(t,\ 2)$から円$C$に2本の接線を引き，その接点を$\mathrm{M},\ \mathrm{N}$とする．直線$\mathrm{OP}$と弦$\mathrm{MN}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$の座標を$t$を用いて表せ．ただし，$t$は実数とする．
(2)点$\mathrm{P}$が直線$y=2$上を動くとき，点$\mathrm{Q}$の軌跡を求めよ．

空間のベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{p},\ \overrightarrow{q}$を
\[ \overrightarrow{a}=\left( \frac{1}{2},\ \frac{\sqrt{3}}{2},\ 0 \right),\quad \overrightarrow{p}=\left( 1,\ \frac{\sqrt{3}}{3},\ 1 \right),\quad \overrightarrow{q}=(-1,\ \sqrt{3},\ 2) \]
で定める．また$\alpha=\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{a},\ \beta=\overrightarrow{q} \cdot \overrightarrow{a}$とおく．次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{p}-\alpha \overrightarrow{a}$とする．$\overrightarrow{b}$を成分で表せ．
(2)$\displaystyle \overrightarrow{c}=\overrightarrow{q}-\beta \overrightarrow{a}-\frac{\overrightarrow{q} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|^2} \overrightarrow{b}$とする．$\overrightarrow{c}$を成分で表せ．
(3)座標空間の原点を$\mathrm{O}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$となる3点$\mathrm{A},\ \mathrm{B},\ \mathrm{C}$に対して，四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を求めよ．

$k>0$とする．原点を$\mathrm{O}$とする座標平面において，2点$\mathrm{A},\ \mathrm{B}$は曲線$\displaystyle y=\frac{1}{k}x^2$上にあり，かつ$\triangle \mathrm{OAB}$は正三角形とする．また，$\triangle \mathrm{OAB}$の内接円を$S$とし，$\mathrm{C}$をその中心とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)中心$\mathrm{C}$の座標を求めよ．
(2)円$S$の方程式を求めよ．
(3)$T$を中心$\mathrm{D}(3k,\ -2k)$，半径$k$の円とする．$T$上の点$\mathrm{P}$から円$S$へ2本の接線を引いて，その接点を$\mathrm{E},\ \mathrm{F}$とする．線分$\mathrm{CP}$の長さを$t$として，内積$\overrightarrow{\mathrm{CE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CF}}$を$k$と$t$を用いて表せ．
(4)点$\mathrm{P}$が円$T$上を動くとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{CE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CF}}$の最大値と最小値を求めよ．

$k>0$とする．原点を$\mathrm{O}$とする座標平面において，2点$\mathrm{A},\ \mathrm{B}$は曲線$\displaystyle y=\frac{1}{k}x^2$上にあり，かつ$\triangle \mathrm{OAB}$は正三角形とする．また，$\triangle \mathrm{OAB}$の内接円を$S$とし，$\mathrm{C}$をその中心とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)中心$\mathrm{C}$の座標を求めよ．
(2)円$S$の方程式を求めよ．
(3)$T$を中心$\mathrm{D}(3k,\ -2k)$，半径$k$の円とする．$T$上の点$\mathrm{P}$から円$S$へ2本の接線を引いて，その接点を$\mathrm{E},\ \mathrm{F}$とする．線分$\mathrm{CP}$の長さを$t$として，内積$\overrightarrow{\mathrm{CE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CF}}$を$k$と$t$を用いて表せ．
(4)点$\mathrm{P}$が円$T$上を動くとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{CE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CF}}$の最大値と最小値を求めよ．