「原点」について
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国立 九州大学 2012年 第1問原点を$\mathrm{O}$とする座標空間に，$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 0,\ 2)$，$\mathrm{C}(-2,\ 1,\ 3)$がある．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{B}$は$\displaystyle\frac{\pi}{2}$より大きいことを示せ．
(2)点$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{BC}$に下ろした垂線と直線$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{H}$とする．点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{OAH}$の面積を求めよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{B}$は$\displaystyle\frac{\pi}{2}$より大きいことを示せ．
(2)点$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{BC}$に下ろした垂線と直線$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{H}$とする．点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{OAH}$の面積を求めよ．
国立 岡山大学 2012年 第1問$\mathrm{O}$を原点とする座標平面における曲線$\displaystyle C: \frac{x^2}{4}+y^2=1$上に，点$\mathrm{P} \displaystyle\left( 1,\ \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$をとる．
(1)$C$の接線で直線$\mathrm{OP}$に平行なものをすべて求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}$が$C$上を動くとき，$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積の最大値と，最大値を与える$\mathrm{Q}$の座標をすべて求めよ．
(1)$C$の接線で直線$\mathrm{OP}$に平行なものをすべて求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}$が$C$上を動くとき，$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積の最大値と，最大値を与える$\mathrm{Q}$の座標をすべて求めよ．
国立 神戸大学 2012年 第1問座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(-1,\ 0)$と直線$\ell$があり，$\mathrm{A}$と$\ell$の距離と$\mathrm{B}$と$\ell$の距離の和が$1$であるという．以下の問に答えよ．
(1)$\ell$は$y$軸と平行でないことを示せ．
(2)$\ell$が線分$\mathrm{AB}$と交わるとき，$\ell$の傾きを求めよ．
(3)$\ell$が線分$\mathrm{AB}$と交わらないとき，$\ell$と原点との距離を求めよ．
(1)$\ell$は$y$軸と平行でないことを示せ．
(2)$\ell$が線分$\mathrm{AB}$と交わるとき，$\ell$の傾きを求めよ．
(3)$\ell$が線分$\mathrm{AB}$と交わらないとき，$\ell$と原点との距離を求めよ．
国立 神戸大学 2012年 第1問座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(-1,\ 0)$と直線$\ell$があり，$\mathrm{A}$と$\ell$の距離と$\mathrm{B}$と$\ell$の距離の和が$1$であるという．以下の問に答えよ．
(1)$\ell$は$y$軸と平行でないことを示せ．
(2)$\ell$が線分$\mathrm{AB}$と交わるとき，$\ell$の傾きを求めよ．
(3)$\ell$が線分$\mathrm{AB}$と交わらないとき，$\ell$と原点との距離を求めよ．
(1)$\ell$は$y$軸と平行でないことを示せ．
(2)$\ell$が線分$\mathrm{AB}$と交わるとき，$\ell$の傾きを求めよ．
(3)$\ell$が線分$\mathrm{AB}$と交わらないとき，$\ell$と原点との距離を求めよ．
国立 金沢大学 2012年 第1問$\mathrm{O}$を原点とする座標平面に点$\mathrm{A}(0,\ \sin \theta)$，$\mathrm{B}(\cos \theta,\ 0)$がある．ただし，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．また，点$\mathrm{C}$を$\displaystyle \mathrm{AC}=2,\ \angle \mathrm{ABC}=\frac{\pi}{2}$を満たす第1象限の点とする．さらに，点$\mathrm{C}$から$x$軸に垂線$\mathrm{CD}$を下ろす．次の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$を求めよ．また，$\angle \mathrm{OBA}$と$\angle \mathrm{CBD}$および点$\mathrm{C}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)台形$\mathrm{AODC}$の面積を$S$とするとき，$\displaystyle S \leqq 1+\frac{\sqrt{3}}{2}$を示せ．また，等号が成り立つとき，$\theta$の値を求めよ．
(3)$\mathrm{AO}+\mathrm{CD} \leqq 2$を示せ．また，等号が成り立つとき，$\theta$の値を求めよ．
（図は省略）
(1)$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$を求めよ．また，$\angle \mathrm{OBA}$と$\angle \mathrm{CBD}$および点$\mathrm{C}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)台形$\mathrm{AODC}$の面積を$S$とするとき，$\displaystyle S \leqq 1+\frac{\sqrt{3}}{2}$を示せ．また，等号が成り立つとき，$\theta$の値を求めよ．
(3)$\mathrm{AO}+\mathrm{CD} \leqq 2$を示せ．また，等号が成り立つとき，$\theta$の値を求めよ．
（図は省略）
国立 金沢大学 2012年 第2問曲線$C : y = |x^2-2x|$と傾きが$m$の直線$\ell: y = mx$ついて，次の問いに答えよ．
(1)曲線$y=-x^2 +2x$と$\ell$が接する$m$の値を求めよ．
(2)$C$と$\ell$が原点以外の相異なる2点で交わるような$m$の範囲を求めよ．また，そのときの2つの交点の座標を$m$を用いて表せ．
(3)$m$は(2)で求めた範囲にあるとする．$x \geqq 2,\ y \leqq mx,\ y \geqq |x^2-2x|$で定まる部分の面積$S$を$m$を用いて表せ．
(1)曲線$y=-x^2 +2x$と$\ell$が接する$m$の値を求めよ．
(2)$C$と$\ell$が原点以外の相異なる2点で交わるような$m$の範囲を求めよ．また，そのときの2つの交点の座標を$m$を用いて表せ．
(3)$m$は(2)で求めた範囲にあるとする．$x \geqq 2,\ y \leqq mx,\ y \geqq |x^2-2x|$で定まる部分の面積$S$を$m$を用いて表せ．
国立 広島大学 2012年 第4問$\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{2}$とする．原点Oを中心とする単位円周上の異なる3点A，B，Cが条件
\[ (\cos \theta) \overrightarrow{\mathrm{OA}} + (\sin \theta) \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
を満たすとする．次の問いに答えよ．
(1)2つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}$は垂直であることを証明せよ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{CA}}|,\ |\overrightarrow{\mathrm{CB}}|$を$\theta$を用いて表せ．
(3)三角形ABCの周の長さ$\text{AB}+ \text{BC} + \text{CA}$を最大にする$\theta$を求めよ．
\[ (\cos \theta) \overrightarrow{\mathrm{OA}} + (\sin \theta) \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
を満たすとする．次の問いに答えよ．
(1)2つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}$は垂直であることを証明せよ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{CA}}|,\ |\overrightarrow{\mathrm{CB}}|$を$\theta$を用いて表せ．
(3)三角形ABCの周の長さ$\text{AB}+ \text{BC} + \text{CA}$を最大にする$\theta$を求めよ．
国立 広島大学 2012年 第5問$n$は自然数とし，点Pは次の規則にしたがって座標平面上を動くとする．\\
規則:\\
\quad (A) \ Pは，はじめに点$(1,\ 2)$にある．\\
\quad (B) \ さいころを投げて2以下の目が出ればPは原点を中心に反時計回りに$120^\circ$回転し，3以上の目が出れば時計回りに$60^\circ$回転する．\\
\quad (C) \ (B)を$n$回繰り返す．\\
ただし，さいころの目の出方は同様に確からしいとする．次の問いに答えよ．
(1)$n=3$のとき，出た目が$4,\ 1,\ 2$であったとする．このときPが最後に移った点の座標を求めよ．
(2)$n=3$のとき，Pが点$(1,\ 2)$にある確率を求めよ．
(3)$n=6$のとき，Pが点$(-1,\ -2)$にある確率を求めよ．
(4)$n=3m$のとき，Pが点$(1,\ 2)$にある確率を求めよ．ただし，$m$は自然数とする．
規則:\\
\quad (A) \ Pは，はじめに点$(1,\ 2)$にある．\\
\quad (B) \ さいころを投げて2以下の目が出ればPは原点を中心に反時計回りに$120^\circ$回転し，3以上の目が出れば時計回りに$60^\circ$回転する．\\
\quad (C) \ (B)を$n$回繰り返す．\\
ただし，さいころの目の出方は同様に確からしいとする．次の問いに答えよ．
(1)$n=3$のとき，出た目が$4,\ 1,\ 2$であったとする．このときPが最後に移った点の座標を求めよ．
(2)$n=3$のとき，Pが点$(1,\ 2)$にある確率を求めよ．
(3)$n=6$のとき，Pが点$(-1,\ -2)$にある確率を求めよ．
(4)$n=3m$のとき，Pが点$(1,\ 2)$にある確率を求めよ．ただし，$m$は自然数とする．
国立 東京工業大学 2012年 第3問$3$次関数$y = x^3-3x^2+2x$のグラフを$C$，直線$y = ax$を$\ell$とする．
(1)$C$と$\ell$が原点以外の共有点をもつような実数$a$の範囲を求めよ．
(2)$a$が(1)で求めた範囲内にあるとき，$C$と$\ell$によって囲まれる部分の面積を$S(a)$とする．$S(a)$が最小となる$a$の値を求めよ．
(1)$C$と$\ell$が原点以外の共有点をもつような実数$a$の範囲を求めよ．
(2)$a$が(1)で求めた範囲内にあるとき，$C$と$\ell$によって囲まれる部分の面積を$S(a)$とする．$S(a)$が最小となる$a$の値を求めよ．
国立 東京工業大学 2012年 第5問行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$で定まる$1$次変換を$f$とする．原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$と異なる任意の$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$に対して$\displaystyle \frac{\mathrm{OP}^\prime}{\mathrm{OP}} = \frac{\mathrm{OQ}^\prime}{\mathrm{OQ}}$が成り立つ．ただし，$\mathrm{P}^\prime,\ \mathrm{Q}^\prime$はそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$f$による像を表す．
(1)$a^2 +c^2 = b^2 +d^2$を示せ．
(2)$1$次変換$f$により，点$(1,\ \sqrt{3})$が点$(-4,\ 0)$に移るとき，$A$を求めよ．
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$で定まる$1$次変換を$f$とする．原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$と異なる任意の$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$に対して$\displaystyle \frac{\mathrm{OP}^\prime}{\mathrm{OP}} = \frac{\mathrm{OQ}^\prime}{\mathrm{OQ}}$が成り立つ．ただし，$\mathrm{P}^\prime,\ \mathrm{Q}^\prime$はそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$f$による像を表す．
(1)$a^2 +c^2 = b^2 +d^2$を示せ．
(2)$1$次変換$f$により，点$(1,\ \sqrt{3})$が点$(-4,\ 0)$に移るとき，$A$を求めよ．