$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に，$2$点$\mathrm{A}(-1,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{B}(a,\ b,\ 0)$がある．線分$\mathrm{OA}$上に点$\mathrm{P}$をとり，$\displaystyle t=\frac{\mathrm{OP}}{\mathrm{OA}}$とする．このとき，$0 \leqq t \leqq 1$である．

(1)点$\mathrm{P}$の座標を$t$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{OA}$上を動くとき，線分$\mathrm{PB}$の長さの最小値を求めよ．
(3)$(2)$で求めた最小値が$1$となるような点$(a,\ b)$全体が作る図形を，座標平面上に図示せよ．

中心$\mathrm{A}(1,\ 1)$，半径$1$の円を$C$とする．原点を通り円$C$と異なる$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わる直線を$\ell$とする．$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$における円$C$の$2$本の接線が直交するとき，次の問に答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{APQ}$の面積$S$を求めよ．
(2)直線$\ell$の傾きを求めよ．
(3)$2$本の接線の交点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．

平面上の点$\mathrm{P}(\cos \theta,\ \sin \theta)$に対して，点$\mathrm{Q}(x,\ y)$を以下のように定める．
\[ \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc}
0 & 2 \\
\sqrt{3} & -1
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
\cos \theta \\
\sin \theta
\end{array} \right) \]
$\theta$が$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$の範囲を動くとき，次の問に答えよ．

(1)すべての点$\mathrm{Q}(x,\ y)$に対して，$ax^2+bxy+y^2$の値が$\theta$によらず一定であるとき，定数$a,\ b$の値は$a=[ヒ]$，$b=[フ]$である．
(2)原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{Q}$の距離の$2$乗の最小値は$[ヘ]$，最大値は$[ホ]$である．

座標平面上に放物線$C:y=ax^2+1$がある．放物線$C$上の点$\mathrm{P}$における接線を$\ell$とし，点$\mathrm{P}$の$x$座標を$p$とする．ただし，$a>0$，$p>0$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)直線$\ell$の方程式を$a,\ p$を用いて表せ．
(2)直線$\ell$，放物線$C$，および$y$軸で囲まれる部分の面積$S$を$a,\ p$を用いて表せ．
(3)直線$\ell$と原点との距離が$1$のとき，$S$を$a$を用いて表せ．

関数$F(x)$を次のように定める．
\[ F(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
x^2 & (x \leqq 1) \\
-x^2+2x & (x>1) \phantom{\frac{[　]}{2}}
\end{array} \right. \]
実数$k$が$0<k<1$を満たすとき，次の問に答えよ．

(1)直線$y=kx$と曲線$y=F(x)$の交点のうち，原点とは異なるものをすべて求めよ．
(2)直線$y=kx$と曲線$y=F(x)$で囲まれた$2$つの部分のうち，直線$y=kx$の下側にある部分の面積$S_1$を$k$を用いて表せ．
(3)直線$y=kx$と曲線$y=F(x)$で囲まれた$2$つの部分のうち，直線$y=kx$の上側にある部分の面積$S_2$を$k$を用いて表せ．
(4)$(2)$で求めた$S_1$と$(3)$で求めた$S_2$の和$S=S_1+S_2$が最小となるときの$k$の値を求めよ．

図のように，座標平面上に，$x$座標が$0,\ 1,\ 2$，$y$座標が$0,\ 1,\ 2$である$9$個の点がある．これらの$9$点から$1$点を選ぶ試行を$3$回くり返すことで$3$点を選ぶ．ただし，どの点を選ぶ確率も等しいとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$3$点とも原点$\mathrm{O}$になる確率を求めよ．
(2)$3$点が同一の点になる確率を求めよ．
(3)$3$点のうち$2$点だけが同一の点になる確率を求めよ．
(4)$3$点とも異なる点であり，かつ一直線上に並ぶ確率を求めよ．
(5)$3$点を頂点とする三角形ができる確率を求めよ．
（図は省略）

次の$[　]$を埋めよ．

(1)座標平面上の放物線$C:y=a(x-b)^2$（$a,\ b$は正の定数）が点$\displaystyle \mathrm{A} \left( \frac{4}{5},\ \frac{3}{5} \right)$を通り，点$\mathrm{A}$における$C$の法線が原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を通るとき，$\displaystyle a=\frac{[アイ]}{[ウエ]}$，$\displaystyle b=\frac{[オカ]}{[キク]}$である．
(2)不等式
\[ \log (n+9)-\log (n+8)<\frac{1}{100} \]
をみたす最小の正の整数$n$の値は$n=[ケコ]$である．ただし，対数は自然対数とする．

次の問いに答えなさい．

(1)座標平面上の原点に点$\mathrm{P}$がある．さいころを投げ，$1$または$2$がでたとき，$x$軸の正の方向へ$1$動き，出た目が$3,\ 4,\ 5,\ 6$のとき，$y$軸の正の方向に$1$動くとする．さいころを$5$回投げたとき，点$\mathrm{P}$が$(3,\ 2)$の位置にいる確率を求めなさい．
(2)$52$枚のトランプから$2$枚を引いたとき，$2$枚ともハートであるまたは$2$枚とも絵札でない確率を求めなさい．

$a$は$0$でない定数とし，$b$と$c$を定数とする．$k$がすべての実数を動くとき，$xy$平面上の直線$\ell:y=kx+k^2+3k+1$はつねに放物線$C:y=ax^2+bx+c$に接するものとする．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)$a,\ b,\ c$の値を求めなさい．
(2)直線$\ell$と放物線$C$の接点を$\mathrm{P}$とするとき，原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{P}$を結ぶ線分$\mathrm{OP}$の中点$\mathrm{Q}(s,\ t)$の軌跡の方程式を求めなさい．

$t$を$1 \leqq t \leqq 6$を満たす実数とする．原点を$\mathrm{O}(0,\ 0)$とする座標平面上に，点$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(3,\ 0)$，$\mathrm{C}(3,\ 12)$，$\mathrm{D}(1,\ 12)$，$\mathrm{P}(7,\ 0)$，$\mathrm{Q}(t,\ 7t-t^2)$をとる．長方形$\mathrm{ABCD}$と$\triangle \mathrm{OPQ}$の共通部分の面積を$f(t)$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)$f(t)$を求めよ．
(2)$3$個のさいころを同時に投げて，出た目の合計を$m$とする．このとき，
\[ f \left( \frac{m}{3} \right)<3m \]
となる確率を求めよ．