行列$\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{5}{2} & -\displaystyle\frac{1}{4} \\
a & b
\end{array} \right)$で表される$1$次変換を$f$とする．$f$は$3$点$\mathrm{A}(1,\ m)$，$\mathrm{B}(0,\ 1)$，$\mathrm{C}(m,\ -1)$に対して，次の$2$つの条件$①,\ ②$を満たすものとする．ただし，$\mathrm{O}$は原点である．

$①$ $\mathrm{A}$の$f$による像は$\mathrm{A}$自身である
$②$ $\mathrm{B}$の$f$による像を$\mathrm{B}^\prime$とすると，$\overrightarrow{\mathrm{BB^\prime}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$は垂直である


(1)$a,\ b,\ m$の値を求めよ．
(2)$\mathrm{P}(x,\ y)$を任意の点とし，$\mathrm{P}$の$f$による像を$\mathrm{P}^\prime$とする．$\overrightarrow{\mathrm{PP^\prime}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$の内積を求めよ．
(3)点$\mathrm{Q}(t,\ t^2-1)$の$f$による像を$\mathrm{Q}^\prime$とする．$|\overrightarrow{\mathrm{QQ^\prime}}|$の値が最小となる実数$t$の値を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)座標平面上の原点$\mathrm{O}$を通り，$x$軸とのなす角が$30^\circ$で傾きが正の直線と，放物線$y=x^2$の交点で$\mathrm{O}$と異なるものを$\mathrm{A}$とおく．点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．
(2)線分$\mathrm{OA}$を$1$辺とする正方形$\mathrm{OABC}$をつくる．ただし，点$\mathrm{C}$は第$2$象限にとる．点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の座標をそれぞれ求めよ．
(3)直線$\mathrm{OB}$に垂直で，放物線$y=x^2$に接する直線の方程式を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)座標平面上の原点$\mathrm{O}$を通り，$x$軸とのなす角が$30^\circ$で傾きが正の直線と，放物線$y=x^2$の交点で$\mathrm{O}$と異なるものを$\mathrm{A}$とおく．点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．
(2)線分$\mathrm{OA}$を$1$辺とする正方形$\mathrm{OABC}$をつくる．ただし，点$\mathrm{C}$は第$2$象限にとる．点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の座標をそれぞれ求めよ．
(3)直線$\mathrm{OB}$に垂直で，放物線$y=x^2$に接する直線の方程式を求めよ．

円$C_1:x^2+y^2+2x-4y-3=0$，円$C_2:x^2+y^2-4x-2y-1=0$について考える．円$C_1$と円$C_2$の$2$つの異なる交点と原点を通る円の方程式を$x^2+y^2+ax+by+c=0$とするとき，$b-c-a$の値を求めよ．

円$C:x^2+y^2-15x-10y+50=0$，直線$L:y=mx$（$m$は正の実数）について考える．円$C$と直線$L$は，異なる$2$つの点$\mathrm{P}(p,\ mp)$，$\mathrm{Q}(q,\ mq) (q>p)$で交わることとする．円$C$と$x$軸は，異なる$2$つの点$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$で交わる（$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$のうち，原点に近い点を$\mathrm{S}$とする）．線分$\mathrm{QR}$の長さが，線分$\mathrm{PS}$の長さの$2$倍となるとき，$\displaystyle \frac{13mp}{12}$の値を求めよ．

$2$次関数$f(x)=-x^2+(2a-3)x-a^2+3a+4$について，次の問いに答えよ．ただし，$a$は実数の定数とする．

(1)関数$f(x)$の最大値を求めよ．また，そのときの$x$の値を$a$を用いて表せ．
(2)$0 \leqq x \leqq 2$における関数$f(x)$の最小値が$4$であるような，$a$の値をすべて求めよ．
(3)$a$が(2)で求めたそれぞれの値をとるとき，$y=f(x)$のグラフを原点に関して対称移動した放物線の方程式を求めよ．ただし，$y=f(x)$の定義域は実数全体とする．

原点を$\mathrm{O}$とする座標空間に$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 3)$がある．

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の定める平面を$\alpha$とする．$\mathrm{O}$から$\alpha$に下ろした垂線と$\alpha$との交点を$\mathrm{H}$とするとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{AH}}=s \overrightarrow{\mathrm{AB}}+t \overrightarrow{\mathrm{AC}} \]
を満たすような実数$s,\ t$の値を求めよ．また，$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$に内接する球の半径$r$を求めよ．

$xy$平面上に，円
\[ \begin{array}{l}
C_1:x^2-12x+y^2-4y+15=0 \\
C_2:x^2-4x+y^2-2y-15=0
\end{array} \]
があり，$C_1$と$C_2$との$2$つの交点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とする．次の問に答えよ．

(1)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線の方程式を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$および原点を通る円の方程式を求めよ．
(3)原点を中心とし，$C_1$に外接する円の半径を求めよ．

空間の$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 3)$を通る平面を$\alpha$とし，原点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に垂線$\mathrm{OH}$を下ろす．

(1)四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表し，点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．

次の$[　]$に適切な答えを入れよ．

(1)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1},\ y=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}$のとき，$x^2+y^2=[ア]$，$x^3+y^3=[イ]$である．
(2)放物線$y=x^2-2x+3$を$x$軸方向に$[ウ]$，$y$軸方向に$[エ]$だけ平行移動すると，放物線$y=x^2+4x+3$が得られる．
(3)$xy$平面上に，$2$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(3,\ 0)$を端点とする線分$\mathrm{OA}$と点$\mathrm{P}$がある．$\mathrm{P}$が$\mathrm{OP}:\mathrm{AP}=1:1$を満たしながら動くとき，$\mathrm{P}$の描く軌跡は直線であり，その方程式は$[オ]$である．また，$\mathrm{P}$が$\mathrm{OP}:\mathrm{AP}=1:2$を満たしながら動くとき，$\mathrm{P}$の描く軌跡は円であり，その方程式は$[カ]$である．
(4)放物線$C_1:y=x^2+2x$と放物線$C_2:y=-2x^2-10x$との$2$つの交点のうち，原点ではない交点の$x$座標を$x_0$とすると，$x_0=[キ]$である．$C_1$と$C_2$によって囲まれた部分の面積を$S_1$とし，$C_1$，$C_2$および直線$\ell:x=-5$によって囲まれた部分の面積を$S_2$とするとき，$S_1+S_2=[ク]$である．