「原点」について
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国立 山口大学 2013年 第4問原点を出発点として数直線上を動く点$\mathrm{P}$がある．次のような試行を考える．さいころを$1$回投げて，$5$以上の目が出たときは点$\mathrm{P}$を正の向きに$1$だけ進め，$4$以下の目が出たときは負の向きに$2$だけ進める．このような試行について，次の問いに答えなさい．
(1)この試行を$3$回行うとき，点$\mathrm{P}$が原点の位置にくる確率を求めなさい．
(2)この試行を$9$回行うとき，点$\mathrm{P}$が$3$回目と$9$回目に原点の位置にくる確率を求めなさい．
(3)この試行を$9$回行うとき，点$\mathrm{P}$が$3$回目と$9$回目のみ原点の位置にくる確率を求めなさい．
(1)この試行を$3$回行うとき，点$\mathrm{P}$が原点の位置にくる確率を求めなさい．
(2)この試行を$9$回行うとき，点$\mathrm{P}$が$3$回目と$9$回目に原点の位置にくる確率を求めなさい．
(3)この試行を$9$回行うとき，点$\mathrm{P}$が$3$回目と$9$回目のみ原点の位置にくる確率を求めなさい．
国立 山口大学 2013年 第4問原点を出発点として数直線上を動く点$\mathrm{P}$がある．次のような試行を考える．さいころを$1$回投げて，$5$以上の目が出たときは点$\mathrm{P}$を正の向きに$1$だけ進め，$4$以下の目が出たときは負の向きに$2$だけ進める．このような試行について，次の問いに答えなさい．
(1)この試行を$3$回行うとき，点$\mathrm{P}$が原点の位置にくる確率を求めなさい．
(2)この試行を$9$回行うとき，点$\mathrm{P}$が$3$回目と$9$回目に原点の位置にくる確率を求めなさい．
(3)この試行を$9$回行うとき，点$\mathrm{P}$が$3$回目と$9$回目のみ原点の位置にくる確率を求めなさい．
(1)この試行を$3$回行うとき，点$\mathrm{P}$が原点の位置にくる確率を求めなさい．
(2)この試行を$9$回行うとき，点$\mathrm{P}$が$3$回目と$9$回目に原点の位置にくる確率を求めなさい．
(3)この試行を$9$回行うとき，点$\mathrm{P}$が$3$回目と$9$回目のみ原点の位置にくる確率を求めなさい．
国立 長崎大学 2013年 第1問円$C_1:x^2-4x+y^2=0$と直線$\displaystyle \ell:y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$がある．次の問いに答えよ．
(1)円$C_1$と直線$\ell$の交点のうち，原点$\mathrm{O}$と異なるものを$\mathrm{A}$とする．点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．さらに，原点$\mathrm{O}$を頂点とし，点$\mathrm{A}$を通る放物線$C_2$の方程式を$y=ax^2$とする．$a$の値を求めよ．
(2)直線$\ell$の傾きを$\tan \theta$と表す．そのときの$\theta$の値を求めよ．ただし，$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．
(3)円$C_1$と直線$\ell$で囲まれた図形のうち，直線$\ell$の上側にある部分の面積$S_1$を求めよ．
(4)円$C_1$と放物線$C_2$で囲まれた図形のうち，放物線$C_2$の上側にある部分の面積$S_2$を求めよ．
(5)放物線$C_2$の接線で，直線$\ell$とのなす角が$\displaystyle \frac{\pi}{4}$であるものを考える．そのすべてについて，接点の$x$座標を求めよ．
(1)円$C_1$と直線$\ell$の交点のうち，原点$\mathrm{O}$と異なるものを$\mathrm{A}$とする．点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．さらに，原点$\mathrm{O}$を頂点とし，点$\mathrm{A}$を通る放物線$C_2$の方程式を$y=ax^2$とする．$a$の値を求めよ．
(2)直線$\ell$の傾きを$\tan \theta$と表す．そのときの$\theta$の値を求めよ．ただし，$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．
(3)円$C_1$と直線$\ell$で囲まれた図形のうち，直線$\ell$の上側にある部分の面積$S_1$を求めよ．
(4)円$C_1$と放物線$C_2$で囲まれた図形のうち，放物線$C_2$の上側にある部分の面積$S_2$を求めよ．
(5)放物線$C_2$の接線で，直線$\ell$とのなす角が$\displaystyle \frac{\pi}{4}$であるものを考える．そのすべてについて，接点の$x$座標を求めよ．
国立 愛媛大学 2013年 第2問行列$\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{5}{2} & -\displaystyle\frac{1}{4} \\
a & b
\end{array} \right)$で表される$1$次変換を$f$とする．$f$は$3$点$\mathrm{A}(1,\ m)$，$\mathrm{B}(0,\ 1)$，$\mathrm{C}(m,\ -1)$に対して，次の$2$つの条件$①,\ ②$を満たすものとする．ただし，$\mathrm{O}$は原点である．
$①$ $\mathrm{A}$の$f$による像は$\mathrm{A}$自身である
$②$ $\mathrm{B}$の$f$による像を$\mathrm{B}^\prime$とすると，$\overrightarrow{\mathrm{BB^\prime}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$は垂直である
(1)$a,\ b,\ m$の値を求めよ．
(2)$\mathrm{P}(x,\ y)$を任意の点とし，$\mathrm{P}$の$f$による像を$\mathrm{P}^\prime$とする．$\overrightarrow{\mathrm{PP^\prime}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$の内積を求めよ．
(3)点$\mathrm{Q}(t,\ t^2-1)$の$f$による像を$\mathrm{Q}^\prime$とする．$|\overrightarrow{\mathrm{QQ^\prime}}|$の値が最小となる実数$t$の値を求めよ．
\displaystyle\frac{5}{2} & -\displaystyle\frac{1}{4} \\
a & b
\end{array} \right)$で表される$1$次変換を$f$とする．$f$は$3$点$\mathrm{A}(1,\ m)$，$\mathrm{B}(0,\ 1)$，$\mathrm{C}(m,\ -1)$に対して，次の$2$つの条件$①,\ ②$を満たすものとする．ただし，$\mathrm{O}$は原点である．
$①$ $\mathrm{A}$の$f$による像は$\mathrm{A}$自身である
$②$ $\mathrm{B}$の$f$による像を$\mathrm{B}^\prime$とすると，$\overrightarrow{\mathrm{BB^\prime}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$は垂直である
(1)$a,\ b,\ m$の値を求めよ．
(2)$\mathrm{P}(x,\ y)$を任意の点とし，$\mathrm{P}$の$f$による像を$\mathrm{P}^\prime$とする．$\overrightarrow{\mathrm{PP^\prime}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$の内積を求めよ．
(3)点$\mathrm{Q}(t,\ t^2-1)$の$f$による像を$\mathrm{Q}^\prime$とする．$|\overrightarrow{\mathrm{QQ^\prime}}|$の値が最小となる実数$t$の値を求めよ．
国立 愛媛大学 2013年 第4問原点を$\mathrm{O}$とする座標空間内に$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$があり，次の条件$①,\ ②,\ ③,\ ④$を満たすとする．
$①$ $\mathrm{A}$は$xy$平面上の点で$\mathrm{OA}=1$
$②$ $\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$は$yz$平面上の点で，$y$軸に関して対称である
$③$ $\triangle \mathrm{OAB}$は正三角形である
$④$ $\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$は$y$軸上にない
(1)$\mathrm{B}$の$y$座標を$t$とするとき，$t$がとり得る値の範囲を求めよ．
(2)四面体$\mathrm{OABC}$の表面積の最大値を求めよ．
(3)表面積が最大となる四面体$\mathrm{OABC}$を$x$軸，$y$軸，$z$軸の周りに回転してできる立体の体積をそれぞれ$V_x$，$V_y$，$V_z$とするとき，$V_x$，$V_y$，$V_z$を求めよ．
$①$ $\mathrm{A}$は$xy$平面上の点で$\mathrm{OA}=1$
$②$ $\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$は$yz$平面上の点で，$y$軸に関して対称である
$③$ $\triangle \mathrm{OAB}$は正三角形である
$④$ $\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$は$y$軸上にない
(1)$\mathrm{B}$の$y$座標を$t$とするとき，$t$がとり得る値の範囲を求めよ．
(2)四面体$\mathrm{OABC}$の表面積の最大値を求めよ．
(3)表面積が最大となる四面体$\mathrm{OABC}$を$x$軸，$y$軸，$z$軸の周りに回転してできる立体の体積をそれぞれ$V_x$，$V_y$，$V_z$とするとき，$V_x$，$V_y$，$V_z$を求めよ．
国立 宮崎大学 2013年 第4問$-1<x<1$で定義される関数$f(x)=2x+\sqrt{5-5x^2}$について，座標平面上の曲線$C:y=f(x)$を考える．このとき，次の各問に答えよ．
(1)曲線$C$は上に凸であることを示し，$f(x)$の最大値を求めよ．
(2)曲線$C$上の点のうち，原点$\mathrm{O}$との距離が最大となる点を$\mathrm{A}$，最小となる点を$\mathrm{B}$とするとき，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標をそれぞれ求めよ．
(3)(2)で求めた点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$について，線分$\mathrm{OA}$，線分$\mathrm{OB}$，および曲線$C$で囲まれる部分の面積を求めよ．
(1)曲線$C$は上に凸であることを示し，$f(x)$の最大値を求めよ．
(2)曲線$C$上の点のうち，原点$\mathrm{O}$との距離が最大となる点を$\mathrm{A}$，最小となる点を$\mathrm{B}$とするとき，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標をそれぞれ求めよ．
(3)(2)で求めた点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$について，線分$\mathrm{OA}$，線分$\mathrm{OB}$，および曲線$C$で囲まれる部分の面積を求めよ．
国立 宮崎大学 2013年 第5問最初，数直線上の原点に点$\mathrm{P}$を置き，コインを$1$回投げるごとに以下のように点$\mathrm{P}$の位置を定める．
\mon[$①$] 点$\mathrm{P}$の座標が$-2$以上$3$以下のとき，コインの表が出れば正の向きに$1$だけ点$\mathrm{P}$を進め，裏が出れば負の向きに$1$だけ点$\mathrm{P}$を進める．
\mon[$②$] 点$\mathrm{P}$の座標が$-3$または$4$のとき，コインの表裏にかかわらず点$\mathrm{P}$を動かさない．
コインを投げて$①,\ ②$に従い点$\mathrm{P}$の位置を定める操作を$6$回行う．この$6$回の操作によって定めた点$\mathrm{P}$の最終的な位置の座標を$a$とする．ただし，コインの表と裏が出る確率はそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$とする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$a=-3$となる確率と$a=4$となる確率をそれぞれ求めよ．
(2)$a$の期待値を求めよ．
\mon[$①$] 点$\mathrm{P}$の座標が$-2$以上$3$以下のとき，コインの表が出れば正の向きに$1$だけ点$\mathrm{P}$を進め，裏が出れば負の向きに$1$だけ点$\mathrm{P}$を進める．
\mon[$②$] 点$\mathrm{P}$の座標が$-3$または$4$のとき，コインの表裏にかかわらず点$\mathrm{P}$を動かさない．
コインを投げて$①,\ ②$に従い点$\mathrm{P}$の位置を定める操作を$6$回行う．この$6$回の操作によって定めた点$\mathrm{P}$の最終的な位置の座標を$a$とする．ただし，コインの表と裏が出る確率はそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$とする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$a=-3$となる確率と$a=4$となる確率をそれぞれ求めよ．
(2)$a$の期待値を求めよ．
国立 島根大学 2013年 第4問空間における$3$点$\mathrm{A}(1,\ 1,\ -1)$，$\mathrm{B}(3,\ 2,\ 1)$，$\mathrm{C}(-1,\ 3,\ 0)$を通る平面を$\alpha$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$は直角二等辺三角形であることを示せ．
(2)原点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に垂線を下ろし，その交点を$\mathrm{H}$とするとき，点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$に外接する球の中心の座標を求めよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$は直角二等辺三角形であることを示せ．
(2)原点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に垂線を下ろし，その交点を$\mathrm{H}$とするとき，点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$に外接する球の中心の座標を求めよ．
国立 島根大学 2013年 第1問$3$次関数$f(x)$は$x=1$と$x=3$で極値をとり，曲線$y=f(x)$は点$(0,\ 1)$と点$(1,\ 3)$を通るとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)$を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$上の点$(t,\ f(t))$における接線の方程式を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$に接し，原点$(0,\ 0)$を通る直線の本数を求めよ．
(1)関数$f(x)$を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$上の点$(t,\ f(t))$における接線の方程式を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$に接し，原点$(0,\ 0)$を通る直線の本数を求めよ．
国立 島根大学 2013年 第2問数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$を，$\displaystyle a_1=1,\ b_1=0,\ a_{n+1}=\frac{1}{4}a_n-\frac{\sqrt{3}}{4}b_n,\ b_{n+1}=\frac{\sqrt{3}}{4}a_n+\frac{1}{4}b_n$によって定め，座標が$(a_n,\ b_n)$である点を$\mathrm{C}_n$とする．原点を$\mathrm{O}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OC}_n}$の大きさ$|\overrightarrow{\mathrm{OC}_n}|$を，$n$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OC}_n}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}_{n+1}}$のなす角を求めよ．
(3)$S_n$を$\triangle \mathrm{OC}_n \mathrm{C}_{n+1}$の面積とするとき，$\displaystyle S_n \leqq \frac{1}{2^{2013}}$をみたす最小の自然数$n$を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OC}_n}$の大きさ$|\overrightarrow{\mathrm{OC}_n}|$を，$n$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OC}_n}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}_{n+1}}$のなす角を求めよ．
(3)$S_n$を$\triangle \mathrm{OC}_n \mathrm{C}_{n+1}$の面積とするとき，$\displaystyle S_n \leqq \frac{1}{2^{2013}}$をみたす最小の自然数$n$を求めよ．