$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上の円$x^2+y^2-10x-10y+49=0$を$C$とする．原点$\mathrm{O}$を通り，円$C$に接する直線のうち，傾きの大きい方を$\ell$とする．

(1)$\ell$の傾きを求めよ．
(2)$x$軸に接し，円$C$と外接するような円の中心$\mathrm{P}$の描く軌跡を求めよ．
(3)直線$\ell$と$x$軸に接し，さらに円$C$と外接する円の半径をすべて求めよ．

$\overrightarrow{a}=(1,\ 2)$，$\overrightarrow{b}=(-1,\ 3)$とし$\overrightarrow{p}=(1-2t)\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$とする．$t$は$-1 \leqq t \leqq 1$を動くとする．

(1)$|\overrightarrow{p}|$の最大値を求めよ．
(2)$|\overrightarrow{p}|$の最小値を求めよ．
(3)$|\overrightarrow{p}|$が最小となるときの$\overrightarrow{p}$を位置ベクトルとする点を$\mathrm{M}$とする．$\overrightarrow{a}$を位置ベクトルとする点を$\mathrm{A}$とするとき，$\triangle \mathrm{OAM}$の面積を求めよ．ただし，$\mathrm{O}$は原点である．

曲線$y=x^2$の上を動く点$\mathrm{P}(x,\ y)$がある．この動点の速度ベクトルの大きさが一定$C$のとき，次の問いに答えよ．ただし，動点$\mathrm{P}(x,\ y)$は時刻$t$に対して$x$が増加するように動くとする．

(1)$\mathrm{P}(x,\ y)$の速度ベクトル$\displaystyle \overrightarrow{v}=\left( \frac{dx}{dt},\ \frac{dy}{dt} \right)$を$x$で表せ．
(2)$\mathrm{P}(x,\ y)$の加速度ベクトル$\displaystyle \overrightarrow{\alpha}=\left( \frac{d^2x}{dt^2},\ \frac{d^2y}{dt^2} \right)$を$x$で表せ．
(3)半径$r$の円$x^2+(y-r)^2=r^2$上を速度ベクトルの大きさが一定$C$で動く点$\mathrm{Q}$があるとき，この加速度ベクトルの大きさを求めよ．
(4)動点$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の原点$(0,\ 0)$での加速度ベクトルの大きさが等しくなるときの半径$r$を求めよ．

行列
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{3}{2} & -1 \\
1 & -\displaystyle\frac{1}{2}
\end{array} \right),\quad B=\left( \begin{array}{cc}
p & -2 \\
1 & q
\end{array} \right),\quad J=\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{1}{2} & 1 \\
0 & \displaystyle\frac{1}{2}
\end{array} \right) \]
が$AB=BJ$を満たすとき，次の問いに答えよ．ただし，$p,\ q$は定数であり，以下で用いる$n$は自然数である．

(1)$p,\ q$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle J^n=\frac{1}{2^n} \left( \begin{array}{cc}
1 & 2n \\
0 & 1
\end{array} \right)$を示せ．
(3)$\displaystyle A^n=\frac{1}{2^n} \left( \begin{array}{cc}
1+2n & -2n \\
2n & 1-2n
\end{array} \right)$を示せ．
(4)行列$A^n$の表す$1$次変換により，$xy$平面上の点$(p,\ 1)$，$(-2,\ q)$が，それぞれ点$\mathrm{P}_n$，$\mathrm{Q}_n$に移される．原点を$\mathrm{O}$として，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}_n$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}_n$のなす角を$\theta_n$とするとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\cos \theta_n$を求めよ．

座標平面上に原点$\mathrm{O}$とは異なる$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$があり，位置ベクトル$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{q}=\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$は垂直であるとする．$\overrightarrow{a}=\sqrt{5}\overrightarrow{p}-2 \overrightarrow{q}$，$\overrightarrow{b}=2 \sqrt{5}\overrightarrow{p}+\overrightarrow{q}$とおく．$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|$であるとき，次の問に答えよ．

(1)$|\overrightarrow{a}|$，$|\overrightarrow{b}|$を$|\overrightarrow{p}|$，$|\overrightarrow{q}|$を用いて表せ．

(2)$\displaystyle \frac{|\overrightarrow{p}|}{|\overrightarrow{q}|}$の値を求めよ．

(3)$\displaystyle \frac{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}$の値を求めよ．

(4)点$\mathrm{P}$が放物線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2$上にあり，点$\mathrm{Q}$が円$x^2+y^2=15$上にあるとき，$\overrightarrow{p}$，$\overrightarrow{q}$の成分を求めよ．

座標平面上に原点$\mathrm{O}$とは異なる$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$があり，位置ベクトル$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{q}=\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$は垂直であるとする．$\overrightarrow{a}=\sqrt{5}\overrightarrow{p}-2 \overrightarrow{q}$，$\overrightarrow{b}=2 \sqrt{5}\overrightarrow{p}+\overrightarrow{q}$とおく．$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|$であるとき，次の問に答えよ．

(1)$|\overrightarrow{a}|$，$|\overrightarrow{b}|$を$|\overrightarrow{p}|$，$|\overrightarrow{q}|$を用いて表せ．

(2)$\displaystyle \frac{|\overrightarrow{p}|}{|\overrightarrow{q}|}$の値を求めよ．

(3)$\displaystyle \frac{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}$の値を求めよ．

(4)点$\mathrm{P}$が放物線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2$上にあり，点$\mathrm{Q}$が円$x^2+y^2=15$上にあるとき，$\overrightarrow{p}$，$\overrightarrow{q}$の成分を求めよ．

$R,\ r$を正の実数とし，$2r<R \leqq 3r$とする．右図のように，原点 \\
$\mathrm{O}$を中心とする半径$R$の固定された円$S$の内部に点$\mathrm{O}^\prime$を中心と \\
する半径$r$の円$T$があり，円$T$は円$S$に接しながらすべらずに \\
転がるものとする．ただし，点$\mathrm{O}^\prime$は点$\mathrm{O}$のまわりを反時計まわり \\
に動くものとする．はじめに点$\mathrm{O}^\prime$は$(R-r,\ 0)$の位置にあり， \\
円$T$上の点$\mathrm{P}$は$(R,\ 0)$の位置にあるとする．$x$軸の正の部分と \\
動径$\mathrm{OO}^\prime$のなす角が$\theta$ラジアンのとき，点$\mathrm{P}$の座標を$(x(\theta),\ y(\theta))$とする．このとき，次の問に答えよ．
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(1)$x(\theta),\ y(\theta)$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle 0<\theta<\frac{2r}{R} \cdot \frac{3}{2}\pi$において，$x(\theta)$が最小となるときの$\theta$の値を求めよ．
(3)$R=3,\ r=1$とする．$\theta>0$で点$\mathrm{P}$がはじめて$x$軸に到達したときの角$\theta_0$を求めよ．また，$0 \leqq \theta \leqq \theta_0$のとき，$y(\theta) \geqq 0$を示せ．
(4)$R=3,\ r=1$とする．$0 \leqq \theta \leqq \theta_0$における点$\mathrm{P}$の軌跡と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

座標平面上に原点$\mathrm{O}$，点$\mathrm{A}(0,\ 1)$，$\mathrm{B}(2 \sqrt{2},\ 0)$がある．$0<t<1$のとき，線分$\mathrm{AO}$，$\mathrm{OB}$を$t:1-t$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とし，線分$\mathrm{PQ}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．また，$t=0$，$t=1$のとき，$\mathrm{R}$はそれぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$に一致するものとし，$t$を$0 \leqq t \leqq 1$の範囲で動かしたときの$\mathrm{R}$の軌跡を$C$とする．

(1)$C$を媒介変数$t$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{R}$と原点$\mathrm{O}$の距離の最小値を求めよ．
(3)$C$と線分$\mathrm{AB}$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

関数$f(x)$を$f(x)=x \sin x$とおく．また，曲線$y=f(x)$上の点$(\alpha,\ f(\alpha))$における接線の方程式を$y=g(x)$とおく．$\alpha>0$のとき，以下の問いに答えよ．

(1)$g(x)$を$\alpha$を用いて表せ．
(2)直線$y=g(x)$が原点を通るような最小の$\alpha$を$\alpha_1$とし，$\alpha=\alpha_1$のときの$g(x)$を$h(x)$とおく．$\alpha_1$の値と$h(x)$を求めよ．
(3)$0 \leqq x \leqq \alpha_1$において$h(x) \geqq f(x)$であることを示せ．
(4)$0 \leqq x \leqq \alpha_1$において直線$y=h(x)$と曲線$y=f(x)$で囲まれてできる図形の面積を求めよ．

さいころの目によって$x$軸上を移動する点$\mathrm{Q}$を考える．さいころを$1$回投げて$5$または$6$の目が出れば$\mathrm{Q}$は$x$軸上を正の向きに$1$だけ移動し，その他の目が出れば$\mathrm{Q}$は$x$軸上を負の向きに$1$だけ移動する．最初，$\mathrm{Q}$は$x$軸上の原点にあり，さいころを$n$回投げて$\mathrm{Q}$が$n$回移動したときの$\mathrm{Q}$の$x$座標を$X_n$とおく．整数$k$に対し，$X_n=k$となる確率を$p(n,\ k)$と表すとき，以下の問いに答えよ．

(1)$p(3,\ 3)$，$p(3,\ 2)$，$p(3,\ 1)$，$p(3,\ 0)$の値を求めよ．
(2)$X_3$の期待値$E$を求めよ．
(3)$p(n,\ 0)$を$n$を用いて表せ．