$y=-x(x-a)$で与えられる放物線$C_1$と関数$y=a-|ax+b|$のグラフ$C_2$が原点で接している．ただし，実数$a$は正とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$b$を$a$を用いて表せ．
(2)$a=2$のとき，$C_1$と$C_2$を図示せよ．
(3)(2)において$C_1$と$x$軸で囲まれた図形の面積と，$C_1$と$C_2$によって囲まれた図形の面積の比を求めよ．

円$x^2+y^2=1$を$C_1$とし，点$\mathrm{P}(0,\ -1)$を通り，傾きが$m$の直線を$\ell$とする．ただし，$m>1$である．次の問いに答えよ．

(1)円$C_1$と直線$\ell$の交点のうち，$\mathrm{P}$と異なるものを$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．さらに，点$\mathrm{Q}$における円$C_1$の接線の方程式を求めよ．
(2)原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{P}$および(1)の点$\mathrm{Q}$の$3$点を通る円を$C_2$とする．$C_2$の方程式を求めよ．
(3)$m=\sqrt{3}$のとき，円$C_1$と(2)の円$C_2$の両方に接する直線の方程式を求めよ．

座標空間内に$2$点$\mathrm{A}(0,\ 3,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ -3,\ 0)$を直径の両端とする球面$S$を考える．$S$上に点$\mathrm{P}(x,\ y,\ z)$をとり，$S$外に点$\mathrm{Q}(3,\ 4,\ 5)$をとる．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)球面$S$の方程式を求めよ．
(2)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$の内積は，点$\mathrm{P}$が球面$S$上のどこにあっても必ず$0$になることを証明せよ．
(3)原点を$\mathrm{O}$で表すとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$の大きさとベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$の大きさを求めよ．
(4)点$\mathrm{P}(x,\ y,\ z)$が球面$S$上を動くとき，$3x+4y+5z$の最大値を求めよ．また，そのときの$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

$5$種類の文字$\mathrm{N},\ \mathrm{E},\ \mathrm{S},\ \mathrm{W},\ \mathrm{X}$を重複を許して横一列に$6$個並べた順列を考える．原点から出発して座標平面上を動くことができる点$\mathrm{P}$がある．それぞれの順列に対し，順列の文字を左端から$1$つずつ見てゆき，次の規則に従って点$\mathrm{P}$を動かし点$\mathrm{P}$の最終的な位置を決める．$\mathrm{X}$以外の各文字に対して，点$\mathrm{P}$を次の方向に$1$だけ動かす．

$\mathrm{N}$は$y$軸の正の方向 \quad $\mathrm{E}$は$x$軸の正の方向 \quad $\mathrm{S}$は$y$軸の負の方向 \quad $\mathrm{W}$は$x$軸の負の方向

$\mathrm{X}$に対しては点$\mathrm{P}$は動かさない．例えば，順列$\mathrm{NESNXN}$に対する点$\mathrm{P}$の最終的な位置は$(1,\ 2)$となる．

(1)$x+y=6$を満たす$(x,\ y)$が点$\mathrm{P}$の最終的な位置となる順列の総数を求めよ．
(2)$|x+y|=4$を満たす$(x,\ y)$が点$\mathrm{P}$の最終的な位置となる順列の総数を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$の最終的な位置が原点である順列の総数を求めよ．

$f(x)=e^{-x}$とする．実数$t$に対し，原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の点$\mathrm{A}(t,\ f(t))$，点$\mathrm{B}(t-\log 2,\ f(t-\log 2))$を考える．

(1)$t \geqq 0$のとき，三角形$\mathrm{OAB}$の面積$S$の最大値を求めよ．
(2)$k$を自然数とし，$t=k \log 2$であるときの三角形$\mathrm{OAB}$の面積を$S_k$とする．自然数$n$に対して，$\displaystyle \sum_{k=1}^n S_k$を求めよ．

$\mathrm{O}$を原点とする座標空間において，点$\mathrm{A}(-4,\ 8,\ 2)$を通りベクトル$\overrightarrow{u}=(3,\ 0,\ 1)$に平行な直線を$\ell$とする．また，点$\mathrm{B}(10,\ 3,\ -4)$を通りベクトル$\overrightarrow{v}=(-1,\ 3,\ 0)$に平行な直線を$m$とする．$\mathrm{P}$を$\ell$上の点とし，$\mathrm{Q}$を$m$上の点とする．このとき，実数$s,\ t$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=s \overrightarrow{u}$，$\overrightarrow{\mathrm{BQ}}=t \overrightarrow{v}$と表すことができる．

(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$の成分を$s,\ t$を用いて表せ．
(2)$2$直線$\ell$と$m$は共有点をもたないことを証明せよ．
(3)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$がベクトル$\overrightarrow{u},\ \overrightarrow{v}$の両方に垂直となるとき，点$\mathrm{P}$および点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

$f(x)=e^{-x}$とする．$t \geqq 0$に対して，曲線$y=f(x)$上の$2$点$\mathrm{A}(t,\ f(t))$，点$\mathrm{B}(t-\log 2,\ f(t-\log 2))$および原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を頂点とする三角形$\mathrm{OAB}$の面積を$S$とする．

(1)$t=0$のとき，$S$を求めよ．
(2)$t \geqq 0$のとき，$S$を$t$を用いて表せ．
(3)$t \geqq 0$のとき，$S$の最大値を求めよ．

座標平面において，点$\mathrm{P}_0$を原点として，点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$，$\cdots$を \\
下図のようにとっていく（点線は$x$軸と平行）．ただし， \\
$\displaystyle \mathrm{P}_{n-1} \mathrm{P}_n=\frac{1}{2^{n-1}} \ (n \geqq 1),\ 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．このとき， \\
次の問いに答えよ．
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(1)$\mathrm{P}_0 \mathrm{P}_1+\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2+\cdots +\mathrm{P}_{n-1} \mathrm{P}_n+\cdots$を求めよ．
(2)$\mathrm{P}_n$の座標を$n$と$\theta$を用いて表せ．
(3)$n$を限りなく大きくするとき，点$\mathrm{P}_n$はどのような点に近づくか，その点の座標を求めよ．

座標平面上の点$(x,\ y)$は，$x,\ y$がともに整数のとき格子点 \\
という．原点$(0,\ 0)$に番号$1$をふり，以下$(1,\ 0)$に番号$2$， \\
$(1,\ 1)$に番号$3$と，各格子点に図のように反時計まわりに番 \\
号をふっていく．このとき，次の問に答えよ．
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(1)$n$が自然数のとき，格子点$(n,\ -n)$にふられる番号を$n$の \\
式で表せ．
(2)$n$が自然数のとき，格子点$(n+1,\ n+1)$にふられる番号を$n$の式で表せ．
(3)番号$1000$がふられる格子点の座標を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)座標平面上の原点$\mathrm{O}$を通り，$x$軸とのなす角が$30^\circ$で傾きが正の直線と，放物線$y=x^2$の交点で$\mathrm{O}$と異なるものを$\mathrm{A}$とおく．点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．
(2)線分$\mathrm{OA}$を$1$辺とする正方形$\mathrm{OABC}$をつくる．ただし，点$\mathrm{C}$は第$2$象限にとる．点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の座標をそれぞれ求めよ．
(3)直線$\mathrm{OB}$に垂直で，放物線$y=x^2$に接する直線の方程式を求めよ．