$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．座標平面上で原点$\mathrm{O}$を通り傾きが$\tan \theta$の直線を$\ell$とし，行列
\[ \left( \begin{array}{cc}
\cos^2 \theta & \sin \theta \cos \theta \\
\sin \theta \cos \theta & \sin^2 \theta
\end{array} \right) \]
の表す$1$次変換を$f$とする．座標平面上に$2$点$\mathrm{P},\ \mathrm{Q}$がある．次の問いに答えよ．

(1)線分$\mathrm{OP}$が直線$\ell$と垂直であるとき，$1$次変換$f$による点$\mathrm{P}$の像を求めよ．
(2)$1$次変換$f$による点$\mathrm{Q}$の像を$\mathrm{R}$とする．このとき$|\overrightarrow{\mathrm{OR}}| \leqq |\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|$が成り立つことを示せ．さらに等号が成立する場合を調べよ．
(3)$1$次変換$f$による点$(1,\ 1)$の像を$\mathrm{S}$とする．このとき$|\overrightarrow{\mathrm{OS}}|$が最大となる$\theta$と最小となる$\theta$をそれぞれ求めよ．

座標平面上で，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円を$C$とし，$2$点$\mathrm{P}(0,\ 1)$，$\mathrm{Q}(s,\ 0)$を考える．$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を通る直線を$\ell$とし，$\ell$と$C$の交点のうち$\mathrm{P}$ではないものを$\mathrm{R}$とする．次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{R}$の座標を$s$を用いて表せ．
(2)$x$座標と$y$座標がともに有理数である点を有理点という．$s$が有理数のとき，$\mathrm{R}$は有理点であることを示せ．

座標平面上の点$\mathrm{P}$は，硬貨を$1$回投げて表が出れば$x$軸の正の方向に$2$，裏が出れば$y$軸の正の方向に$1$だけ進むことにする．最初，$\mathrm{P}$は原点にある．硬貨を$5$回投げた後の$\mathrm{P}$の到達点について，次の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{P}$の到達点が$(10,\ 0)$となる確率を求めよ．また，$(6,\ 2)$となる確率を求めよ．
(2)$2$点$(10,\ 0)$，$(6,\ 2)$を通る直線$\ell$の方程式を求めよ．また，$\mathrm{P}$の到達点はすべて直線$\ell$上にあることを示せ．
(3)$(2)$で求めた直線$\ell$と原点との距離を求めよ．
(4)$\mathrm{P}$の到達点と原点との距離$d$が，$2 \sqrt{5}<d \leqq 5$となる確率を求めよ．

$xy$平面上の原点$\mathrm{O}$を中心とし，半径が$1$である円$C$の円周上に，点$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(\cos \theta,\ \sin \theta)$をとる．ただし，$0<\theta<\pi$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)三角形$\mathrm{OAB}$の外心$\mathrm{P}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$が円$C$の円周上にあるとき，$\theta$の値を求めよ．

$a$を定数とする．放物線$y=a-x^2$の接線のうち，原点との距離が最小になるものの方程式を求めよ．またそのときの距離を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)不等式$\log_3(x-2)+2 \log_9(x-4)<1$を解け．
(2)$\mathrm{O}$を原点とする座標空間の座標軸上に，$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ \sqrt{6},\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 1)$がある．線分$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OC}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{BA}$を$t:1-t$に内分する点を，それぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$とする．この$4$点により定まる長方形$\mathrm{PQRS}$の面積$M(t)$が最大となるとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$，$\overrightarrow{\mathrm{QS}}$のなす角$\theta \ (0<\theta<\pi)$を求めよ．
(3)$3$個のサイコロを同時に投げるとき，出る目の積が$10$の倍数である確率を求めよ．

$xy$平面上の原点$\mathrm{O}$を中心とし，半径が1である円$C$の円周上に，点$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(\cos \theta,\ \sin \theta)$をとる．ただし，$0<\theta<\pi$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)三角形$\mathrm{OAB}$の外心$\mathrm{P}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$が円$C$の円周上にあるとき，$\theta$の値を求めよ．

放物線$y=(x-1)^2+q \ (q>0)$のグラフに，原点$\mathrm{O}$から引いた2本の接線が互いに垂直に交わっているとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$q$の値を求めよ．
(2)2本の接線と放物線とで囲まれる図形の面積を$S_1$とする．また，2本の接線と放物線との接点を点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とし，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$S_2$とする．このとき，$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$の値を求めよ．

正の実数$a,\ b,\ c$に対して，$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に3点$\mathrm{A}(a,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ b,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ c)$がある．$\mathrm{AC}=2,\ \mathrm{BC}=3$かつ$\triangle \mathrm{ABC}$の面積が$\displaystyle \frac{3 \sqrt{3}}{2}$となるとき，次の問いに答えよ．

(1)$\sin \angle \mathrm{ACB}$の値を求めよ．また，線分$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．
(2)$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．また，原点$\mathrm{O}$から$\triangle \mathrm{ABC}$に下ろした垂線の長さを求めよ．

原点$\mathrm{O}$を中心とし，点$\mathrm{A}(0,\ 1)$を通る円を$S$とする．点$\displaystyle \mathrm{B} \left( \frac{1}{2},\ \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$で円$S$に内接する円$T$が，点$\mathrm{C}$で$y$軸に接しているとき，以下の問いに答えよ．

(1)円$T$の中心$\mathrm{D}$の座標と半径を求めよ．
(2)点$\mathrm{D}$を通り$x$軸に平行な直線を$\ell$とする．円$S$の短い方の弧$\koa{AB}$，円$T$の短い方の弧$\koa{BC}$，および線分$\mathrm{AC}$で囲まれた図形を$\ell$のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ．