$\mathrm{O}$を原点とする$xyz$空間の$x$軸上，$y$軸上，$z$軸上にそれぞれ点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$があり，$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{AC}=2$であるという．そのとき，$\mathrm{BC}=a$とおき，三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$S$とおく．

(1)$a$の取りうる値の範囲は
\[ \sqrt{[ア]} \leqq a \leqq \sqrt{[イ][ウ]} \]
である．
(2)$(ⅰ)$ $\displaystyle \cos \angle \mathrm{BAC}=\frac{1}{[エ][オ]}(-a^2+[カ][キ])$である．
$(ⅱ)$ $\displaystyle S^2=\frac{1}{[ク][ケ]}(-a^4+[コ][サ]a^2-[シ][ス])$である．
(3)$\mathrm{OA}=x$とおいて，$S^2$を$x$を用いて表すと
\[ S^2=-\frac{[セ]}{[ソ]}x^4+[タ] \]
となる．
(4)$S=2 \sqrt{2}$のとき，四面体$\mathrm{OABC}$に内接する球（すなわち，中心がこの四面体の内部にあって，すべての面と$1$点のみを共有する球）の半径を$r$とおく．

(i) $\displaystyle r=\frac{\sqrt{[チ]}}{1+[ツ] \sqrt{[テ]}+\sqrt{[ト][ナ]}}$である．

(ii) $r=[ニ] \sqrt{[チ]}-[ヌ] \sqrt{[テ]}+[ネ] \sqrt{[ト][ナ]}-[ノ]$となる．

$a$を実数とし，関数$f(x)$を$f(x)=2x^3-3(a+2)x^2+12ax$で定める．

(1)$f(x)$が極値をもつとき，その値は$[タ]$である．
(2)$y=f(x)$のグラフが$a$の値に関係なく通る点で，原点$\mathrm{O}$でないものを$\mathrm{A}$とする．点$\mathrm{A}$の座標は$[チ]$である．
(3)点$\mathrm{A}$を$(2)$で定めた点とする．線分$\mathrm{OA}$と$y=f(x)$のグラフが$2$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$以外に共有点をもつ$a$の値の範囲は$[ツ]<a<[テ]$である．
(4)$x \geqq 0$を満たすすべての実数$x$について，不等式$f(x) \geqq 0$が成り立つ$a$の値の範囲は$[ト] \leqq a \leqq [ナ]$である．
(5)$a \geqq 3.5$を満たすすべての実数$a$について，方程式$f(x)=k$が$3$つの異なる実数解をもつ実数$k$の値の範囲は$[ニ]<k<[ヌ]$である．

点$\mathrm{P}$の座標$(x,\ y)$が，$x^2+y^2=1$，$x \geqq 0$，$y \geqq 0$を満たすものとする．原点を$\mathrm{O}$とし，$\mathrm{OP}$と$x$軸のなす角を$\theta$とする．このとき，以下の問に答えよ．

(1)$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{[ス]}{[セ]} \pi$である．

(2)$x=\cos \theta,\ y=\sin \theta$とおくと，
\[ x^2-y^2+2 \sqrt{3} xy=[ソ] \sin \left( [タ] \theta+\frac{\pi}{[チ]} \right) \]
である．
(3)$x^2-y^2+2 \sqrt{3}xy$の最大値は，$\displaystyle x=\frac{\sqrt{[ツ]}}{[テ]}$のとき$[ト]$である．

座標平面上に，始点が原点で終点の$y$座標が$1$に等しい$2$つのベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$がある．$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角度を$\theta (0^\circ \leqq \theta \leqq {180}^\circ)$とするとき，等式
\[ \sin \theta =\frac{|\overrightarrow{a|-\overrightarrow{b}}}{|\overrightarrow{a|} |\overrightarrow{b|}} \]
が成り立つことを示せ．

原点を$\mathrm{O}$とする座標平面において，点$\mathrm{A}$の座標を$(2,\ 0)$とし，点$\mathrm{P}$は直線$y=\sqrt{3}x$上にあるものとする．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)三角形$\mathrm{AOP}$の外接円の半径が$5$となるときの点$\mathrm{P}$の座標を求めなさい．
(2)$\angle \mathrm{P}={45}^\circ$となるときの点$\mathrm{P}$の座標を求めなさい．
(3)$\angle \mathrm{A}={45}^\circ$となるときの三角形$\mathrm{AOP}$の面積を求めなさい．

以下の各問いに答えよ．

(1)$a$は実数とする．極限$\displaystyle \lim_{x \to +0} \int_x^2 t^a \, dt$を調べよ．
(2)$\displaystyle \alpha,\ \beta \left( 0<\alpha \leqq \beta<\frac{\pi}{2} \right)$が$\tan \alpha \tan \beta=1$を満たすとき，$\displaystyle \alpha+\beta=\frac{\pi}{2}$であることを示せ．
(3)点$\mathrm{P}(x,\ y)$が楕円$\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1$の上を動くとき，$3x^2-16xy-12y^2$の値が最大になる点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(4)公正なサイコロを$2$回振り，$1$回目に出た目を$a$，$2$回目に出た目を$b$とする．また，公正なコインを$1$回投げ，表が出たら$c=1$，裏が出たら$c=-1$とする．$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上の$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を$\mathrm{A}(a,\ b)$，$\mathrm{B}(b,\ ca)$と定める．次の問いに答えよ．

(i) $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が垂直になる確率を求めよ．
(ii) $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が平行になる確率を求めよ．
(iii) 内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の期待値を求めよ．
\mon[$\tokeishi$] $\triangle \mathrm{OAB}$の面積の期待値を求めよ．ただし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が平行になるときは面積を$0$とする．

行列$\left( \begin{array}{cc}
3 & -1 \\
4 & -1
\end{array} \right)$で表される移動によって点$\mathrm{A}$は点$\mathrm{A}^\prime$に，点$\mathrm{B}$は点$\mathrm{B}^\prime$に移るとする．$\mathrm{O}$を原点とする．$\mathrm{OA}=1$，$\mathrm{A}=\mathrm{A}^\prime$であって，かつ四角形$\mathrm{OAB}^\prime \mathrm{B}$が長方形のとき，点$\mathrm{A}$，点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．

曲線$y=\log (kx)$を$C$とする．曲線$C$，原点$\mathrm{O}$を通る曲線$C$の接線$\ell$，$x$軸とで囲まれた図形を$D$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$k$は正の定数とする．

(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V_x$を求めよ．
(3)$D$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V_y$を求めよ．
(4)$V_x=V_y$となる$k$の値を求めよ．

$2$つの数列$\{x_n\}$，$\{y_n\}$を，$x_1=1$，$y_1=0$，かつ，各自然数$n$に対して，
\[ x_{n+1}=x_n-y_n,\quad y_{n+1}=x_n+y_n \]
として定める．次の問に答えなさい．

(1)各自然数$n$に対して，${x_n}^2+{y_n}^2={2}^{n-1}$が成り立つことを示しなさい．
(2)各自然数$n$に対して，$x_{n+1}x_n+y_{n+1}y_n$および$x_{n+2}x_n+y_{n+2}y_n$の値を求めなさい．
(3)各自然数$n$に対して，$xy$平面上に点$\mathrm{P}_n(x_n,\ y_n)$をとる．このとき，$\angle \mathrm{P}_{n+1} \mathrm{OP}_n$と$\angle \mathrm{P}_{n+2} \mathrm{OP}_n$の大きさを求めなさい．ただし，点$\mathrm{O}$は$xy$平面の原点である．
(4)一般項$x_n,\ y_n$を各々求めなさい．

座標平面上に点$\mathrm{P}(x,\ y)$，点$\mathrm{F}(1,\ 0)$，点$\mathrm{F}^\prime(-1,\ 0)$，および直線$\ell:x=2$がある．点$\mathrm{P}$から直線$\ell$に下ろした垂線を$\mathrm{PH}$とする．また，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{F}$，$\mathrm{F}^\prime$，$\mathrm{H}$との距離を，それぞれ$\mathrm{PF}$，$\mathrm{PF}^\prime$，$\mathrm{PH}$とし，原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{P}$の距離を$r$とする．比$\displaystyle \frac{\mathrm{PF}}{\mathrm{PH}}$の値が$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$となる点$\mathrm{P}$の軌跡を$C$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)$C$の方程式を求めよ．
(2)$\mathrm{PF}+\mathrm{PF}^\prime$は定数となる．その値を求めよ．
(3)$\mathrm{PF} \cdot \mathrm{PF}^\prime$を$r$を用いて表せ．
(4)点$\mathrm{P}$は第$1$象限にあり，$\displaystyle \angle \mathrm{F}^\prime \mathrm{PF}=\frac{\pi}{3}$とする．このとき，$r$の値と点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．また，$C$上の求めた点$\mathrm{P}$における接線の方程式を求めよ．